時間：2023-08-25 16:54:58
導(dǎo)語：在勾股定理的研究的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、新、老課程“勾股定理”的比較
1.課程內(nèi)容的變化
新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關(guān)素材，書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實的例子來展示勾股定理的應(yīng)用。
2.教學(xué)要求的變化
老教材對勾股定理的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學(xué)要求是：（1）經(jīng)歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題；（3）掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題；（4）通過實例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數(shù)據(jù)相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數(shù)據(jù)均不會過大，通過古埃及的結(jié)繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強了勾股定理的實際運用，利用勾股定理及逆定理解決實際問題成了重點，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)突出了勾股定理及逆定理的實用性。書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實的例子，來展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)它們的文化價值，并且在知識發(fā)生過程中，作了較高要求。
3.課程關(guān)注點的變化
老課程比較關(guān)注運用勾股定理及逆定理的相關(guān)運算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個三角形是否是直角三角形。新課程則強調(diào)了勾股定理在現(xiàn)實生活中起著重要作用，是數(shù)形結(jié)合的典范。
二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題及建議
1.重視實際情景
新課程創(chuàng)設(shè)實際情景，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實生活中勾股定理的應(yīng)用，從實際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實際情景，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個結(jié)，將繩子分成12等分，讓三位同學(xué)上講臺，一位同學(xué)握住第1和第13個結(jié)，一位握住第4個結(jié)，一位握第8個結(jié)，創(chuàng)設(shè)此情景，讓學(xué)生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數(shù)形結(jié)合
新教材里，勾股定理的探索和驗證過程中，數(shù)形結(jié)合有較多體現(xiàn)，滲透了代數(shù)運算與幾何圖形之間的關(guān)系。因此，建議在教學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如：在探索勾股定理過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實際應(yīng)用
對于勾股定理，新教材不僅要求能從實際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實際問題中，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。因此，建議在教學(xué)中充分利用教科書中的素材讓學(xué)生體會這種應(yīng)用，如古埃及人利用結(jié)繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學(xué)中不要直接給出結(jié)論，要鼓勵學(xué)生，通過觀察、實踐、推理、交流等獲得結(jié)論，發(fā)展空間觀念和推理能力。例如教科書設(shè)計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的探索得到結(jié)論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學(xué)生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機會，課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動參與探究或?qū)W習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極思維，督促每個學(xué)生都在這個過程中積極參與，從而培養(yǎng)探索與創(chuàng)新的精神。
6.重視愛國主義的滲透
勾股定理及逆定理在2008年重點省市中考數(shù)學(xué)試卷中的考點分布情況統(tǒng)計表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命題者青睞的知識點，考查題型多種多樣，有選擇、填空和解答題，試題內(nèi)容涉及面廣、命題形式靈活、多樣的特點，所占分值在5分到10分之間。
一、夯實基礎(chǔ)――直接利用定理進行計算與證明
綜觀近幾年的中考試題可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)勾股定理的簡單應(yīng)用主要體現(xiàn)在求三角形的邊長、面積題,以及判斷三角形的形狀上.
點評：勾股定理是一個數(shù)形結(jié)合定理，所以在運用勾股定理時如果沒有圖形常先畫圖，以增強解題的直觀性
例2 （2008年廣東考題)已知ABC的三邊長分別為5，13，12，則ABC的面積為（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能確定
解析：因為52+122=132，所以ABC為直角三角形，因而其面積為 ×5×12=30，故選A.
中考題型總結(jié)與預(yù)測：在2009年的中考試題中，對勾股定理的簡單計算仍將是命題的重點，試題難度不大，主要通過求三角形邊長、面積作為考查勾股定理的掌握程度.題型以選擇、填空為主，針對這些命題趨勢，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時應(yīng)夯實基礎(chǔ)知識，提高計算能力，注重對勾股定理的理解和運用.
二、提升能力――定理的實際應(yīng)用
勾股定理在初中數(shù)學(xué)知識體系中具有重要的應(yīng)用價值，在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活和其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，在解決這些實際應(yīng)用問題時，首先要將這此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再利用勾股定理及逆定理來解決.在應(yīng)用時要明確勾股定理的適應(yīng)范圍是直角三角形，如果沒有直角三角形，常通過作高來構(gòu)造直角三角形，從而創(chuàng)造利用勾股定理的條件.
【例題精析】
例3（2008黃岡考題）如圖2是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學(xué)到影視城游玩，很想知道這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)，于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫助黃紅同學(xué)計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少？
解析：如圖2，連接AC，作AC的中垂線交AC于G，交BD于N，交圓的另一點為M，由垂徑定理可知：MN為圓弧形的所在的圓與地面的切點，取MN的中點O，則O為圓心，連接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四邊形ABCD為矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
設(shè)O的圓心為R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以這個圓弧形門的最高點離地面的高度是520 cm．
點評：本題解決的關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，進行運用勾股定理求出圓弧形門所在圓的半徑.
中考題型總結(jié)與預(yù)測：2009年的中考試題中仍將加大勾股定理的應(yīng)用力度的考查，題型以填空和解答題為主，分值在5至8分之間.
三、歸納運用――定理應(yīng)用中的思想方法
數(shù)學(xué)思想是解決問題的靈魂，在勾股定理的應(yīng)用中常用到的數(shù)學(xué)思想方法主要有：
1.數(shù)形結(jié)合思想：抓住“數(shù)”與“形”之間的本質(zhì)聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，把抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀的形或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)，從而避開煩瑣運算，簡捷解題.
2.方程思想：是指通過列方程（組）求解的一種思想方法，是解幾何計算的重要策略.勾股定理實質(zhì)是一個等式，其表達式中有三個量，當(dāng)已知其中兩個量求另一個量時，往往通過設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)建方程來解決.
3.轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化思想就是把所要解決的的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題.例如，在解有關(guān)幾何體上的路線問題時，常將其轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，然后借助勾股定理來解決.
4.分類討論思想：分類討論思想就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后對每一類分別進行進行解決，從而達到解決整個問題的目的.例如，當(dāng)題中沒有具體說明已知邊是直角邊還是斜邊的情況時，常進行分類討論.
【例題精選】
例5（2008年新疆建議兵團考題）如圖3，某市區(qū)南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于點O處.甲沿著喀什路以4m/s的速度由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速度由南向北走.當(dāng)乙走到O點以北50m處時，甲恰好到點O處．若兩人繼續(xù)向前行走，求兩個人相距85m時各自的位置．
解析：設(shè)經(jīng)過x秒時兩人相距85m，根據(jù)題意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化簡得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合實際情況，舍去），當(dāng)x=9時，4x=36，50+3x=77，當(dāng)兩人相距85m時，甲在O點以東36m處，乙在O點以北77m處．
例6（2008青海考題）如圖4，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm．在圓柱的下底面A 點處有一個蜘蛛，它想吃到上底面上與 點相對的B 點處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是______cm（結(jié)果用帶根號和 的式子表示）．
解析：解此題的關(guān)鍵是把側(cè)面展開，利用兩點的連線中線段最短和勾股定理作答.如果說將圓柱體的側(cè)面沿AC剪開鋪平，如圖5, 則ADBC為長方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考題型總結(jié)與預(yù)測：在2009年的中考試題中，將加大對數(shù)學(xué)思想方法的考查，難度有所加大，值得我們關(guān)注和重視，此類題將以計算題和圖形操作題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右.
四、融會貫通――勾股定理的拓展應(yīng)用
勾股定理常應(yīng)用于解決圖形折疊、拼接問題以及在新情境下的探索性、開放性試題，這些試題起點低，但綜合性強，能綜合考查同學(xué)們對知識的融會貫通能力，相對較難.
【例題精選】
例7（2008年臨沂考題）如圖6，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn＝________.
點評：本題涉及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識，解此題的思路是：通過連續(xù)地運用勾股定理計算各個等腰直角三角形的斜邊長，進而求得直角三角形的面積，然后從中發(fā)現(xiàn)面積規(guī)律，再歸納出第n個等到腰直角三角形的面積，較好地考查了由特殊到一般進行規(guī)律探索的能力.
關(guān)鍵詞：勾股定理；探索；應(yīng)用
一、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識與技能目標(biāo)：用數(shù)格子（或割、補等）的方法體驗勾股定理的探索過程，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。
（2）過程與方法目標(biāo)：在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的數(shù)學(xué)過程，并體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
（3）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理的由來，激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。
二、教學(xué)重點及難點
重點：經(jīng)歷探索及驗證勾股定理的過程，并能用它來解決一些簡單的實際問題。
難點：用面積法探索勾股定理。
三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
工人師傅用長為4米的直梯將一幅宣傳橫幅掛在墻上高3.4米的位置，如果梯子的底部離墻的距離是1.2米，請問工人師傅能不能完成任務(wù)？
設(shè)計意圖：這樣的設(shè)計是以實際問題為切入點引入新課，反映了數(shù)學(xué)來源于實際生活，產(chǎn)生于人的需要，也體現(xiàn)了知識的發(fā)生過程，解決問題的過程也是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，從而引出本節(jié)課探究的主題。
（二）分類探究，發(fā)現(xiàn)定理
1.探究鋪墊
觀察下圖，你知道正方形C的面積是多少嗎？說說你的方法。
設(shè)計意圖：學(xué)生通過合作交流，嘗試探索方格中不同邊長的正方形的面積求法，這樣設(shè)計有利于降低新課的探究難度，為突破難點打下基礎(chǔ)。
2.問題探究
例1：邊數(shù)為整數(shù)的直角三角形
類型一：等腰直角三角形。
觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？
學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：
結(jié)論1：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
類型二：一般的直角三角形
由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？
觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？
結(jié)論2：“以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
做一做：
（1）你能用直角三角形的邊長，b，c來表示上圖中正方形的面積嗎？
（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？
（3）分別以3cm，4cm為直角邊作出直角三角形，并測量斜邊的長度，（2）中的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？
結(jié)論3：直角三角形兩直角邊的平方和，等于以斜邊的平方。
設(shè)計意圖：由直角三角形三邊長為邊的三個正方形的面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系，初步得到勾股定理的內(nèi)容.同時，引導(dǎo)學(xué)生具體畫出一個直角三角形，通過計算，進一步驗證勾股定理。
例2：邊數(shù)不為整數(shù)的直角三角形
運用幾何畫板進一步驗證上面的結(jié)論，改變直角三角形的三邊的長度，學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立。
設(shè)計意圖：由于邊數(shù)為整數(shù)直角三角形的三邊的平方關(guān)系，對于一般的直角三角形是否也成立？在這里，讓學(xué)生畫圖探討較為困難，因而利用幾何畫板進一步驗證前面得到的結(jié)論，在此基A上，進一步探討出本節(jié)課的重點----勾股定理。通過邊數(shù)為整數(shù)和不為整數(shù)兩方面的分類探究，充分地讓學(xué)生經(jīng)歷了探索勾股定理的過程，得出的結(jié)論也更具有一般性，較好的突出了重點，突破了難點。
例3：勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）
設(shè)計意圖：通過介紹勾股定理由來的歷史，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。
（三）回歸生活，應(yīng)用新知
解決情境問題。
設(shè)計意圖：讓學(xué)生解決開頭情景中的問題，前呼后應(yīng)，增強學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識，增加學(xué)以致用的樂趣和信心。
（四）知識拓展 ，鞏固深化
1.情境題：
小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58cm長和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
設(shè)計意圖：增加學(xué)生的生活常識，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識源于生活，并用于生活。
2.探索題：
做一個長，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識說明。
設(shè)計意圖：提升難度，學(xué)生通過交流討論的方式，拓展學(xué)生的思維、發(fā)展空間想象能力。
（五）課堂小結(jié)，概括要點
教師提問：
1.這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識和思想方法？
2.對這些內(nèi)容你有什么體會？與同伴進行交流。
在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：
1.知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分類討論、特殊―一般―特殊、形結(jié)合思想。
設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進師生、生生之間的交流、互動，培養(yǎng)學(xué)生語言表達和交流的能力。
（六）布置作業(yè)，思維延伸
1.教科書習(xí)題1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三邊長都滿足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它們滿足什么關(guān)系嗎？和同學(xué)們交流。
設(shè)計意圖：鞏固基礎(chǔ)知識；引發(fā)思考，強化認(rèn)識勾股定理適用的條件。對于銳角三角形和鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)課的方法得出相應(yīng)的結(jié)論，將本節(jié)課的研究方法延伸到課外。
參考文獻：
[1]陳光林.《勾股定理》學(xué)習(xí)指南[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（北師大版），2007（Z2）.
下面就浙教版八年級上冊第二章第六節(jié)“探索勾股定理”具體分析教學(xué)設(shè)計.
一、教學(xué)目標(biāo)
1． 知識目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理解決實際問題.
2． 能力目標(biāo)：通過探索勾股定理，讓學(xué)生學(xué)會探索的基本方法，提高學(xué)生的探索能力.
3． 情感目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
教學(xué)重點：勾股定理的探索及應(yīng)用.
教學(xué)難點：勾股定理的探索及驗證.
學(xué)情分析：學(xué)生經(jīng)過小學(xué)到七年級的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備一定的觀察、歸納和推理能力，同時在小學(xué)里已經(jīng)學(xué)習(xí)了求簡單基本圖形的面積公式，以及圖形的簡單割補，因此對圖形面積的計算具有一定的基礎(chǔ)，由于在探究勾股定理的正確性時，要求學(xué)生具有較高的空間圖形概念. 因此學(xué)生的現(xiàn)有能力與本節(jié)學(xué)習(xí)要求還有一定的差距.
二、教學(xué)過程
（一）結(jié)合生活，引入課題
利用多媒體展示生活中直角三角形的案例，如電線桿拉線、木棒斜靠在墻上、學(xué)生用的三角板等，通過圖片激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 在觀看圖片時教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的直角三角形的相關(guān)知識，然后提出問題：“直角三角形的三邊之間是否存在某種特殊的關(guān)系？”由此引入本課題，板書“探索勾股定理”.
設(shè)計意圖 對直角三角形定義以及直角三角形的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)有了一定的了解，這里讓學(xué)生通過欣賞圖片，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 通過這個環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷將生活中的事物進行數(shù)學(xué)抽象的過程，提高學(xué)生的空間概念. 在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的相關(guān)知識，同時讓學(xué)生了解本節(jié)課的主題是研究直角三角形三邊之間的關(guān)系.
（二）交流合作，探究新知
1． 探索勾股定理
給每名同學(xué)發(fā)下一張白紙，以四名同學(xué)為一個小組，同學(xué)之間進行分工合作，每個學(xué)生按要求畫三角形. 要求盡量準(zhǔn)確地在紙上作出相應(yīng)的一個直角三角形，兩直角邊長分別為：
第一名同學(xué)：3厘米和4厘米； 第二名同學(xué)：6厘米和8 厘米；
第三名同學(xué)：5厘米和12厘米；第四名同學(xué)：9厘米和12厘米.
并且測量斜邊的長度，結(jié)果保留整數(shù)，并通過計算填寫表格.
觀察表中a2 ＋ b2與c2兩列的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長之間的關(guān)系嗎？
小組討論，并且得出結(jié)論：a2 ＋ b2 ＝ c2.
設(shè)計意圖 通過以小組為單位合作學(xué)習(xí)，有利于加強學(xué)生的合作意識，在學(xué)習(xí)中相互合作，在合作中相互學(xué)習(xí)，取長補短. 同時通過學(xué)生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理，有利于提高學(xué)生的動手能力和探索發(fā)現(xiàn)能力. 四名同學(xué)每人作一個直角三角形，有利于在較短的教學(xué)時間內(nèi)作出較多的直角三角形，從而探索出勾股定理.
2． 探究勾股定理的正確性
以小組為單位，用四塊相同的直角三角板（或者四塊相同的直角三角形紙片）拼一個大的正方形，其中間空出一個小的正方形，然后通過它們面積之間的關(guān)系來驗證上面探究出的等量關(guān)系.
課堂預(yù)設(shè) 本環(huán)節(jié)對學(xué)生來說有一定的難度，為保證在規(guī)定時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，教師應(yīng)當(dāng)及時引導(dǎo)學(xué)生操作.
當(dāng)小組合作差不多時，在屏幕上展示拼湊方法有兩種：圖1和圖2.
分析：運用等積法，圖1中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得：c2 ＝ 4 × ■ab ＋ （b － a）2，化簡，得c2 ＝ a2 ＋ b2.
圖2中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得（a ＋ b）2 ＝ 4 × ■ab ＋ c2，化簡，得a2 ＋ b2 ＝ c2.
設(shè)計意圖 用直角三角形來驗證勾股定理，對學(xué)生來說有一定的難度. 因此這里設(shè)計小組活動，可以發(fā)揮集體智慧的作用，避免基礎(chǔ)較差學(xué)生因難度太大而無所事事. 同時通過本環(huán)節(jié)讓學(xué)生樹立“任何猜想需要通過驗證后才能作為正確結(jié)論”的觀念，理解勾股定理可由等積法得到驗證.
3． 揭示勾股定理
在上兩個環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，教師給出勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
如果直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2 ＋ b2 ＝ c2.
同時介紹數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的. 中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三邊都為整數(shù)的最小直角三角形的三邊長為3，4，5，因此有勾三、股四、弦五之說. （勾股定理在西方稱為畢達哥拉斯定理）
設(shè)計意圖 這個環(huán)節(jié)旨在揭示本節(jié)課的主題：勾股定理，讓學(xué)生掌握. 同時通過介紹數(shù)學(xué)小史，讓學(xué)生感受中國之偉大，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.
（三）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，鞏固所學(xué)
1． 人人都是“小老師”
例1 已知ABC中，∠C ＝ 90°，AB ＝ c， BC ＝ a， AC ＝ b，
（1）如果a = 1,b = 2，求c；（答案：■）
（2）如果a ＝ 15，c ＝ 17 求b；（答案： 8 ）
以同桌的兩名同學(xué)為小組，在學(xué)生各自完成例題解答后，小組間相互交換批改，并且討論遇到的問題. 如有學(xué)習(xí)困難的同學(xué)，小組成員負(fù)責(zé)幫助指導(dǎo).
鞏固所學(xué)：比一比誰最快.
（1）直角三角形的兩直角邊為6和8，則斜邊為 .
（答案：10 ）
（2）直角三角形的兩直角邊為2和3，則斜邊為 .
（ 答案：■）
（3）直角三角形的兩條邊為3和4，則這個直角三角形的第三邊長為 . （答案：5或■）
設(shè)計意圖 通過本例，試圖讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理求直角三角形的邊長，為運用勾股定理解決實際問題打下良好的基礎(chǔ). 這里以二人小組進行合作學(xué)習(xí)，既方便組合，提高學(xué)習(xí)效率，又有利于同學(xué)之間的相互幫助. 通過同學(xué)之間的相互探討，可以使學(xué)習(xí)困難的學(xué)生得到及時的幫助，增強他們的學(xué)習(xí)信心，提高他們的學(xué)習(xí)積極性. 通過一組練習(xí)題，進一步鞏固勾股定理和運用勾股定理進行計算，是現(xiàn)炒現(xiàn)買，尤其是已知直角三角形的兩條邊長，求第三邊長時，有兩種情況，需進行分類討論.
2． 學(xué)以致用
例2 如圖3，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電桿底部B的距離．
設(shè)計意圖 學(xué)生學(xué)習(xí)知識的目的是應(yīng)用，學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的目的是為了應(yīng)用勾股定理解決實際問題. 因此設(shè)計本例讓學(xué)生學(xué)會將學(xué)到的知識應(yīng)用于實際，認(rèn)識到知識來源于生活，也必將應(yīng)用于生活. 同時本例也很好地呼應(yīng)引入時的問題.
例3 如圖4，是一個長方形零件，根據(jù)所給尺寸（單位：毫米），求兩孔中心A，B之間的距離.
設(shè)計意圖 本例是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何構(gòu)造出直角三角形，并且運用所學(xué)的勾股定理加以解決. 由于學(xué)生對從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力不是很強，教師在實際教學(xué)過程中要及時引導(dǎo). 通過本例練習(xí)可以讓學(xué)生掌握解決問題的方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
（四）課堂小結(jié)，學(xué)生主角
1． 通過本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？
2． 在本節(jié)課中你有哪些認(rèn)識和收獲？
設(shè)計意圖 本小節(jié)采用了學(xué)生自主小結(jié)的方法，讓學(xué)生從知識、能力和情感等多角度進行小結(jié). 通過知識層面的小結(jié)使學(xué)生把一堂課所學(xué)的知識系統(tǒng)化，有利于對所學(xué)知識的鞏固和掌握. 通過認(rèn)識和收獲的小結(jié)，可以使學(xué)生再次梳理自己的情感思維，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激勵學(xué)生的的探索精神.
三、設(shè)計反思
優(yōu)秀的課堂教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)是通過課堂教學(xué)使各類教學(xué)目標(biāo)得以圓滿達成. 而要實現(xiàn)這個目標(biāo)，一個重要環(huán)節(jié)便是教學(xué)設(shè)計，優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計是優(yōu)秀課堂教學(xué)的前提和保證. 通過本教學(xué)設(shè)計使我深深感受到要設(shè)計合作學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方式并不難，但是要設(shè)計切實可行且具有較好學(xué)習(xí)效果的教學(xué)方案，卻有較大難度.
基于這些理由，本文選取在國內(nèi)被廣泛使用的人民教育出版社、華東師范大學(xué)出版社和北京師范大學(xué)出版社出版的三套《數(shù)學(xué)》教科書，從微觀層面來考察其中“勾股定理”部分的編寫. 在研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)一些由于編寫者疏落或失誤造成的問題. 這些問題有可能對學(xué)生的學(xué)習(xí)及今后的發(fā)展產(chǎn)生一定的負(fù)面影響. 那么我們有必要指出這些錯誤，并希望編寫者在教科書修訂時做出修正和改進.
1 引言的設(shè)計
三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數(shù)學(xué)》，放置了2002年國際數(shù)學(xué)家大會會場的照片，其中會徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：
后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發(fā)現(xiàn)這個關(guān)系嗎?
筆者認(rèn)為這段話存在兩個問題. 第一，在引言部分就把結(jié)論明確地告訴學(xué)生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結(jié)論告訴學(xué)生后再問學(xué)生你能發(fā)現(xiàn)它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個已經(jīng)吃好飯的人，你想吃飯嗎?
我們認(rèn)為，引言可以提出一個具體的問題情境來導(dǎo)入本章的學(xué)習(xí)，也可以給出本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生明確這一章要學(xué)習(xí)什么. 但不可以把需要探究和猜想的結(jié)論展現(xiàn)在學(xué)生面前.
圖1
人教社版《數(shù)學(xué)》還有一處類似的錯誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個小錯誤對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也許不會產(chǎn)生大的影響，但是作為國家權(quán)威教科書出版單位，犯如此低級的錯誤也是不應(yīng)該的.
2 定理的發(fā)現(xiàn)
數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個恰當(dāng)?shù)睦? 不過，在實際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計上有兩個難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學(xué)生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學(xué)生很難自行探究，尋得解決的方法.[2]教師通常是依據(jù)教科書來進行教學(xué)的，那么，我們來看一下教科書是如何設(shè)計的.
華師大版《數(shù)學(xué)》第48頁安排了“試一試”：
測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：
根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關(guān)系.
筆者認(rèn)為，這個活動設(shè)計得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是十分容易的事(比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學(xué)生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何況來猜想三個非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 教科書這樣設(shè)計和處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費了不少時間，而且沒有多大意義和價值.
3 勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”而非“發(fā)明”的
華師大版《數(shù)學(xué)》第55頁安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：
人們對勾股定理的認(rèn)識，經(jīng)歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻中都有記載，很難區(qū)分這個定理是誰最先發(fā)明的. 國外一般認(rèn)為這個定理是畢達哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱為畢達哥拉斯定理.
這里有兩處錯誤. 第一，勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”還是“發(fā)明”的?我們知道，發(fā)明是創(chuàng)造，一種從無到有的過程；而發(fā)現(xiàn)是一種本來就有，從不認(rèn)識到認(rèn)識的過程. 那么，數(shù)學(xué)定理的證明方法，可以是一種從無到有的發(fā)明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發(fā)現(xiàn)的. 教科書中一段話里對定理的產(chǎn)生使用了發(fā)明和發(fā)現(xiàn)這兩個詞語，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因為畢達哥拉斯或其學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)定理，而是因為在數(shù)學(xué)史上有明確記載，畢達哥拉斯或其學(xué)派首先證明該定理，才被稱為畢達哥拉斯定理的. 同樣的錯誤，我們可以在人教社版《數(shù)學(xué)》上看到，第74頁有個小標(biāo)簽，上面寫著：
在西方，一般認(rèn)為這個定理是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理.
相比較而言，北師大版《數(shù)學(xué)》則相對比較準(zhǔn)確. 第8頁有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：
相傳兩千多年前，希臘的畢達哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.
4 問題情境應(yīng)避免“人為”的創(chuàng)設(shè)
北師大版《數(shù)學(xué)》設(shè)置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：
強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?
對于這一問題，如果考慮該題的現(xiàn)實性和科學(xué)性，橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測量(唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米). 所以這個問題的設(shè)計并不合理. 相對而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數(shù)學(xué)》第50頁在給出勾股定理后安排了例1：
如圖(圖略)，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)
這里，梯子的長度是容易測量的，BC的長度也是容易測量的，而垂直距離AB確實是難測量的. 因為難以測量，我們便求助于計算，求助于數(shù)學(xué). 這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是有用的.
我們再來看北師大版《數(shù)學(xué)》第9頁例1：
我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎?
從情境的合理性和科學(xué)性角度考慮，這一題應(yīng)該問題不大；但我們來看另外一題：
飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米. 飛機每時飛行多少千米?
這一題出現(xiàn)在修訂前的北師大版《數(shù)學(xué)》中，與前一題在本質(zhì)上是一模一樣的. 如果考慮一下這個4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測到的，就不難明白，為什么教科書修訂時把這一題改成前一題了.
我們再來看一題，北師大版《數(shù)學(xué)》第3節(jié)《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習(xí)”：
甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險. 某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向正東行走. 1時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠(yuǎn)?”
我們在一本美國的幾何教材《發(fā)現(xiàn)幾何》第9.3節(jié)的練習(xí)B中看到了這道題目的原型[3]：
在火星正午時間，朗達?本德博士離開美國火星研究站，以60千米/時向東行進. 1小時后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時向北行進，去觀察極地冰帽. 火星時間下午3時，博士與教授相距多遠(yuǎn)?答案精確到千米.
從這兩個問題的表述上看，《發(fā)現(xiàn)幾何》比北師大版《數(shù)學(xué)》更具想象和充滿冒險. 北師大版《數(shù)學(xué)》只把學(xué)生帶進沙漠，而《發(fā)現(xiàn)幾何》卻把學(xué)生帶到了火星. 北師大版《數(shù)學(xué)》是讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，或者說是“做數(shù)學(xué)”；而《發(fā)現(xiàn)幾何》不僅是“做數(shù)學(xué)”，更是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問題，而這個過程是充滿樂趣的.
筆者這里舉了幾個例子，是想說明教科書編寫者在設(shè)計習(xí)題時采用不同的觀念，有的是為數(shù)學(xué)而問題，有的是為學(xué)生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導(dǎo)致習(xí)題是“人為”還是“為人(學(xué)生)”的區(qū)別. 比如，“人為”的問題，為數(shù)學(xué)而問題，問題都是圍繞數(shù)學(xué)而編寫、杜撰的(前文那個“旗桿問題”就是為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)). 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模昝赖模苍S遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實生活，也遠(yuǎn)離了學(xué)生的想象世界. 事實上，教科書在編寫時，應(yīng)該從學(xué)生出發(fā)，考慮問題情境的科學(xué)性和合理性，避免出現(xiàn)“人為”的題目.
5 趙爽的證明方法
趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數(shù)學(xué)史研究中是有爭議的. 錢寶琮先生認(rèn)為他采用代數(shù)方法，利用面積計算；而吳文俊、李文林先生則認(rèn)為他采用幾何方法，利用出入相補原理. 事實上，代數(shù)觀點比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時代的人們的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.
我們看到，對這樣未形成定論的內(nèi)容，教科書在處理時卻顯得有些草率.
人教社版《數(shù)學(xué)》在73頁，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補原理來證明的.
華師大版《數(shù)學(xué)》在52頁安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計算面積驗證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯(lián)系上下文，容易讓學(xué)生認(rèn)為趙爽是使用代數(shù)方法證明勾股定理.
北師大版《數(shù)學(xué)》第8頁和第9頁介紹了證明方法，將大正方形分割成四個直角三角形和一個正方形，然后通過計算面積驗證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認(rèn)為他是采用代數(shù)方法. 其后12頁介紹了劉徽用出入相補原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.
我們認(rèn)為，對于未有定論的內(nèi)容，教科書就不應(yīng)該草率地把某種觀點強加給學(xué)生，不可以對學(xué)生說，趙爽就是用這種代數(shù)方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補原理證明的. 數(shù)學(xué)教科書在涉及數(shù)學(xué)史時要特別注意一個問題，即在向?qū)W生展示史實，展示重要事件、重要人物與重要成果時，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現(xiàn)歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導(dǎo)學(xué)生，對有爭議的以及沒有最終定論的題材應(yīng)給學(xué)生必要的說明. [4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點介紹其中一種證法，隨后簡單介紹另一種，同時聲明本書傾向于前一種觀點；而學(xué)生可以接受前一種，也可以是后一種觀點. 不過，不管是哪一種，學(xué)生都應(yīng)該經(jīng)過自己的思考，要有接受這一觀點的理由.
參考文獻
[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學(xué)視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顧泠沅.教學(xué)改革的行動與詮釋[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
教學(xué)目標(biāo)：
1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，感受數(shù)學(xué)問題由“觀察――猜想――驗證――論證”的科學(xué)研究方法，體會數(shù)學(xué)問題中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
2.能用勾股定理解決一些簡單問題。
教學(xué)重點：探究勾股定理探索并證明勾股定理。
教學(xué)難點：勾股定理的探究和證明。
教學(xué)過程：
老師導(dǎo)入語：同學(xué)們，我們今天來玩游戲吧！我設(shè)置了一個闖關(guān)游戲，分為五關(guān)，每關(guān)都設(shè)有相應(yīng)的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎哦！請看第一關(guān)：眼力大比拼。
設(shè)計意圖：重視引言教學(xué)，以游戲名義開始教學(xué)，吸引學(xué)生的興趣。
第一關(guān)：眼力大比拼――【導(dǎo)入】
問1：這是我家的地板，請觀察上圖中三個正方形的面積之間有什么關(guān)系？
問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關(guān)系？
結(jié)論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。
設(shè)計意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關(guān)系，體會數(shù)學(xué)問題來源于生活，而且處處都可以發(fā)現(xiàn)問題。
老師：第一關(guān)你們闖關(guān)成功。通過第一關(guān)我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會有什么猜想呢？
第二關(guān)：大膽猜想
老師：你們會有什么猜想呢？
學(xué)生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
設(shè)計意圖：通過引導(dǎo)，大膽猜想，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
第三關(guān)：驗證猜想
【探究一】
請測量下列直角三角形的三邊長，并分別計算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。
老師：為節(jié)約時間，我指定第1，2小組測量圖（1）；第3，4組測量圖（2）；第5，6組測量圖（3）；測完后各小組派個代表報數(shù)，并說明實驗數(shù)據(jù)能不能證猜想。
設(shè)計意圖：通過實驗操作，來驗證猜想；通過參與驗證的過程，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
老師：我現(xiàn)在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數(shù)據(jù)的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
老師：通過幾何畫板可以畫出無數(shù)個的直角三角形，這些三角形是否驗證了我們的猜想關(guān)系式？
設(shè)計意圖：體會數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，實驗只能驗證猜想，還需要理論論證。
第四關(guān)：論證猜想
拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個特殊的圖形。
游戲規(guī)則：（1）以4個全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內(nèi)完成。
老師：小組進行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學(xué)生基本上會拼出兩種圖形：
老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請小組講解）
小組通過面積關(guān)系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
設(shè)計意圖：展示小組合作能力；發(fā)展學(xué)生的形象思維；體會數(shù)形結(jié)合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（數(shù)學(xué)符號語言表達）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
學(xué)習(xí)勾股定理后，用語音播放勾股定理的發(fā)展歷史，及我國古代的前輩們早在公元前1000多年前就發(fā)現(xiàn)了勾股定理。
設(shè)計意圖：了解我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明做出的貢獻，增強民族自豪感。
思考：（公式變形）
在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：
（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。
設(shè)計意圖：學(xué)生要掌握勾股定理的變形，體會勾股定理可以用來求直角三角形的邊長。
第五關(guān)：知識應(yīng)用大比拼
1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。
（1）若a=6，b=8，則c=_____。
（2）若c=3，b=2，則a=_____。
（3）若c=4，a=3，則b=_____。
2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判斷對錯：若a、b、c為RtABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）
設(shè)計意圖：考察學(xué)生能否掌握勾股定理的表達式，體驗強調(diào)直角的重要性；以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。
4.如圖，受臺風(fēng)彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？
設(shè)計意圖：通過學(xué)生親身經(jīng)歷的生活背景，來考察勾股定理在實際生活中的應(yīng)用。
小結(jié)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)這節(jié)課體會的從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗證，論證。
設(shè)計意圖：感悟數(shù)學(xué)思想，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。
一、方程思想
方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，運用定義、公式、性質(zhì)、定理和已知條件、隱含條件，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思想方法.在勾股定理教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生方程思想，讓學(xué)生學(xué)會設(shè)直角三角形的一邊為x，再用x的代數(shù)式表示其他邊，然后根據(jù)“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解決問題.
【例1】 如圖1，ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分線，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的長.
解：設(shè)CE=xcm，AC=4cm，
AE=AC-CE=（4-x）cm，
通過以上設(shè)計的例題教學(xué)，一方面增強了學(xué)生探究的興趣，另一方面也訓(xùn)練了學(xué)生如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建模的能力.如此設(shè)計例題教學(xué)符合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀，符合高中階段學(xué)生的思維特征，能促進學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，讓例題教學(xué)的質(zhì)量更高.
四、化歸思想
化歸思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的一種方法.教育家波利亞曾經(jīng)說過：“解數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，就是把那些陌生的、較為困難或復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題，通過某種轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為某些熟悉的、已經(jīng)解決的或容易解決的數(shù)學(xué)問題.”因此，教師在教學(xué)過程中要注意滲透轉(zhuǎn)化思想，從而提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決實際問題的能力.
【例4】 如圖4，一塊長、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長是（ ）.
連接EF，在RtEBF中，根據(jù)勾股定理得
BE2+BF2=EF2.
∠DCE=45°，
∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，
CDE≌CFE，
DE=EF，
關(guān)鍵詞教育改革；新課程；應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教材各章中都介紹了相關(guān)的數(shù)學(xué)史，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的逐步推進，數(shù)學(xué)史漸漸受到教師的重視，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的重要作用逐漸凸顯出來．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)囊霐?shù)學(xué)史能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美，并且能夠?qū)W(xué)生進行愛國主義教育，增強他們的民族自豪感。因此，引入了教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史會極大的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對于數(shù)學(xué)教學(xué)大有裨益。下面結(jié)合實際教學(xué)中數(shù)學(xué)史的一些應(yīng)用案例，談一談我對于這個問題的一點看法。
一、依據(jù)教材特點，讓數(shù)學(xué)是自然融入課堂教學(xué)
園是一個歷史悠久的課題，生活中到處都能見到他的身影，對于圓的認(rèn)識，人類從6000多年前就開始了，講課中適當(dāng)?shù)囊胗嘘P(guān)史料，作為教材知識的補充和延伸。在講解圓的定義和性質(zhì)是，我向?qū)W生介紹，2000多年前我國的墨子就給出了圓的概念“圓，一中同長也。”即：圓周上的各點到圓心的距離相等。這個概念不僅和歐幾里得所給的概念相似，并且比之早了100多年。又如圓的另一些知識，我都用了比較簡潔的幾句話想學(xué)生介紹了關(guān)與它們的數(shù)學(xué)史。隨著這一章教材的不斷展開，同學(xué)們對我國古代在相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展概貌有個初步的了解，明白我國古代就對這些內(nèi)容有了比較全面、系統(tǒng)的認(rèn)識。特別是早在戰(zhàn)國時期就有了論證幾何學(xué)的萌芽，幾乎與古希臘的幾何學(xué)同時產(chǎn)生。這樣，讓數(shù)學(xué)史自然而然的融入課堂教學(xué)，提高了學(xué)生的積極性，達到了良好的教學(xué)效果。
二、結(jié)合教材內(nèi)容，選擇前擋的數(shù)學(xué)史料使之貼近教學(xué)內(nèi)容
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它競相證明，這也許是因為它既重要又簡單，更容易吸引人。關(guān)于勾股定理的知識在《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《幾何原本》等書中都有記載，其中《周髀算經(jīng)》中記錄了商高曾說過：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。講授勾股定理這一知識時，我把這段話向?qū)W生做了介紹，并與教材中的“畢達哥拉斯定理的傳說”作了對比，讓學(xué)生了解到我國對于勾股定理的認(rèn)識比西方早了五百多年，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和增強了他們的民族自豪感。在對勾股定理進行證明時，采用了三國時期的趙爽利用他所創(chuàng)制的“勾股圓方圖”證明勾股定理的方法。這一恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料不僅使得教學(xué)過程簡潔明了，而且對學(xué)生進行了愛國主義教育，可謂選材精巧，打到了一箭雙雕的效果。
三、讓數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中多樣化的呈現(xiàn)，提高教學(xué)效果
初中學(xué)生的邏輯思維能力還不是太強，因此需要通過直觀、操作等手段幫助學(xué)生理解抽象的幾何關(guān)系與演繹邏輯．而借助中國結(jié)、紙風(fēng)車等為載體抽象出來的幾何圖形，通過拼圖能直觀地驗證勾股定理，這對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)尤其是抽象思維能力較弱的學(xué)生而言是極為重要的，降低了思維難度，但同時又提高了學(xué)生的參與度、興趣與信心．其次，密切數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)．在很長一段時間里，學(xué)生學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其生活是相互割裂的．這樣的學(xué)習(xí)也造成了很大的教育問題，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)未能被正當(dāng)?shù)刭x值，甚至有人還提出數(shù)學(xué)無用論．因此，在教學(xué)中需要借助學(xué)生生活中常見的素材，并由此學(xué)習(xí)這些素材中蘊含的數(shù)學(xué)元素與數(shù)學(xué)關(guān)系，這也即是“數(shù)學(xué)生活化”的教學(xué)設(shè)計邏輯．這即是指，教師首先確立的是“勾股定理”這一數(shù)學(xué)維度上的學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后尋找到如中國結(jié)、紙風(fēng)車等生活中常見的素材，并使之融入到教學(xué)之中，以實現(xiàn)“數(shù)學(xué)生活化”．再次，為了學(xué)生文化浸潤式的學(xué)習(xí)．除了密切學(xué)生的現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)之外，還要讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的文化厚重感．即借助富有中國傳統(tǒng)特色的中國結(jié)、流傳歷史悠久的紙風(fēng)車來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生產(chǎn)生歷史厚重感．
二是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理之后，向?qū)W生展現(xiàn)中國結(jié)和紙風(fēng)車圖片，要求學(xué)生抽象出其中的數(shù)學(xué)元素，并由此探索這些數(shù)學(xué)元素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系．與前一種將文化素材作為驗證勾股定理的載體不同，這里將其后置到定理學(xué)習(xí)之后作為拓展性的問題讓學(xué)生探索．這種用法的價值除了具有前述“密切數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)系”、“為了學(xué)生文化浸潤式的學(xué)習(xí)”等兩個方面之外，還有以下意義．首先，為了知識的鞏固與活化．學(xué)生在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，除了常規(guī)的練習(xí)之外，事實上更重要的是要將知識遷移到類似的但又不那么封閉與明確的情境之中．后者不僅在于鞏固知識，同時也使知識得到活化．因為，無論是中國結(jié)還是紙風(fēng)車，都需要學(xué)生作一定程度的數(shù)學(xué)化，并將不熟悉的問題化歸為剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理相關(guān)的問題，顯然這就不僅僅是知識的鞏固了．其次，從教育目標(biāo)的角度來看，這種做法還期待培養(yǎng)學(xué)生“生活數(shù)學(xué)化”的能力．關(guān)于數(shù)學(xué)價值，不同的人也許有著不同的理解．但顯見的是，在數(shù)學(xué)上研究越深入的人越能認(rèn)識到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值．造成這種現(xiàn)象的一個重要原因在于，數(shù)學(xué)的價值有時是非常內(nèi)隱的，甚至很難為人所感知的．如果在教學(xué)中不去挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值，有時就會產(chǎn)生誤導(dǎo)，甚至?xí)J(rèn)為數(shù)學(xué)只是用于計算．也正因如此，我們強調(diào)這些文化素材在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以應(yīng)用，就是希望所培養(yǎng)的學(xué)生能逐漸擁有用數(shù)學(xué)思考問題的意識和習(xí)慣，擁有用數(shù)學(xué)更好地組織生活的能力．
就本案例而言，中國結(jié)與紙風(fēng)車都是我們文化生活中所常見的，但我們更習(xí)慣于用工藝品(或藝術(shù)品)的角度來理解，而很少會從數(shù)學(xué)的角度研究這類物品．但事實是，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的角度來理解生活中的這些事和物的時候，往往能帶來驚喜:原來我們身邊處處有數(shù)學(xué)．再次，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．過去我們所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣往往指的是學(xué)生伏在案頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣．我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣除了上述方面外，一個更高的層次是學(xué)生隨時而自然地會想著用數(shù)學(xué)的角度思考問題．后者當(dāng)然是理想的狀態(tài)，但教學(xué)中的有意識培養(yǎng)也能幫助學(xué)生朝著這個方向前進．其中一個重要的培養(yǎng)策略就是讓學(xué)生嘗試探索也許表面上與數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的素材中的數(shù)學(xué)元素，除了中國結(jié)、紙風(fēng)車，還有包括建筑物等素材．需要進一步說明的是，與前一種用法相比，這種用法對學(xué)生的數(shù)學(xué)要求也更高，當(dāng)然所培養(yǎng)的探索能力也會更強一些．