時間：2022-07-26 05:36:30
導語：在勾股定理證明方法的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
一、定理引入
課堂教學開展之初，應利用一些生動有趣的故事引入，讓學生對所學知識產生興趣.
在教學勾股定理時，我用《九章算術》中的一題引入：如圖1，有個一丈見方的水池，在這個池中生長著一株植物，植物形似蘆葦，恰好伸出水面一尺長，假如把這株植物彎向岸邊，直到其與地面相連時，可否得出這一池水的深度，以及這株植物的長度？
圖1在方案設計時融入故事和趣味問題，主要的意圖是通過這些妙趣橫生的情境來激發學生的想象力，讓他們對學習勾股定理產生興趣，從而調動起他們的探究熱情.
圖2二、定理探索
定理的探索是一個發現的過程，主要分為以下兩步.
1.直角三角形的三邊數量關系的猜想
結合圖2，若圖中小方格的單位面積為1.問題（1）：如何求出三個正方形的面積？問題（2）：三個正方形的面積之間有什么等量關系？問題（3）：你能否得出直角三角形三邊的數量關系？
2.猜想驗證
首先作出八個全等的直角三角形，它們的兩個直角邊和斜邊分別設定為a、b、c，再作三個正方形，它們的邊長分別為a、b、c.然后按照圖3所示，將它們拼成兩個大的正方形.我們從兩個大正方形中可以發現，它們的邊長均為a+b，因此可以斷定它們的面積等同.即.
圖3通過上述驗證探索我們可以得知，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）.
三、定理應用
在驗證完上述定理之后，還需要針對學生掌握的情況進行解題嘗試，讓學生可以進一步應用定理. 以上述《九章算術》的習題為例，讓學生嘗試求出池水的深度以及這株植物的長度.
因為學生此時已經大致了解了勾股定理，因此在理解題意的基礎上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再將有關代數式代入等式中，通過解方程可以得出水深12尺，這株植物的長度為13尺.
四、定理證明
圖4 當學生完成了對勾股定理的猜測、驗證和應用后，最后還要對勾股定理進行證明.對此，我們將學生分為幾個小組，讓學生組內合作進行定理的證明.當然，勾股定理的證明方法有很多，所以針對不同的小組，讓他們采用不同的方法加以證明.就拿拼圖法來說，除了像圖3那種方法外，也可以用圖4來證明.
這一部分的操作意圖是為了讓學生之間的互動交流得以加強，使他們對勾股定理的原理和認知能夠得到全面的鞏固.
五、習題鞏固
針對學生對勾股定理的掌握情況，教師安排一些有針對性的習題進行一系列的鞏固練習，這在強化學生應用能力的同時，也加深了他們對該定理的認知，從而讓知識變得真實易懂，融入自身.
定理
【中圖分類號】 G633.6
【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格點”教具，提高學生計算能力，突破勾股定理的導入瓶頸
在小學，格點面積的相關計算是學生能力方面的一個要求，學生通過觀察不規則圖形在方格中的位置，通過割、補、拼等手段，以及巧算“格點”圖形的面積，就可計算出圖形的面積。在初中階段，勾股定理就是在“數”圖形面積的過程中發現并引入的，“數”面積也是勾股定理證明、應用的關鍵。為了達到較好的教學效果，在教具上，重點突出格點圖形面積的計算應用。首先用小木質黑板，畫好20×20的方格，用皮筋當線段，圖釘當頂點，在格點上“釘”出多邊形，讓學生采取對圖形的拼、割以及“格點”計算等不同的方法，計算多邊形圖形的面積。通過訓練，使學生更好地認識圖形，突破圖形面積的計算障礙，為學習“勾股定理”打下良好的基礎。這里，通過運用教具進行數學教學 ，把抽象的數學知識具體形象地呈現給學生，提高了學生的圖形感知能力。
二、用“拼盤”教具，加強學生數形結合能力，突破勾股定理的證明障礙
《勾股定理》的證明方法有很多，如何讓學生能很好地理解這些方法呢？筆者認為，應用簡易的教具去演示其中的奧妙，是教學中最好的方法。
筆者是這樣做的：制作底為7cm×7cm，高約0.5cm的正方盒1個以及直角邊為3cm×4cm的全等直角三角形4個，在教學中，如果拼擺這四個直角三角形，就可得到我國古代數學家趙爽以及美國總統的關于勾股定理的證明思想。
中國歷史上的“青朱出入圖”，是古人對勾股定理的無字證明。在教學時，可讓學生自己先制作這一學具，通過拼割、移動圖形，發現面積的變化，感受并體會勾股定理的奧秘所在。
教學中，運用這個教具，直觀形象地使各圖形之間的面積凸顯出來，幫助學生分析數量關系，抓住其本質要害，從而使抽象的數量關系具體化、形象化，有效地培養了學生的觀察、記憶、思維、想象能力。
三、用 “立體”教具，激發學生空間想象能力，解決勾股定理的分析困難
教具有能拼、能折、能拆等特點，利用這一特點，可使教學變得具有操作性和活動變化性。在應用勾股定理解決空間立體圖形的問題時，學生總是想象不出圖形中各線段之間的關系，無法理解空間問題，但適時利用圓錐、圓柱、長方體等教具，就可以讓學生很輕松地解決這一問題。
例如，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米。在圓形柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
讓學生自己做一個圓柱（圓柱側面繞一層紙），在圓柱上用鉛筆標注出A、B的位置，嘗試用鉛筆從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？用剪刀將圓柱側面的紙（沿母線剪開），將圓柱的側面展開。這時，學生不難發現，剛才用鉛筆畫的路線就是螞蟻的走法，哪條線段最短顯而易見。
四、用 “折疊”教具，強化學生的動手操作能力，增強學習勾股定理的信心
對于“折疊”類的數學問題，學生抓不住折前與折后數形之間的相互聯系，無法將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使“折疊”題成了難題。為了促進學生空間觀念的進一步發展，教師可以引導學生動手現場折疊廢舊紙片，發現其中的等量關系。
本節課的內容是九年制義務教育教科書（人教版），八年級第十七章“勾股定理”。通過向學生提供現實、有趣、富有挑戰的學習素材，使學生展開討論，讓學生從多角度思考，探索不同的方法，找到解決問題的策略，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法，同時在教學中滲透中華優秀傳統文化。
一、創設情景，引入新課
師：（結合動畫講故事）同學們，我們國家有著幾千年的悠久文化，西周開國時期，周公非常愛才，他和喜歡鉆研數學的商高是好朋友。有一天，商高對周公說，最近我又有一個新的發現，把一根長為7的直尺折成直角，使一邊長（勾）為3，另一邊長（股）為4，連接兩端（弦）得一個直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長等于多少？周公搖頭不知道。同學們，你們猜猜是多少？
生：5（不知道）
師：不知道也沒關系，我們來量一量斜邊的長就知道了。（動畫演示）
師：后來又發現，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長是10。這兩組數據是否具有某種共同點呢？帶著這個問題人們對直角三角形做了進一步的研究，通過計算三條邊長的平方發現，直角三角形中的三條邊長之間還真有一種特殊的關系。它們之間到底有什么樣的關系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
師：這是兩組特殊數字。想一想，是不是一個任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關系呢？
我們用幾何畫板再做一個實驗，請注意觀察。（任意改變直角三角形三邊的長度，度量、計算顯示相等關系依然不變。）
師：通過實驗，可以得到什么結論？
生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2+b2=c2
師：同學們概括得非常好！這個結論盡管是通過多次實驗得到的，但要說明它對任意的直角三角形都成立，還有待進行證明。我們先來觀察這個要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三條邊長。
師：a2、b2、c2是邊長的平方，由邊長的平方可聯想到什么？
生：正方形、正方形的面積。
師：對整個等式你們怎樣理解？
生：等式可以理解為兩個正方形的面積和等于一個正方形的面積。
師：那好，下面我們就來做一個拼正方形的游戲，看能不能對我們證明結論有些幫助。
二、動手拼圖，合作探索定理證明方法
師：現在，前后4人為一個小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個沒有空隙且不重疊的正方形。拼好后請上臺展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務最快。
師：同學們對比自己拼成的兩個圖形，看看它們有什么共同點和不同點？
生：都是邊長相等的正方形，但拼圖的模型不同。
生：這兩個正方形的面積相等。
師：這兩個正方形的面積怎樣計算呢？通過你的計算能否證明a2+b2=c2？請試一試。
師：看哪兩位同學愿意上來寫出證明過程。
師：兩位同學剛才用兩種不同的方法證明了實驗得出的結論，這就是我們今天要學習的勾股定理。請兩位同學再談談你們的證明思路好嗎？
生甲：圖（A）的面積用四個全等的直角三角形的面積加兩個正方形的面積，圖（B）的面積用四個全等的直角三角形的面積加一個正方形的面積，利用面積相等就證得結論。
生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計算它的面積也能證得結論。
師：說得好！甲同學的證明思路正好符合我們前面對等式的理解；乙同學的證明思路啟發我們還可以通過拼各種不同的圖形來證明勾股定理。
三、課堂練習
李明上學經過的路旁有一小湖，隔湖相對有兩棵樹A、B， 但無法直接測量出A、B之間的距離。請你幫他設計一個解決問題的方案好嗎？
四、小結
師：同學們可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問題。
師：說得好！這一節課，你們還學會了什么？
一、數學史之數學概念的發生、發展過程
數學概念是數學中最基本的元素之一，對數學概念的歷史挖掘可以更好的讓學生對概念的本質產生直觀印象，從源頭幫助學生學好知識，學透知識.
正數與負數的歷史發展
正數與負數的產生是人類思維進化的大飛躍.在原始時期，人們沒有數的概念，在計數的時候往往使用手指計數，當手指數量不夠用的時候，人們就會借助結繩、棍棒、石子的方式計數.隨著社會的發展，尤其是經濟的發展.對計數的要求就逐漸變高，于是就有了自然數的概念，分數的產生.而在生活中則有了比0度還低的溫度……這些情景的出現就要求人類開始考慮數字的正反，多少兩個層面的含義，于是就誕生了負數的概念.這種正負數產生的過程就可以讓學生真切的感知負數誕生的歷史背景和社會生態，有利于學生將正負數的知識遷移運用到生活當中.
二、數學史之定理的發現與證明過程
傳統課堂中對定理的證明和介紹往往是將證明過程進行展示，學生對定理的來歷和證明過程的原始記載并無掌握，不能很好的形成對所學知識的深刻印象.將定理證明的來源及其在不同國家的歷史發展介紹給學生將有助于深化對定理的理解，學習偉大數學家對待證明的方法，并感悟數學思想的魅力.
勾股定理的證明
在中國，勾股定理的證明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算經》的開頭就有關于勾股定理的相關內容；而在西方有文字記載的最早給出勾股定理證明的則是畢達哥拉斯.相傳是畢達哥拉斯在朋友家做客時，無意中看到朋友家地板的形狀，于是便在大腦中出現了一系列的假設和猜想，并隨后給予了論證.當畢達哥拉斯證明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是殺牛百頭以示祝賀.現在，數學家已經從不同的角度對勾股定理進行了證明，證明方法多達幾十種.
三、數學史之數學歷史中較為有名的難題解析
在數學的發展史中，有一些流傳下來的被后人津津樂道的數學難題，這些題目的解答中往往蘊含著豐富的數學解題思想和獨特的思維方式，同時也可以讓學生感受到數學問題的奧秘并從中獲得啟示.
哥尼斯堡七橋問題
在18世紀的時候，有一個小城角哥尼斯堡，城中有一條河，河上坐落著七座橋，這七座橋將河中間的兩個小島與岸邊相連.在那里生活的居民就提出了一個問題，如何在既不重復，也不落下的情況下走遍七座橋，并在最后回到出發點？這個問題困擾了大家很久，但始終都沒有得到解決.直到一位名叫歐拉的數學家通過將問題簡化和抽象最終得出了問題的解決辦法.這就是后人常提到的“一筆畫”問題.
四、數學史之數學家的故事
數學家的故事往往蘊含了豐富的人生哲理，不僅教會學生如何對待工作，對待生活，對待工作中的每個細節，還在側面影響了學生從事數學工作的意愿.教師可以在教學之余穿插介紹一些中外數學家的故事，重點介紹其對待數學事業的態度以及在工作上優良的品質，以鼓勵所有學生在數學學習過程中不斷的學習數學家的品質與風貌.
高斯的故事
高斯十歲上學時老師給所有同學出了個題目：將1-100的數字全部寫出來并把它們相加.老師原本想讓孩子們多算一會兒好讓自己休息，其他很多同學也開始用石板逐一計算.但是高斯卻很快就將答案擺在了老師的面前.老師自然對高斯的表現異常吃驚，尤其是高斯的答案是正確的.而當高斯解釋解題過程的時候，連老師都沒有想到將數字串進行首尾相加的方法卻從一個十歲兒童的筆下得出.這不得不讓人對這個孩子的聰穎大加贊賞和敬佩.
五、數學史之中國古代的數學成就
中國自古以來就有很多聞名于世的數學成就，這些數學成就不僅為后世所利用，同時也在很大程度上提升了中國在數學領域的地位.將中國古代的數學成就介紹給學生可以幫助學生了解中國古代或近現代的數學發展史，同時也可以增強學生的爰國主義情懷，提升學生投身于祖國數學事業的決心和毅力.
中國古代主要的數學成就
中國的數學起源于本土，并在獨立發展的同時形成了自身的風格.古代有三個中國數學發展的巔峰時期，分別是兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期.兩漢時期有著名的《九章算術》和《周髀算經》，到了魏晉南北朝時期則在這兩本著作的基礎上產生了其他的注釋和推導.最有名的莫過于劉輝“圓周率”的得出、此外例如《夏侯陽算經》等數學著作也相繼誕生；宋元時期的中國數學則達到了頂峰，李冶等一大批中國著名的數學家的誕生為當時中國的數學事業貢獻了大批成果.如“解高次方程的數值”、“楊輝三角”等.
除此之外，對于數學史中的一些重要成就在現當代的應用等都是可以用來傳授的材料，教師要在材料的甄選和表達方式上多下工夫，讓學生更好的領會到數學中蘊藏的人文價值和美學價值，以加強自我提升意識和爰國情懷.
顯性的數學教學文化濃郁厚重，比較直觀、直接，容易使學生振奮;隱性的數學教學文化淡雅，講究委婉、逐漸滲入，能夠起到潛移默化的作用。這兩種數學教學文化相輔相成，變換運用則能使得數學教學文化有內容、有內涵，從而達到理想的效果。如在教學《勾股定理》一課時，可以利用顯性文化，給學生講解勾股定理的發展歷史，讓學生從中品味其厚重而悠久的歷史傳承與發展:從中國周代商高的“勾廣三，股修四，徑隅五”到古希臘畢達哥拉斯的“勾股樹”;從三國時代趙爽的“勾股弦方圖”到西方歐幾里得的演繹推理;從清代的梅文鼎證明到美國總統加菲爾德的“構造法”證明，讓學生在頭腦中形成一幅勾股定理發生、發展及不斷豐富的歷史文化圖景，使其深深感受到其中濃郁而厚重的數學文化氣息。又如在教學“一次函數圖形平移”這一知識點時，先重點教授學生以坐標軸為參照系平移直線圖像，然后把原來的參照系移動，讓學生思考直線函數關系的變化。在動與不動的矛盾中，學生發現:圖像向左(右)移相當于y軸向右(左)平移，圖像向上(下)平移相當于x軸向下(上)移，實際上它們的相對位置并沒有改變。這進一步鞏固了學生對“運動的相對性”的理解，加深了其對“辯證意識”“數形結合”等思想的認知。這種認識文化的培養是隱性的，潤物無聲般浸潤著學生的心靈。這樣循序漸進、日積月累的持續滲透，對學生數學素養的形成有著極為重要的作用。
二、培養通透的數學教學文化感悟，讓學生體驗其美
數學是理性思維和想象的結合，其本身就是一種美的體現，體現在對稱性、簡潔性等諸多方面。如在研究三角形、函數時，會更加關注等腰三角形、二次函數的軸對稱性，這體現了軸對稱的美;在研究四邊形時，會更加關注平行四邊形的中心對稱性，這體現了中心對稱之美;對于最完美的圖形———圓來說，我們則更加關注垂徑定理……這種對稱之美讓學生感受到學數學不再是抽象的、枯燥的，而是一種美的享受和體驗。數學的簡潔美最直接地表現在數學符號上，它是全世界的通用語言，每個人都能從簡單的表達式中讀出其確切的含義。比如一些常見的數學符號及公式定理:圓周率π，三角函數sin，三角形的面積公式S=12ah，勾股定理a2+b2=c2等。這些符號公式言簡意賅，學生可以從簡潔的符號語言中明白其中的道理，體驗到數學的簡潔之美。數學之美包羅萬象，不同的問題從不同的角度體現出一定的數學之美。比如列方程解決問題，要從復雜的問題中抽象出一個簡單的等式，這既有抽象之美，又有簡潔之美，還有邏輯之美。教師應著重引導學生去體驗和感受這些美。
三、孕育嚴謹的數學教學文化精神，讓學生改革其新
數學教學文化具有理性思考、客觀認知、不斷追求的精神，而這種精神的孕育就是在課堂上、在師生雙邊的教學活動中。在教學《三角形的內角和》一課時，筆者先設計了“量一量”這個環節:讓學生利用量角器測量一個三角形的三個內角度數。通過測量學生發現，三角形三個內角之和大致在180°左右，這使得學生初步認識到三角形的內角和可能是一個定值，但是還難以達成一致。筆者接著讓學生進行“拼一拼”:將三角形的三個內角按照順序拼在一起。學生經過“拼一拼”就會發現三個內角組成一個平角，這使得學生在活動中鞏固了對“三角形內角和為180°”的認識。但這樣同樣具有局限性，于是，筆者順勢引導學生進行推理證明:過一個頂點做對邊的平行線，利用內錯角互補的原理，將另外兩個內角等量轉換出來，使得三個內角成為一個平角。“拼一拼”“量一量”的教學環節目的是讓學生初步感受到三角形的內角和為180°，同時也讓學生對此操作的局限性有一定的認識:操作的粗糙性，測量和拼圖總會存在一定的誤差，嚴密性不足;操作的特殊性，測量和拼出某一個三角形的內角和180°這一結論難以推至其他三角形，普遍性不足。因此，適時恰當的推理證明可以有效提高學生的數學學習積極性，培養學生的改革創新的精神及思維的嚴謹性，并使這些逐步內化為學生的能力和習慣。
四、提高數學文化的素養，使學生內化于心
新加坡是東南亞的經濟強國，該國一直非常重視對國民的教育,并特別注重發揮教育的功能性和實用性的作用. 在第三次國際數學和科學評測（TIMSS）中，新加坡學生的表現一直名列前茅,這引起了國際數學教育界對該國的數學教育的重視,對她的數學教育的研究已經成為國際數學教育研究共同體的一個重要的新領域.美國教育部還專門提供資金，組織專家對此進行研究.
“空間與圖形”對訓練學生的邏輯思維能力有其他學科難以取代的功能,這是不容置疑的. 而邏輯思維在生活和生產實際中有廣泛的應用. 因此,“空間與圖形”部分的教學在初中數學教學中一直被認為是占有重要的地位的.
本研究主要是對我國2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱中國《標準》）（7―9年級）中的“空間與圖形”部分和新加坡2006年發行的《中級數學課程提綱》（以下簡稱《課程提綱》）中的“幾何與測量”部分的內容設置要求等進行比較研究,希望能從中探討出一些新加坡成功的因素，從而給我國數學中“空間與圖形”部分內容的教育提供一些啟示.
2 比較分析
2.1 相同之處
2.1.1 重視發展學生的推理能力和交流表達能力
兩種標準都注重發展學生的推理能力和交流表達能力. 如中國《標準》提出：在探索圖形性質，與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理的思考與表達［2］. 新加坡《課程提綱》提出［1］：發展學生邏輯推理能力和數學交流表達能力，讓學生能做到自主學習與合作學習相結合；數學推理，交流表達與聯系能力的培養應該滲透到從小學到A水平大學的所有水平的數學學習過程中.
2.1.2 注重學生的情感體驗過程
中國《標準》提到［2］：學習平移、旋轉、對稱的基本性質，欣賞并體驗變換在現實生活中的廣泛應用. 在教學中，應注重所學內容與現實生活的聯系，注重使學生經歷觀察、操作、推理、想象等探索過程. 新加坡《課程提綱》則是這樣提出：學生對數學的態度是由他們的學習經歷發展形成的. 使數學學習有趣，有意義并且與生活息息相關將有助于學生形成對數學的積極態度；應注重學習活動的設計，從而加強學生對數學學習的信心和欣賞數學的態度. 由此可見，兩種標準都對學生的情感體驗過程給予了極大的關注. 2.2 不同之處
2.2.1 具體目標的呈現方式不同
中國《標準》在具體目標上對每一知識內容的要求都很詳細，它在提出對知識點要求的方式上用了較多的“通過豐富的實例”、“結合具體例子”、和“了解”、“知道”、“理解”、“欣賞”、“體會”、 “掌握”、“探索”等詞語的組合. 由這些詞語，可以看到，中國《標準》對“空間與圖形”的具體要求程度作了比較清楚明確的界定，因而可操作性較強，便于教師在教學實踐中進行操作.
而新加坡的《課程提綱》對具體目標只是部分用到了“尋找”、“解決”這兩個動詞，絕大部分內容知識點只是羅列出來，卻沒有具體動詞的. 比如，在提綱中，它只是列出了“角、三角形、勾股定理的應用”，而對這三個知識點是要求學生了解，理解還是掌握呢？它則沒有說明. 可以說，新加坡的《課程提綱》在具體目標上對知識內容的要求是較為簡明的，因而靈活性較強，教師在教學過程中可以根據實際情況恰當處理.
2.2.2 包含內容在廣度和深度上的不同
新加坡的中學階段開設了四種源流課程:特別課程,快捷課程,普通學術課程和普通工藝課程. 相應地它制定了三個數學課程提綱,分別是《O水準數學課程提綱》(O Level Mathematics Syllabus),主要是指導特別課程和快捷課程的數學教育;《普通學術數學課程提綱》(N(A) Level Mathematics Syllabus) ,適用于普通學術課程的數學教育和專門為普通工藝課程的數學課程而設的《普通工藝數學課程提綱》(N(T) Level Mathematics Syllabus). 由于修讀特別課程和快捷課程的學生占了新加坡中學生的絕大部分,且《O水準數學課程提綱》中的內容比較全面(《普通學術數學課程提綱》和《普通工藝數學課程提綱》的內容大部分都是它的子集),因此,本文以《O水準數學課程提綱》作為新加坡《中級數學課程提綱》的代表,選擇它的“幾何與測量”這部分內容來與中國《標準》7―9年級的“空間與圖形”這部分內容作比較.
中國《標準》中第三學段(7―9年級)的“空間與圖形”部分和新加坡《O水準數學課程提綱》中的“幾何與測量”部分的內容范圍大致如下表1（其中新加坡《O水準課程提綱》的附加部分是不會作為直接測試內容，但有可能在平時的問題解決中需間接用到這些知識）.
從表1可以發現，盡管中國《標準》與新加坡《O水準課程提綱》在“空間與圖形”這領域內容有很多相同的知識點. 比如,角、圓、測量、圖形的相似等等內容. 但在內容范圍的廣度上還是有不同之處的，如，“鑲嵌、視圖與投影、圖形的平移、圖形的旋轉、圖形與證明”等這些內容在《標準》中是有要求學習的，而《O水準課程提綱》則沒有要求. 同樣，“二維向量”在《O水準課程提綱》中有要求掌握，而《標準》的7―9年級則還不要求學習.
再參見《標準》（7―9年級）對“空間與圖形”部分的具體要求以及《O水準課程提綱》對“幾何與測量”部分內容的具體要求，詳細比較研究，可以得到，中國《標準》對“空間與圖形”這部分內容深度要求比新加坡的要高. 比如對相同的知識點“勾股定理”的要求來看，中國《標準》要求不僅要會應用勾股定理，還要理解體會它的證明過程. 而新加坡《O水準課程提綱》則是要求知道勾股定理并會應用它即可，要求明顯低些. 再從兩種標準中的不同知識內容來看，中國《標準》中要求掌握的“圖形與旋轉，圖形與證明”等這些比較抽象，邏輯推理比較強的知識內容一直是初中生學習的難點. 而《O水準課程提綱》對 “二維向量”的學習要求不高，主要是掌握向量的一些基礎概念及其基本運算.雖然《O水準課程提綱》附加部分有些內容是中國高中標準才要求學習的，但前面已經提到，附加這部分的內容是不列入學生直接考試內容的，并沒有要求一定要掌握，應該可以作為學生課外學習的內容.
2.2.3 對“知識的實際應用”的要求不同
“問題解決”是新加坡中級數學課程框架的核心. ［5］因而，新加坡整個數學課程的設計都是以提高學生的問題解決能力為宗旨的. 這在《課程提綱》對“幾何與測量”部分的要求也可以體現出來，例如，“應用全等和相似解決簡單的實際問題”，“測量球體，圓錐等的體積“，”通過測量，結合所學知識解決實際生活中一些組合體的體積和表面積問題”等等. 中國《標準》在“空間與圖形”這部分內容中也有提出要學生“運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題”的要求，但總體上來看，強調要求不夠突出，重視程度沒有新加坡的高.
3 啟示
通過兩種標準的比較可知，新加坡《課程提綱》要求中學4年所學習的“空間與圖形”這領域內容并不比中國初中生三年要學習的內容多很多，反而學的知識相對簡單. 可見，新加坡數學教育是比較注重鞏固學生的基礎知識的. 文［6］對新加坡數學教材中的“勾股定理”這節內容的分析，也得到這個特點. 而且新加坡的《課程提綱》對“推理證明”不作過多要求，它更多的是關注學生對知識的實際應用.
筆者認為，在數學課程改革中，我們應該向新加坡學習，在保持我國“注重雙基教學”的優良傳統基礎上，淡化演繹推理證明，注重知識的實際應用. 記得“新課標”剛頒布時，曾有專家指出：“‘新課標’大大淡化了數學中的推理證明，會使數學課失去靈魂. ”推理證明可以鍛煉學生的邏輯思維能力，這是無可厚非的. 但淡化并不等于沒有，只是舊課程要求的證明過多過繁，不利于學生的全面發展，所以我們應該將要求降低. 至于“關注知識的應用”方面，我們知道，“學以致用”一直是我們教育所追求的重要目標之一，因而，在我們的數學教學過程中應加強與解決實際問題的聯系. 在“空間與圖形”部分的教學更應該與實際測量等一些日常生活活動結合起來進行.
當然，數學教育的成功，不僅需要制定合適的數學課程標準，還需要編制出恰當的數學教材以及選取有效的數學教學方法等相結合. 因此，我們可以進一步去探究新加坡數學教材，教法方面的優點與不足，從而為我國的數學教育提供更多的參考與借鑒.
參考文獻
［1］ Ministry of Education ．Singapore.Secondary Mathematics Syllabuses［M］．2007.
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一、利用平面幾何知識證明線線垂直
由于立體幾何中的很多問題都可以通過“化空間為平面”的思想方法來解決，因此平面幾何中證明線線垂直的方法仍適用.如：勾股定理、菱形或正方形的對角線互相垂直、等腰三角形的三線合一、直徑所對的圓周角是直角、三角形全等、過切點的半徑垂直于切線，等等.
1.利用等腰三角形中“三線合一”的性質證明線線垂直。
例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點（如圖），求證：MNAB.
分析：由于M是AB邊上的中點，因此可以聯想到利用等腰三角形中“三線合一”性質來證明.不妨先構造一個三角形，然后證明它是等腰三角形.
證明：連接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奐平面ABCD。
PBBC
N是PC中點
BN=PC
PAAC
AN=PC
AN=BN，ANB是等腰三角形
M是AB中點
MNAB
點評：本題是先借助直角三角形的性質“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三線合一”得出MNAB.
2.利用勾股定理證明線線垂直。
例2：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPA.
分析：要證明BOPA，可以先證BOPA.可以計算一下BO，PO，BP三邊的長度，觀察是否滿足BO+PO=PB.
證明：連接PO，PB.
BBAO，BDAO
AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD內的射影.
設AB=a則BD=BD=a，OB=OD=a.
BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.
BO+PO=PB，BOPO，PAOB.
點評：本題的證明過程，既用到了平面幾何中的勾股定理，又用到了立體幾何中的三垂線定理，兩者有機地結合在一起.
3.利用菱形的性質、三角形全等證明線線垂直。
例3：已知平行六面體ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，證明：CCBD.
分析：要證CCBD，只要證BD平面OCC，即證BD和平面OCC內的兩條直線都垂直，可以利用菱形的性質和三角形全等來證.
證明：連AC交BD于O，連CO、BC、DC.
四邊形ABCD為菱形
AC與BD垂直且平分，即ACBD.
BC=CD，且∠CCB=∠CCD.
CDC≌CBC.
CD=CB即CBD是等腰三角形.
又O是BD的中點，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奐平面OCC
BD平面OCC.
CC?奐平面OCC.
BDCC.
點評：通過利用菱形的性質、三角形全等的性質、等腰三角形的性質證明了線面垂直，最后由此得出線線垂直.
4.利用若兩直線平行，其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。
例1除了用等腰三角形的性質來證明外，還可以利用平行線的性質來證.
分析：要證明ABMN，可以證明與MN平行的一條直線垂直于AB即可，不妨根據已知條件添加輔助線，構造一個平行四邊形.
證明：連PD取中點F，連NF，AF.
NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.
四邊形AMNF為平行四邊形.
MN∥AF.
PA平面ABCD.
PAAB.
又ABAD且PA∩AD=A.
AB平面PAD.
ABAF.
MNAB.
點評：本題重點考查空間中的垂直關系，還考查了平面幾何中兩直線平行的判定和性質，可見平面幾何知識在立體幾何中的重要性.
二、利用立體幾何中證明垂直的方法
1.利用線面垂直或面面垂直的性質證明線線垂直。
例1的前兩種證明方法都是借助平面幾何的知識來完成的，我們也可以用立體幾何的知識來證.
分析：要證線與線垂直，可以先證線與面垂直，然后利用線面垂直的性質，得出線與線垂直.
證明：取AC中點E，連接ME、EN
M是AB中點.
ME∥BC.
ABBC.
MEAB.
EN∥PA，PA平面ABCD.
EN平面MEN.
又AB?奐平面ABCD且ME∩NE=E.
AB平面MEN，而MN?奐平面MEN.
ABMN.
點評：線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉化.
2.利用三垂線定理及逆定理來證明線線垂直。
例4：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPB.
分析：要證明BOPA，只要證明PAAM，再證明AM是BO在平面AD中的射影即可.
證明：取AD中點M，連接OM，AM.
O，M均為中點.
OM∥AB∥AB.
又AB平面AADD.
OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.
又AAM≌ADP.
∠PAD+∠AMA=90°.
PAAAM.
由三垂線定理得PAOB.
點評：三垂線定理來證明線線垂直，基本程序為“一垂，二射，三證”，即第一步是找平面和垂線，第二步是找射影，第三步是證明垂直.
三、利用向量證明線線垂直
“兩向量垂直的充要條件是它們的數量積為零”，通過計算兩向量的數量積來證明兩條直線或線段垂直.
例5：l，l是相互垂直的異面直線，MN是它的公垂線段，點A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，證明：ACNB.
分析：如果建立適當的坐標系后能算出與的數量積為零，就能證明ACNB.
證明：建立空間坐標系M-XYZ.
令MN=1則A（-1，0，0）B（1，0，0）.
MN是l，l，的公垂線段，且ll.
l平面ABN.
l∥Z軸.
設C（0，1，m）則（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.
ACNB.
點評：用向量證明垂直的時候，要選取合適的坐標系，可以使計算變得非常簡單，通常可以利用已知的邊或特殊的邊建立坐標.
例1 （上海市）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形．
（1） 求證：四邊形ABCD是菱形.
（2） 若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．
（說明：本文所有例題皆選自2008年中考題）
分析： 證四邊形ABCD是菱形的方法有多種：證明四邊形ABCD的四條邊相等；證明平行四邊形ABCD有一組鄰邊相等（如，通過EAD≌ECD證AD=CD）；證明平行四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直.
若從AC既是平行四邊形ABCD的對角線，又是等邊ACE的一條邊的角度展開思考，可優先考慮對角線，利用等腰三角形的三線合一，證ACBD.事實上，有相當一部分題目，在從邊、角、對角線三個方向上構思解題策略時，可優先考慮對角線.
證明：（1） 由四邊形ABCD是平行四邊形，得OA=OC.
由EAC是等邊三角形，且OA=OC，得EOAC.
四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，
平行四邊形ABCD是菱形.
（2） 由EAC是等邊三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.
由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.
因為∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.
因為OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.
注：也可以這樣證明：因平行四邊形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四邊形ABCD是正方形.
策略2若直覺無效，則不妨從最原始的地方思考
例2 （重慶市）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E.
求證：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.
分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.
（2） 證明AD=DE，估計同學們憑借直覺在較短時間內無法找到證明方法.這時不妨從最原始的地方展開思考：利用全等三角形證明AD=DE.連接BD，得ADB、EDB.不難發現，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲證明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考慮待證線段AD=DE）.從運用DF∥AB的角度思考，可考慮證∠ABD=∠EBD.
由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.
又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.
∠ABD=∠EBD.
證明：略.
注：本題也可以延長DF交BC于點H，利用BHF≌DEF證BH=DE，利用平行四邊形ABHD的對邊相等，得AD=BH，從而完成證明.
策略3構造基本圖形
例3 （山東省）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點.求證：CEBE.
分析： 延長CE交BA的延長線于點F（如圖3）.
由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.
因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.
BCF是等腰三角形三線合一的基本圖形.
證明：略.
注：本題也可通過具體計算的方法，借助勾股定理的逆定理證明兩條直線互相垂直.
策略4計算證明法
例3再證：如圖4，過點C作CFAB，垂足為F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.
在RtBCF中，AD=CF= =2 .
在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.
在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.
CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.
∠CEB=90°.
注：本題還可通過過E作中位線進行計算證明.
策略5化歸策略
例4 （莆田市）如圖5，已知矩形ABCD，點P是BC邊上的一個動點.
（1） 求證：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（2） 請你探究：當點P在矩形ABCD的內部（如圖6）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.
（3） 當點P在矩形ABCD的外部（如圖7）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.
分析： （1） 因線段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以從運用勾股定理的角度可以將待證結論PA2+PC 2=PB 2+PD 2化為PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.
由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
（2） 如圖6，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F，則問題（2）即可以化歸成問題（1）.
運用（1）中的結論，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .兩式相減，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（3） 仿第（2）題，在圖7中，過點P作EF∥BC，分別交BA，CD的延長線于E，F，即可將問題化歸為問題（1），仿第（2）題的方法可獲解.
證明：略.
策略6整體考察法
例5 （廣州市）如圖8，每個小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是（）.
A. B. 2 C. D.
【關鍵詞】數學教學;應用價值;科學價值;人文價值;學習能力
【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）30-0022-02
【作者簡介】茅雅琳，江蘇省海門市東洲國際學校（江蘇海門，226199）教師，中學高級教師，南通市學科帶頭人。
數學，一方面，作為一個強大的工具，在科學領域和日常生活中都發揮著至關重要的作用，人們利用數學的力量去發現和闡明宇宙的奧秘;另一方面，作為一門基礎的學科，數學的嚴密性、抽象性和邏輯性又讓學生望而生畏。為了人人學有用的數學，讓不同的人獲得不同的發展，作為數學教師，我們在課堂上，應通過發現學科價值，發展學生學力，實現將數學的學術形態轉化為教育形態，變數學“冰冷的美麗”為“火熱的思考”。
一、發現學科價值
“人人學有價值的數學”，數學的學科價值包括應用價值、科學價值和人文價值，教學過程中，要努力發現數學的這些學科價值。
1.挖掘數學的應用價值。
根據弗賴登塔爾的“數學現實”原則，數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，教學過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程。數學教學如果脫離了豐富多彩而又錯綜復雜的背景材料，就將成為無源之水、無本之木。
教師教學時，要努力挖掘現實背景與數學知識之間的聯系，如超市組織的抽獎活動與概率，外出旅游時門票打折與二次函數，商場購物時方案選擇與一次函數，上學途中汽車行駛的路程與列方程解應用題，升旗儀式中旗桿的高度與解直角三角形等，很多數學知識都是因現實生活的需要而產生和發展的。數學的應用價值還體現在它與其他學科的聯系上，如在物理學科中，利用相似三角形求力、力臂;利用比例的性質求密度、壓強;利用方程組求電阻、電流等。在化學學科中，借助數學計算配平化學方程式，借助函數圖象觀察溶液的反應情況等。數學與學習、生活息息相關。教學中，要努力挖掘數學的應用價值，讓數學為人類生活服務。
2.凸顯數學的科學價值。
數學的科學價值體現在數學的精確性、嚴謹性、間接性、完備性、對稱性、統一性等本質特征上。數學是現代科學得以飛速發展的助推器，它在人類社會發展史上有著重要地位。
我們在教學中，要善于站到一定的高度看待數學教學，要遵循學生的思維發展規律進行教學。讓學生在歸納猜想的過程中體會數學語言的精確性，在推理論證的過程中感知數學說理的邏輯性，在分類討論中感受數學的完備性，在解決問題中感受數學的嚴密性，等等。
如在勾股定理的教學中，可以介紹我國《周髀算經》中關于勾股定理的記載、畢達哥拉斯學派對勾股定理的研究、世界各地對勾股定理的證明、勾股定理在實踐生活中的應用、勾股定理證明方法的探尋等，凸顯勾股定理的科學價值。
3.追求數學的人文價值。
學生理解數學知識是建立在他個人已有的全部經驗基礎之上的，他獲得的數學知識需要經歷他各種經驗的整合才能有機地聯系在一起。而這個整合過程，離不開學生情感的投入。學生帶著火熱的情感投入到數學學習之中，認真思考，踴躍探索，積極交流，主動合作，這些都體現了數學的人文價值。在這個過程中，學生獲得的就不僅是顯性的數學符號、法則，而且包括隱性的精神、思想、方法和價值觀念，后者服務于人的個性的不斷成長。
二、發展學生學力
著名特級教師李庾南老師曾提出：“學力是學習者借助一定的教育環境、教育資源和積極的教育實踐活動所形成的自我獲取、自我構建、自我發展、自我超越的知識、態度、能力的總和。”課堂教學要努力發展學生的學力，為學生的終身學習奠定基礎。
發展學生學力，應主要關注以下兩點：
1.發展學生的學習能力。
學力首先表現為學習能力，它主要包括閱讀能力、理解能力、記憶能力、思維能力、反思能力、專注能力等。要發展這些能力，首先要注重細節的培養。很多時候，學生拿到題目，喜歡匆忙解答，導致錯誤百出，究其原因，缺少一個重要環節――審題，而審題的關鍵就是認真閱讀。在閱讀過程中，對關鍵條件進行必要的圈劃，在圖形上標注已知條件，捕捉有用信息，將條件顯性化，這些細節的培養都有利于提高學生的閱讀能力。
發展學生的學習能力，還要善于暴露思維過程。在數學課堂中，教師經常用大量的時間進行數學題目的講解，應改變只講解題過程的做法，要盡量將問題分析的過程展示給學生，努力將解題的思維過程外顯。如由已知條件出發，根據已學定理或結論，該有哪些新的結論？這些結論中，哪些可用？哪些不用？為何如此選擇？在探尋過程中，出現了哪些障礙？如何快速做出判斷？出現了幾種思路？如何選擇正確的思路繼續前進？……也就是要充分暴露思維的過程。問題講解結束后，要將更多的時間留給學生進行反思整合，學生整合知識方法的過程就是學生學習能力得到發展的過程。
發展學生的學習能力，更要努力實現“課堂讓學”。讓時間――讓學生有充分思考交流和展示的時間;讓位置――讓課堂成為學生盡情展示的舞臺;讓評價――讓學生在互相糾錯質疑中拓展和提升。只有做到以上三點，學生才能真正成為學習的主人，才能實現學習能力的提高。
2.培養良好的學習品質。
學生在課堂上，除了獲得系統的數學知識和科學的學習方法以外，尤其要獲得良好的學習品質，包括積極進取的學習精神、良好穩定的學習習慣和睿智機靈的學習策略等。教師在課堂上，要注重這些良好品質的培養。我們可以通過創設情境引入新課，激發學生的學習興趣;重視數學思維，培養學生獨立思考的習慣;組織小組交流，引導學生積極參與;搭建展示平臺，鼓勵學生大膽發表個人見解，學會傾聽，勇于質疑;進行及時反饋，享受成功的喜悅，分析失敗的原因，保持良好穩定的學習心態。
數學是嚴謹的、簡潔的，同時又是美麗的、熱情的。在教學中，我們要挖掘數學的應用價值，激發學生的學習興趣，凸顯數學的科學價值，發展學生的學習能力，追求數學的人文價值，關注學生的學習情感，培養良好的學習品質。讓學生在數學課堂中，踴躍探索，積極思考，快樂成長。
【參考文獻】
[1]茅雅琳.“課堂讓學”理念下的課堂評析――以“正比例函數”一課為例[J].中國數學教育：初中版，2015（04）.