時間：2023-03-06 15:55:18
導語：在奇函數乘以奇函數的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
關鍵詞：二次函數；一元二次方程；關系
應用二次函數是初中數學的重要內容，是初中、高中數學知識的銜接點，是中考數學的重點考察內容之一，要全面掌握二次函數的基礎知識和基本技能，并能分析和解決有關二次函數的綜合問題，合理利用二次函數、一元二次方程的聯系是十分必要的。在初中數學內容的學習中，關于二次函數和一元二次方程的概念、性質的理解，大多數學生易走入誤區不能把握兩者之間所存在的關系，導致知識點之間相互孤立，不能有機整合兩者關系，導致對問題的求解思路受阻，往往陷入困境。其實二者之間存在著緊密的聯系，利用它們之間的相互關系可以靈活巧妙的解決問題，從而提高解題效率，有著事半功倍之奇效，同時二者知識點的相互整合，有利于對知識的理解和應用。下面就兩者的關系和應用作如下探討：
一、拋物線與y=ax2+bx+c（a≠0）其一元二次方程的系數a、b、c的聯系
1.對于拋物線的開口方向由a的符號來決定：當a0時拋物線開口向上。
2.拋物線的對稱軸是平行于y軸的一條直線，而系數b和a的符號決定這條直線在y軸的左側還是右側：當ab>0時，對稱軸直線x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗
3.拋物線與y軸的交點位置由c來決定；當c>0時，拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上；當c
二、二次函數與y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程與ax2+bx+c（a≠0）之間的相互關系
對于二次函數和一元二次方程的概念，教材中做了明確的說明，多數學生應該沒過多問題。但對概念的理解和應用不少學生還存在差異，特別是兩者的聯系可以說是多數學生感到很困難的。這里要明確對于函數與y=ax2+bx+c（a≠0）當y=0時，函數式變成與ax2+bx+c（a≠0），與一元二次方程是相同的等式，故當函數值y=0時，自變量x的值就是函數圖像與x軸的交點橫坐標，該橫坐標值即為方程與ax2+bx+c（a≠0）的解，所以一元二次方程與ax2+bx+c（a≠0）的解決定拋物線與x軸的交點，而一元二次方程的解由其判別式b2-4ab的值來決定，并且一元二次方程的解有三種情況，現用下表來說明拋物線與x軸的交點與一元二次方程的解的關系：
判別式與ax2+bx+c（a≠0）的根與y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點=b2-4ac
反之，根據拋物線與x軸的交點個數也可以判斷方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況。三、一元二次方程兩根與二次函數與x軸交點關系的整合利用巧妙解答問題。
例1.求拋物線y=3x2-8x+4與x軸的交點。分析：令y=0，根據3x2-8x+4=0的根來確定拋物線與x軸的交點的橫坐標。解：令y=0，則3x2-8x+4=0；b2-4ac=64-344=16>0方程有兩個不相等的實數根解得x1=〖SX（〗23〖SX）〗；x2=2，拋物線與x軸有兩個交點，交點坐標為（〖SX（〗23〖SX）〗，0）；（2，0）
例2，若關于x的二次方程a（x-3）2+b=0（a≠0）的一個根是1，求另一個根。分析：該題按常規解法把x=1代入方程無法求出a、b的值，感覺進入胡同，只能化簡利用根與系數關系求另一個根，但把二次函數與一元二次方程相結合可以使問題更為簡化。解：設y=a（x-3）2+b=0（a≠0）則直線x=3是拋物線的對稱軸點（1、0）是拋物線與x軸的一個交點，由對稱性可知（3、0）是拋物線與x軸的另一個交點。方程與a（x-3）2+b=0的另一個根是x=5.以上兩例可以說明利用二次函數與一元二次方程的相互關系使不太容易求解的問題變得簡便多了。12.TIF〗
例3.已知如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸相交于點C（0，-4），判斷方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況。解：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A（-1，0）、B（4，0）兩點。方程ax2+bx+c（a≠0）有兩個不相等的實數根，由交點A（-1，0）、B（4，0）可知x1=-1，x2=4，
1.韋達定理與拋物線對稱軸方程的關系及其應用
二次方程中ax2+bx+c（a≠0），方程兩根x1、x2與系數a、b、c存在如下關系（韋達定理）：x1+x2=-〖SX（〗ca〖SX）〗，x1?x2=〖SX（〗ca〖SX）〗而拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸直線是x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗，若把韋達定理引入拋物線對稱軸方程，不難得到x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2），由此，可以由方程的根求相應拋物線的對稱軸，或者知拋物線的對稱軸直線求一元二次方程的根。
例5.已知方程ax2+bx+c（a≠0）的一個根為-1，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=3，求方程的另一個根。分析：此題可由對稱性求解，求出（-1，0）關于直線x=3的對稱點的橫坐標即可，但直接應用關系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）更為方便。解：設方程的另一個根為直線x=3是拋物線的對稱軸〖SX（〗12〖SX）〗（-1+x2）=3解得x2=7由上例通過方程的兩根之和與拋物線對稱軸關系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）巧妙求出另一個根，不失是一種很好的解題途徑。
然而，在軟件編制完成后需測試軟件的性能，若此時無現成的測井數據，為得到軟件測試所需的測井數據而開一次井，無疑對成本的控制是不利的，因此，可用函數發生器來模擬測井信號以供軟件測試所用，本文利用RIGOLDG3000函數發生器來模擬測井信號，完成對八臂井徑儀數字化處理軟件的測試。
系統結構
為便于比較先給出實際應用中的原理框圖如圖1所示。
井下傳感器用于探測四條井徑信號以及磁重量、磁井徑和自然伽碼信號，深度數據由深度系統提供，它是根據轉軸的轉數轉化而來的，這八路信號同時送入后面幾個模塊中進行處理。
利用RIGOL DG3000函數發生器產生模擬的測井信號，再通過數據采集電路模塊送入計算機。模擬的原理框圖如圖2所示。
數據采集模塊(硬件部分) 數據采集電路采用一個16通道、100kHz的數據采集卡，主要由A／D轉換電路、數字量輸入、輸出電路、接口控制邏輯電路組成。在實際應用中(如圖1所示)需加上前置電路。因為在實際測量數據過程中各種各樣的干擾是不可避免的，所以有必要將測井信號進行適當放大和濾波處理，使信號達到采集卡所需輸入電壓范圍。但在圖2中，可不用前置電路，這是因為利用DG3000函數發生器強大的波形產生功能完全可以滿足采集卡所需的輸入信號在電壓值及頻率范圍等方面的要求，因此，可直接將函數發生器的輸出端接人數據采集電路中。
數字化處理模塊(軟件部分)
該軟件完成數據的數字化處理，它是基于VC6．0基礎上編制完成的，除功能完整外，還具有良好的人機交互界面與操作簡單的特點。
各部分的連接
DG3000函數發生器所具備的模擬輸出通道可直接與數據采集電路相連接，數據采集卡采用PCI總線與PC相連進行數據通信。由軟件提供軟觸發方式來控制數據采集卡的采集與停止。
八臂井徑儀數字化處理系統介紹
軟件按功能劃分主要包括三個模塊，分別為通信接口模塊、曲線顯示與打印模塊、曲線解釋模塊。下面將分別介紹各個模塊所具備的功能。
通信接口模塊
這一部分的主要任務是完成計算機對采集卡的控制、端口地址的初始化以及與采集卡進行數據通信。
如圖3所示，當點擊“開始采集”按鈕后，先對采集卡進行端口地址設置以及觸發方式設置，然后開始采集數據，并存入預先設定的動態數組中。點擊“停止采集”按鈕后，則向采集卡發出停止采集信號，采集卡停止工作。最后，為方便對數據文件進行有效處理，將動態數組中的數據按一定存儲方式以文件的形式保存起來。
曲線顯示與打印模塊
該部分完成將數據文件以曲線的方式繪制出來并顯示在顯示器或者打印機中。在顯示曲線之前先進行相應的顯示參數設置，以滿足我們的觀測需求。
如圖4所示，單擊“瀏覽”按鈕選擇欲打開的數據文件，系統自動讀取該數字文件的起點位置和終點位置并顯示出來，以方便我們設定欲觀測曲線的深度范圍。如需要可對其他顯示參數分別設置或取默認值。
曲線解釋模塊
該模塊是在曲線顯示的基礎上完成的，測井曲線的數據量一般是很大的，當把測井曲線顯示出來時，為減少工作量，觀測員可對測井曲線進行大概的判斷和分析，以判斷出異常區域的大致深度范圍。然后利用曲線解釋模塊在此基礎上對異常區進行判決分析，以準確的判決出測井曲線的異常情況。大量的實踐表明，套管主要分為變形、腐蝕、破裂這三種異常情況，依據測井數據并結合相應的算法可較準確的判斷出套管的異常情況。
為滿足不同異常程度的需求，可對套管異常的標準事先做出規定，在曲線解釋前進行解釋參數的設置，參數設置窗口如圖5所示。
利用DG3000函數發生器進行性能測試
測試內容
針對軟件數據處理的兩個模塊，主要的測試內容：1．測試曲線顯示模塊能否將DG3000函數發生器所輸出的波形繪制出來。2．測試曲線解釋模塊能否對所繪制數據曲線進行有效判決。
測試應達到的要求
對于測試內容1，大量的實踐結果證明測井信號的有效部分的頻率低于100Hz，為使測試效果更明顯，可利用DG3000函數發生器產生頻率大干100Hz的模擬測井信號，根據采樣定理，測試信號頻率不能超過采集卡采集頻率的范圍，在此條件下，若曲線顯示模塊繪制出的曲線與模擬測井信號波形一致，則軟件性能一定能滿足繪制實際測井曲線的要求。
對于測試內容2，由于判決機理的不同，對三種套管的異常情況需分別對待。對于套管腐蝕和破裂兩種情況，由于其判決的依據是磁重量數據的變化，磁重量的測量是根據鐵磁材料中，渦流會導致磁化的滯后效應，而使得二次磁場與原生磁場間產生相位差這一原理得到的。大量的實踐數據表明，若套管發生腐蝕或破裂情況時，磁重量曲線呈現不規則形狀，由此，我們可知人為的根據磁重量數據曲線來判斷套管是否具有腐蝕或破裂是很困難的，因此利用DG3000函數發生器產生的模擬測井信號進行腐蝕和破裂情況的解釋也就沒有意義了。所以，本方案僅對套管變形判決性能進行測試。
對于套管變形情況的判斷，其判決的依據是測井曲線幅度的變化，利用DG3000函數發生器強大的波形產生功能，如產生一脈沖信號，若曲線解釋模塊能準確的判決出脈沖的起始位置和終止位置，則該模塊在實際應用中也能滿足實際測井信號的要求。
測試時需注意的問題
根據采樣定理，DG3000函數發生器產生波形的頻率必須在采集卡采樣頻率范圍內，否則曲線是繪制不出來的。
在實際中，曲線深度是由深度系統提供，本方案中深度值是由軟件本身自加的，須修改相應程序(如假設每米欲采50個點，則每采一次深度自加0．02m)。
測試結果
曲線顯示模塊
DG3000函數發生器產生一頻率為200Hz，幅值為10V的正弦波，經采集卡采集后，數據送至曲線顯示模塊處理結果如圖6所示
如圖6所示，由于除井溫曲線外，其余幾道數據曲線的繪制算法是一致的(軟件中采用一循環語句分別對每一道進行繪制)，為簡化測試過程的操作步驟，僅輸入一道信號(即圖6中的井徑一)，由圖可知，曲線顯示模塊準確的繪制出一正弦波形，由此推斷其可基本滿
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足實際需求。
同理可知，由于算法的一致性，若將信號接入其他幾道相應的數據通道端口，亦可準確的繪制出來。
曲線解釋模塊
DG3000函數發生器產生一脈沖信號，與曲線顯示模塊一樣，僅輸入一道信號(井徑一)，送入計算機后處理結果如圖7所示。
由圖可知，曲線解釋模塊可比較準確的判斷出測井曲線變形的情況，并將判決的結果標識出來，用以指導現場實際情況的處理。脈沖所在處表示套管發生了變形，如圖，脈沖方向向右表示測量值大于套管的平均值，則表示為套管該側發生擴徑變形，同理，脈沖方向向左則相反，表示套管該側發生縮徑變形。當四道測井曲線(即井一至井四)同時滿足擴徑變形時，則最終解釋結果判決為套管發生擴徑變形，縮徑時亦然，若不同時滿足，則僅判決為套管變形。由于本測試只輸入一道信號，所以解釋的結果為套管變形。
結論
由上述可知，利用DG3000函數發生器產生模擬測井信號證明了該軟件所具有的曲線回放和曲線解釋兩部分功能模塊的正確性，在實際應用中可基本完成實際所需要求。
本測試以該軟件的性能測試為例，利用DG3000函數發生器所產生的信號可作為測試信號以供我們使用。
信號產生
使用Sine按鍵，在屏幕顯示正弦波的操作菜單。通過使用正弦波形的操作菜單，對正弦波的輸出波形參數進行設置。
設置正弦波的參數主要包括：頻率／周期、幅值／高電平、偏移量／低電平。通過改變這些參數，得到不同形狀的正弦波。波形顯示窗口中的參數值與參數顯示窗口中的參數是一一對應的。如圖9所示，在軟鍵菜單中，選中頻率。光標位于參數顯示窗口的頻率參數位置，可在此位置對正弦波的頻率值進行修改。在波形顯示窗口中，左上角顯示的參數類型變為頻率，與頻率相對應的參數值加陰影顯示。
深入測試
本測試中，使用DG3000函數發生器產生一頻率為200Hz，幅值為10V的正弦波進行測試。隨著軟件的完善，在進一步的測試中，需要更加真實的模擬測井信號，這時，我們同樣可以用RIGOL DS3000來產生逼真的信號。使用DG3000提供的任意波形編輯功能或者通過Ultrawave軟件來編輯我們所要模擬的測井信號，從而更加精確的對數字化處理軟件進行測試。
我們也可以利用RIGOL DG3000與RIGOL DSl000系列示波器組成的工作平臺采集和重現真實的測井信號。只需要用DS1000采集一次測井信號，就可以用DG 3000重復再現信號，可以實現與真實測試最接近的測試環境，給我們更加可靠的測試數據。
關鍵詞：模式方法，極限，微分，積分，分段函數
每年在教學過程中都會遇到許多同學學習微積分感覺困難的問題，其中一個主要原因就是同學們沒有順利完成從初等數學到高等數學的相應轉變，而這里面學習方法的轉變又是一個關鍵。對于初次接觸大學數學--微積分的大一新生而言，在微積分學習過程中，掌握相關的幾個重要“模式”就顯得尤其重要了。下面就在一元函數微積分學習過程中所遇到的幾種“模式方法”進行探討。
一、關于極限
眾所周知，函數是微積分的研究對象，極限是微積分的研究工具，它貫穿微積分的始終，掌握好函數的極限這一工具，對微積分的學習有著舉足輕重的意義。
1．有理函數極限模式
當自變量時，比如對有理函數極限（其中分子和分母均為多項式）而言，該“模式”的特點為：若分母的極限， 則；若分母的極限，而，則；若，則分子分母定可找到相同公因式，約分化簡后再按上述兩步繼續討論。即，
另外當自變量時，極限取決于分子分母的最高次項的次數，當次數相等時，極限為分子分母最高次項的系數比；當分母的次數高于分子的次數時，極限；當分母的次數低于分子的次數時，極限。論文參考，微分。
2、兩個重要極限模式；
第一重要極限模式有兩個顯著特點：作為分子的正弦函數所包含的表達式要和分母的表達式完全一樣；該一樣的表達式為在某一變化過程中的無窮小量；結論：該極限為1，即。論文參考，微分。此處需要注意的是，不論自變量是在在何種變化過程下，只需保證表達式即可。論文參考，微分。
第二重要極限亦具有兩個類似的特點：底數一定要是1加上某個表達式，而指數是底數所加表達式的倒數；指數部分的表達式要為無窮大。結論：該極限值等于。即。對第二重要極限需要注意的是，在冪指函數的極限中，若底數可分離出1加某個表達式，且該表達式為無窮小，則其一般可以湊出第二個重要極限的模式。
3、無窮小等價替換模式
等價無窮小是一個非常有用的知識點，既然等價，我們就可以替換，從而就有了“無窮小等價替換模式”。該模式一般應用于分時極限，是僅在乘除法時使用，即若，（其中）。
二、關于微分
微分是微積分這門課程的重要構成部分，微分最核心的部分可用微分模式來概括，即函數的微分等于該函數的導數乘以自變量的微分。比如，函數的微分。這里需要強調的是微分一定等于導數乘以自變量的微分，而自變量的微分一般是初學微積分者易于忽略掉的地方
另外，即便是復合函數的微分也遵循這一模式：例如，復合函數的微分
三、關于積分
積分這部分有兩個模式是非常重要的
1、奇零偶倍模式，完整的描述為奇函數在對稱區間的積分為零，偶函數在對稱區間的積分等于2倍的的積分。即
該模式對于計算對稱區間上的定積分非常有用，可以節省諸多時間。
例：，其實該積分是不需要利用區間可加性去討論去掉積分符號的。
2.積分上限函數模式（變上限定積分模式）
這里其實是只討論積分上限函數的導數的求法，該模式的內容為積分上限函數的導數等于把積分上限帶入被積函數后再乘以積分上限的導數。
例：
四、關于分段函數
微積分還有一個能夠令初學者非常困惑撓頭的地方，那就是討論分段函數在分段點的極限、連續性、可導性的問題，此處由于都與分段函數有關，從而可歸納為“分段函數模式”。
“分段函數模式”的特點：一定要利用相應的定義（或相應的充要條件）去研究函數在其分段點處的極限、連續性與可導性。論文參考，微分。
分段函數在分段點處的極限左、右極限存在且相等；
分段函數在分段點處連續左、右連續；
分段函數在分段點處可導左、右導數存在且相等。論文參考，微分。
其中，左右極限，左右連續，左右導數一定要用相應的定義去求解或判斷。論文參考，微分。
例：討論函數在處的的連續性。
解：錯誤解法，，所以函數在處連續。錯在忽略 函數在處左右兩側的表達式不一樣這個問題。而利用“分段函數模式”解法：，右連續；
，不左連續，從而函數在處不連續。
例：討論函數在處的導數。
解： 從而。
這種方法顯然是錯誤的，而一旦我們應用“分段函數模式”，這種錯誤就可以避免。
，
。
顯然在處不可導。
參考文獻
[1]同濟大學數學系，高等數學[M]，北京：高等教育出版社，2007。
[2]趙樹嫄，微積分[M]，北京：中國人民大學出版社，2007。
〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A
〔文章編號〕 1004―0463（2011）07（A）―0034―03
素質教育是21世紀中國教育的主旋律，課堂教學是實施素質教育的重要環節，而中學數學課堂教學操作模式是實施數學素質教育的關鍵.為了全面提高學生的基本素質、培養學生的創新精神、開發學生的智能潛力，作為教學模式的一種――變式教學，是提高學生數學能力的一種重要途徑.
變式是指相對于某種范式（即教材中具體數學思維成果，包含基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等）的變化形式，即不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質特征不變的情況下，使事物的非本質屬性不斷遷移的變化方式.變式有多種形式，如形式變式、內容變式、方法變式等.變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學途徑.通過變式進行技能和思維的訓練叫做變式訓練；采用變式進行教學叫做變式教學.變式教學要求教師在課堂上通過變式展示知識發生、發展、形成的完整的認知過程.因此，變式教學有利于培養學生研究、探索問題的能力，是教學中學生思維訓練和技能培養的重要途徑.
我認為在變式教學的過程中，應包括以下幾個方面的內容：
一、概念、定理、公式的變式教學
1. 知識形成過程中的問題設計.從培養學生思維能力、創新意識的要求來看，數學概念的形成過程和其內涵、外延的揭示過程比數學概念的定義本身更重要.在知識形成過程的教學中，教師不應直接將現成結論教給學生，而應充分利用實驗、特例、多媒體教學等手段，設計系列問題，增加輔助、探索環節，引導學生從直觀想象出發去發現、猜想.通過多樣化的變式，培養學生觀察、分析以及概括的能力.然后，讓他們給出驗證或理論證明，使他們形成一個完整的認知過程，逐步掌握認識事物、發現規律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型變式.數學概念的變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.
對概念的引入變式舉例如下：
例1奇偶函數的定義，可通過下列變式題組引入：
（1）設f（x）=2x2，g（x）=x4+1，計算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
（2）設f（x）=x3，g（x）=-，計算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
首先，教師應引導學生觀察計算結果，并得出結論：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，啟發學生指出兩類函數的特點，從而引進奇偶函數的概念.
對概念的鞏固變式舉例如下：
例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x
變式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x
變式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），0（x=0），x（1+x）（x
變式3已知f（x）為奇函數，且x>0時，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
變式4已知f（x）是偶函數，且x>0時，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
通過上述變式的引入，可以使學生不僅對函數的奇偶性定義有了更深刻的理解，而且對不同題型的解法之間的內在聯系有了更深入的認識.
在概念形成后，教師不應急于讓學生應用概念解決問題，而應引導學生多角度、多方位、多層次地探索概念的變式，透過現象看本質.一方面，可針對概念的內涵與外延設計變式問題，在弄清其內涵與外延的過程中，培養學生思維的深刻性；另一方面，可針對一些內容或形式相似、易造成混淆的問題，在教學中設計辨析變式問題，使學生在錯綜復雜的事物聯系中發現事物的本質，并學會客觀地評價事物.
3. 定理、公式的深化變式.一些定理、公式的推導、證明方法具有典型性，往往代表了一類典型的解題方法或思想，對它們的證明及推導方法加以探索，有利于學生解題思想方法的形成、鞏固，并深化已學過的知識，從而培養學生的求異思維、創新意識.
例3（等比數列求和公式的推導）設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則其前n項和為：Sn=na1（q=1），（q≠1）.當q=1時，Sn=na1是顯然的，下面僅給出q≠1時的公式推導方法：
方法一：（錯位相減法）設Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，當q≠1時，Sn=.
方法二：（公式法）由整式除法知，當q≠1時，=1+q+q2+…+qn-1，兩邊同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三：（轉換法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . 當q≠1時，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.
方法四:（比例性質法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，當q≠1時得：Sn=.
4. 圖形變式.在數學教學中教師應盡可能利用圖形位置和襯托背景的變化，反復變更概念的非本質屬性，突出且保持概念的內涵特征，幫助學生形成正確的概念思維，培養學生思維的廣闊性.
二、例題、習題的變式教學
1. 一題多解變式.即引導學生對同一問題從不同角度加以思考，探求不同的解答方案，從而培養學生思維的敏捷性.
例4已知a，b，m∈R+且a.
證法1：a，b，m∈R+，欲證>，只需證（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需證明b>a成立.a.
證法2：a，b，m∈R+，a=-1，故>.
證法3：a，b，m∈R+，a=，即>.
證法4：b>a>0，可設b=ka（k>1），而m∈R+，=>==.即>.
上述各種證法涉及不等式證明的常用方法：分析法、比較法、放縮法及構造法等.通過對本題證法的全方位探討，無疑能培養學生的觀察能力、想象能力及綜合能力.
2. 一法多用變式.即將解決某一問題的方法加以歸納、總結并形成技巧，用以解決其他問題.這種變式能達到多題歸一的目的，能培養學生對知識、方法的遷移能力.
3. 一題多變變式.即從一道習題出發，運用逆向或橫向思維，通過改變題目條件、變化題型、變特殊條件為一般條件等手段，使原來的一道題變成一類題，再由一類題變為多類題，并通過對變題的研究、解決，使學生形成完整的知識結構，培養學生思維的靈活性、創造性的變式.
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例5求曲線y2=4-2x上與原點距離最近的點P的坐標.
變題一：（將條件一般化，提高應變能力）在曲線y2=4-2x上求一點M，使此點到A（a，0）的距離最短，并求最短距離.
變題二：（改變背景，提高創新能力）拋物線G1：y2=4-2x與動圓G2：（x-a）2+y2=1沒有公共點，求a的取值范圍.
變題三：已知拋物線C：y2=4-2x，圓心在x軸上的動圓在拋物線的內部相切于拋物線C的頂點，求動圓半徑的取值范圍.
變題四：（聯系實際，增強應用意識）一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是y=（0≤y≤20），在杯內放一個玻璃球，要使球觸及杯底，求玻璃球半徑r的取值范圍.
變題五：（變換條件結論，提高探索能力）是否存在滿足下列條件的拋物線：（1）準線是x=；（2）頂點在x軸上；（3）點O（0，0）到此拋物線上動點M的距離的最小值為.若存在，有幾條？并求方程.若不存在，說明理由.
三、教法、學法的變式
所謂教法、學法的變式，即教師在一堂課中根據教材的特點在貫穿啟發式教學的同時，或講授、或點撥、或討論、或探索、或練習、或實驗，運用多種教學手段，不斷變換教與學的方法，充分發揮學生的主體作用，使教師的主導作用與學生的主體作用達到和諧統一，大幅度提高課堂教學效率.
四、數學變式教學應注意以下幾個方面
如上對主要的數學變式教學方法進行了說明，但應當指出，數學變式不是為了變式而變式，而是要根據教學需要，遵循學生的認知規律.其目的是通過變式訓練，使學生在理解知識的基礎之上，把學到的知識轉化為能力，形成技能、技巧，完成“應用――理解――形成技能――培養能力”的認知過程.因此，數學變式教學要有一定的藝術性，要正確把握變式的度. 一般在數學變式教學時應注意以下幾個問題：
1. 差異性. 數學變式教學要突出一個變字，避免簡單的重復.變式題組的題目要有明顯的差異，每道題要使學生既感到熟悉，又感到新鮮.從心理學的角度看，新鮮的題目對學生的刺激性強，學生的神經興奮度高，做題時注意力就集中，思維就敏捷，從而能使訓練達到較好的效果.因此，數學變式教學要努力做到變中求活，變中求新，變中求異，變中求廣.
2. 層次性.數學變式教學要有一定的難度，才能調動學生的積極思考.但是，變式要由易到難，層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發展區，以充分激發學生的好奇心和求知欲；要讓學生經過思考，能夠跨過一個個門坎，從而起到培養學生的思維能力，發展學生的智力的作用.
3. 開闊性.一幅好畫，境界開闊就會令人回味無窮.同樣，數學變式教學，一定要內涵豐富，境界開闊，給學生留下充足的思維空間，讓學生感到內容充實.因此，所選范例必須要有典型性：一要注意知識的橫向聯系；二要能夠進行一題多解；三要具有延伸性，可進行一題多變.
4. 靈活性.根據教學內容和學生的實際情況，數學變式訓練的方式要靈活多樣，口頭、書面、板演均可，力求使學生的獨立練習和教師的啟發引導下的半獨立練習相結合.同時，根據教學內容，有時可分散訓練，有時可集中訓練，有時一個題目的變式可分幾次完成，以充分展示知識螺旋上升的形式. 這種靈活的訓練方式不僅可以提高學生的興趣，集中學生的注意力，而且可以使學生的多種感官參與學習，提高學生大腦和神經的興奮度，達到最佳的訓練效果.