時間：2023-09-25 17:40:41
導(dǎo)語：在彈性函數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤；最大值；最小值
1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
1.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的的應(yīng)用
1.1.1邊際需求與邊際供給
設(shè)需求函數(shù)Q=f（p）在點(diǎn)p處可導(dǎo)（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數(shù)Q’=f’(p)稱為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數(shù)Q=Q(P)可導(dǎo)（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數(shù)Q=Q(p)稱為邊際供給函數(shù)，簡稱邊際供給。
1.1.2邊際成本函數(shù)
總成本函數(shù)C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數(shù)=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數(shù)C’=C’(Q)．C’(Q0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Q0時的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q0時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減C’’(Q0)個單位。
1.1.3邊際收益函數(shù)
總收益函數(shù)R=R(Q)；平均收益函數(shù)=(Q)；邊際收益函數(shù)R’=R’(Q)．
R’(Q0)稱為當(dāng)商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量達(dá)到Q0時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減R’(Q0)個單位。
1.1.4邊際利潤函數(shù)
利潤函數(shù)L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數(shù);=(Q)邊際利潤函數(shù)L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Q0時的邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q0時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則利潤將相應(yīng)增減L’(Q0)個單位。
例1某企業(yè)每月生產(chǎn)Q（噸）產(chǎn)品的總成本C（千元）是產(chǎn)量Q的函數(shù)，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產(chǎn)品銷售價格2萬元，求每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。
解：每月生產(chǎn)Q噸產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
則每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為
L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；
以上結(jié)果表明：當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤將增加1萬元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤則不會增加；當(dāng)月產(chǎn)量為20噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤反而減少1萬元。
顯然，企業(yè)不能完全靠增加產(chǎn)量來提高利潤，那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使企業(yè)獲得最大利潤呢？
1.2彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
1.2.1彈性函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當(dāng)Δx0時的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的相對變化率，或稱為彈性函數(shù)。記為EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在點(diǎn)x=x0處，彈性函數(shù)值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點(diǎn)x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。
1.2.2需求彈性
經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。
對于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調(diào)減少函數(shù)，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數(shù)為η(p)=-f’(p)pf(p)
例2設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，說明當(dāng)P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。
η(5)=1，說明當(dāng)P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。
η(6)=1.2>1，說明當(dāng)P=6時，價格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。
1.2.3收益彈性
收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
這樣，就推導(dǎo)出收益彈性與需求彈性的關(guān)系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。
（1）若η<1，則EREP>0價格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；
（2）若η>1，則EREP<0價格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，則EREP=0價格變動1%，收益不變。
1.3最大值與最小值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用
最優(yōu)化問題是經(jīng)濟(jì)管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。
1.3.1最低成本問題
例3設(shè)某廠每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個單位的總成本函數(shù)為c(x)=mx3-nx2+px，（常數(shù)m>0,n>0,p>0），（1）問每批生產(chǎn)多少單位時，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產(chǎn)n2m個單位時，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應(yīng)的邊際成本。
1.3.2最大利潤問題
例4設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為60000元，變動成本為每件20元，價格函數(shù)p=60-Q1000（Q為銷售量），假設(shè)供銷平衡，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
解：產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(Q)=60000+20Q
收益函數(shù)R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
則利潤函數(shù)L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000時L最大，L（2000）=340000元
所以生產(chǎn)20000個產(chǎn)品時利潤最大，最大利潤為340000元。
2積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
在經(jīng)濟(jì)管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)（即原函數(shù)），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。
例5設(shè)生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。
解:總成本函數(shù)為
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
總收益函數(shù)為R(x)=500x
總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因?yàn)長’’(200)<0。所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在這里我們應(yīng)用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤,只有合理安排生產(chǎn)量,才能取得總大的利潤。
綜上所述，對企業(yè)經(jīng)營者來說，對其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。
參考文獻(xiàn)
［1］?@聶洪珍,朱玉芳.高等數(shù)學(xué)（一）微積分［M］.北京：中國對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易出版社，2003,（6）.
［2］?@顧霞芳.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用［J］.職業(yè)圈，2007,（4）.
［關(guān)鍵詞］邊際函數(shù)彈性經(jīng)濟(jì)函數(shù)
［中圖分類號］O13［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］2095-3437（2013）08-0056-02
在經(jīng)濟(jì)管理中，數(shù)學(xué)知識是必不可少的，本文就如何把高等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識用于解決相關(guān)問題加以討論。這有助于相關(guān)專業(yè)學(xué)生更好地掌握專業(yè)知識。
一、連續(xù)復(fù)利――e在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
利息是銀行對儲蓄（或借貸）所支付（或收?。┑某窘鹨酝獾呢泿拧ｃy行支付（或收?。├⒌亩嗌?，以利率的高低來表示
單位時間的利率=單位時間的利息/存入的本金
（一）單利
設(shè)本金為A0（可指投資,存款等），年利率是i，所謂單利是指僅按本金A0計算利息。例如：A0的投資時間為t年，那么七年后,可得單利:I=A0it
本利和是A=A0+I=A0（1+it）
例如：1000元投資5年，年利率6%，于是5年后共得單利
I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）
（二）復(fù)利
所謂復(fù)利是指經(jīng)過一年時間，將所生利息加入本金再生利息。逐期滾算。
假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此時本金就成了
A0+A0i=A0（1+i）
再經(jīng)過一年又得復(fù)利iA0（1+i）
本金成了A0（1+i）2,
依次類推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t
例如：將1000元投資5年，年利率6%，按年計算復(fù)利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。
設(shè)年利率為i，如果一年計算m次復(fù)利，那么t年后就計算mt次，每次的利率算作■。設(shè)本金為A0元，年利率為i，每年計算復(fù)利m次，那么t年后本金為A（t）=A0（1+■）mt。
例如：將1000元投資5年，年利率6%，每年計算復(fù)利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。
（三）連續(xù)復(fù)利
A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit
這種計利方法稱為連續(xù)復(fù)利。
連續(xù)復(fù)利的計算方法在其他許多問題中也常有應(yīng)用，如：細(xì)胞分裂、樹木的生長等。
二、邊際與彈性――導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用
（一）邊際概念
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際表示的是變化率，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù)。
如：成本函數(shù)C（x）的導(dǎo)數(shù)C′（x）稱為邊際成本函數(shù)。
邊際成本具有怎樣的經(jīng)濟(jì)意義？
當(dāng)產(chǎn)量由原產(chǎn)量x單位增加一個單位（Δx=1）時，成本C（x）的真值為C（x+1）-C（x），但當(dāng)產(chǎn)量的單位很小或一個單位與原產(chǎn)量x值相比很小時，則由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小時）
取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）
這表明當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到x時，再增加生產(chǎn)一個單位，成本的增加值就可以用邊際成本C′（x）近似表示。這就是邊際成本實(shí)際的經(jīng)濟(jì)意義。
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常略去“近似”二字，將邊際成本C′（x）解釋為：
當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到x時，再增加生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本。或生產(chǎn)x+1個產(chǎn)品所需的成本。
例如：設(shè)生產(chǎn)x件某產(chǎn)品的成本為C（x）＝200+0.03x2
生產(chǎn)100件的總成本為C（100）=200+0.03×（100）2=500
每件產(chǎn)品的平均成本是■=■=5
邊際成本函數(shù)為C′（x）=0.06x
產(chǎn)量在100件時的邊際成本為C′（x）=0.06×100=6
它近似表示生產(chǎn)第101產(chǎn)品的成本。這件產(chǎn)品的真值是
ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03
除邊際成本函數(shù)外，收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)；利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)；需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)等。他們的實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義都可以如邊際成本一樣理解。
（二）彈性概念
經(jīng)濟(jì)學(xué)中把一個變量對另一個變量相對變化的反映程度稱為彈性。
例如：需求對價格的彈性就是商品需求量對價格相對變化的程度。設(shè)需求函數(shù)x=f（p），其中x需求量，p是價格，η=p■
由于Δp很小時，η=p■≈■■所以需求彈性近似表示在價格為p時，價格變動1％，需求量將變化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般來說，需求函數(shù)是一個減函數(shù)，需求量隨價格的提高而減少，因此需求彈性一般是負(fù)值，它反映了商品需求量對價格變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度，即靈敏度。
對任何函數(shù)都可以建立彈性，一般地，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的彈性定義
為η=x■
它表示的是相對變化率。相對變化率便于比較不同市場的需求對價格變動的反應(yīng)。它是無綱量。便于比較單位價格不一致的單位的靈敏度。
通常表示為：εyx=■=■■
例如：某種產(chǎn)品的需求量x與價格p的關(guān)系為x（p）=1600（■）p，
（1）求需求彈性η（p）;（2）當(dāng)商品的價格p=10元時，再增加1％，求該商品需求量變化情況。
解:需求彈性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p
需求彈性為負(fù)，說明商品價格p增加1％時，商品需求量將減少1.39p%
當(dāng)商品價格p=10元時 η（10）≈-13.9
這表示價格p＝10元時，再增加1％，商品的需求量將增加13.9p%，如價格降低1％，商品的需求量將增加13.9p%。
三、積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用
例：已知某商品每天生產(chǎn)x單位時，邊際成本為C′（x）=0.4x+2（元／單位），其固定成本是20元，求總成本函數(shù)C（x）。如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤函數(shù)L（x），并問每天生產(chǎn)多少單位，總利潤最大？
解可變成本就是邊際成本函數(shù)在［0，x］上的定積分，又已知固定成本為20元，所以總成本函數(shù)C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20
當(dāng)銷售單價為18元時，總利潤函數(shù)為
L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40
又因?yàn)長″（x）=-0.4＜0，所以，每天生產(chǎn)40單位可獲最大利潤，最大利潤為L（40）=300（元）。
高等數(shù)學(xué)在其它各個領(lǐng)域中的應(yīng)用不勝枚舉：如物理學(xué)中有速度、加速度、角速度、線密度、電流、功率、溫度梯度、衰變率、變速直線運(yùn)動的路程、非均勻細(xì)桿的質(zhì)量、變力沿直線作功、抽水作功、引力等等；化學(xué)中有擴(kuò)散速度、反應(yīng)速度，溶液連續(xù)稀釋問題等；生物學(xué)中有（種群）出生率、死亡率、自然生長率等等；社會學(xué)中有信息的傳播速度、時尚的推廣、人口自然增長規(guī)律等，幾何學(xué)中曲線的切線問題，曲邊圖形的面積等這類涉及微小量無窮積累的問題。這些都可以用高等數(shù)學(xué)加以討論。
［參考文獻(xiàn)］
項(xiàng)目化教學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 整體教學(xué)設(shè)計考核方案《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》系統(tǒng)項(xiàng)目化整體教學(xué)從《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》課程能力訓(xùn)練項(xiàng)目設(shè)計、考核方案、第一次課設(shè)計梗概、其他需要說明的問題四個方面進(jìn)行全面系統(tǒng)設(shè)計，課程內(nèi)容進(jìn)行了優(yōu)化整合，其內(nèi)容共分5個模塊，每個模塊設(shè)計1個能力訓(xùn)練項(xiàng)目，共設(shè)計5個能力訓(xùn)練項(xiàng)目。每一模塊內(nèi)容結(jié)束時，學(xué)生提交本模塊能力訓(xùn)練項(xiàng)目的分析報告或解決方案。使學(xué)生在完成項(xiàng)目的過程中學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)知識，獲得解決簡單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題的能力。
一、《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》課程能力訓(xùn)練項(xiàng)目設(shè)計
1.能力訓(xùn)練項(xiàng)目名稱
能力訓(xùn)練項(xiàng)目名稱有：尋找經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)；連續(xù)復(fù)利問題；邊際與彈性問題及最值經(jīng)濟(jì)問題；由邊際函數(shù)求總函數(shù)，資本現(xiàn)值與投資問題；經(jīng)濟(jì)學(xué)中的線性規(guī)劃問題。
2.擬實(shí)現(xiàn)的能力目標(biāo)
第一，能識別需求函數(shù)、價格函數(shù)、供給函數(shù)、總成本函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù)，并掌握這些函數(shù)的性質(zhì)及圖像畫法。
第二，理解函數(shù)的變化趨勢、變化的連續(xù)性，會用單利、復(fù)利兩種方式計算利息。
第三，能求解經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際與彈性問題及最值經(jīng)濟(jì)問題。
第四，掌握由邊際函數(shù)求總函數(shù)的方法；會討論資本現(xiàn)值與投資問題。
第五，會求解經(jīng)濟(jì)學(xué)中較簡單的線性規(guī)劃問題。
3.相關(guān)支撐知識
第一，理解函數(shù)的概念，會正確求解函數(shù)的定義域；理解函數(shù)的性質(zhì)，會判斷函數(shù)的奇偶性等。
第二，理解極限的概念，掌握求極限的方法；理解無窮小量、無窮大量的概念，會正確判斷無窮小量、無窮大量；理解函數(shù)在一點(diǎn)X0、區(qū)間（a，b）、閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的概念；理解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，知道間斷點(diǎn)的分類，能判斷函數(shù)的連續(xù)性等。
第三，理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能加以應(yīng)用。
第四，理解原函數(shù)和不定積分的概念；熟練掌握不定積分的直接積分法、湊微分法、第二類換元積分法及分部積分法；掌握微積分基本定理和定積分的計算公式；掌握定積分的概念和性質(zhì)；熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。
第五，理解行列式、矩陣、逆矩陣、矩陣的初等變換及矩陣秩的概念；熟練掌握行列式的兩種計算方法；熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算及矩陣的乘法運(yùn)算；熟練掌握求逆矩陣的兩種方法及求矩陣秩的方法；掌握克萊姆法則求線性方程組的方法；理解n維向量、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)、向量組的秩、基礎(chǔ)解系、齊次線性方程組的通解、非齊次線性方程組的通解這幾個重要概念；熟練掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其判別法則。
4.訓(xùn)練方式手段及步驟
第一，讓學(xué)生自學(xué)第一章函數(shù)第三節(jié)經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù)；找出經(jīng)濟(jì)函數(shù)、觀察函數(shù)的性質(zhì)、圖像；最后得出經(jīng)濟(jì)函數(shù)分析報告。
第二，通過對函數(shù)變化趨勢的討論，引入數(shù)列、函數(shù)極限概念，引導(dǎo)學(xué)生尋找極限的計算方法；通過函數(shù)圖像的觀察，分析函數(shù)變化過程中的兩個不同特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生得到函數(shù)連續(xù)的概念、判斷函數(shù)連續(xù)的方法；最后推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利公式、并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。
第三，通過分析函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念，為更好計算導(dǎo)數(shù)，尋找計算導(dǎo)數(shù)的方法；為尋找計算函數(shù)改變量的近似方法，引導(dǎo)學(xué)生探尋微分概念，進(jìn)一步尋找計算微分的方法，最終找到用微分計算函數(shù)改變量的方法；為找到判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、函數(shù)圖像的做法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)使用導(dǎo)數(shù)這一重要工具。
第四，通過已知某函數(shù)導(dǎo)數(shù)求某函數(shù)問題的討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的概念，通過尋找求原函數(shù)的方法，發(fā)現(xiàn)不定積分的概念，最后找到求不定積分的四種方法。
第五，通過求解二元一次方程組、三元一次方程組，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二階行列式、三階行列式概念，通過歸納法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)n階行列式概念，在尋找計算行列式方法中得到行列式性質(zhì)等。
5.結(jié)果
結(jié)果有：經(jīng)濟(jì)函數(shù)分析報告；連續(xù)復(fù)利公式的推導(dǎo)及經(jīng)濟(jì)意義解釋；邊際與彈性問題及最值經(jīng)濟(jì)問題解決方案；由邊際函數(shù)求總函數(shù)，資本現(xiàn)值與投資問題解決方案；經(jīng)濟(jì)學(xué)中線性規(guī)劃問題解決方案。
二、考核方案
對學(xué)生考核分三個方面：平時成績（占30%）+能力考核（占25%）+期末考試成績（占45%）。期末考試采取相同教學(xué)內(nèi)容的班級統(tǒng)一命題、閉卷考試的方式。命題的范圍和水準(zhǔn)嚴(yán)格按照《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程整體教學(xué)設(shè)計的要求執(zhí)行。期末考試出同等難度和題量的A、B、C三套試卷及評分標(biāo)準(zhǔn)。
平時成績及能力考核具體內(nèi)容設(shè)計：
1.平時成績
考核項(xiàng)目：出勤；課后作業(yè)；課堂表現(xiàn)。
考核內(nèi)容：遲到、早退、曠課、事假、病假、上課睡覺；完成作業(yè)情況；上課態(tài)度、參與程度、處理問題準(zhǔn)確度。
考核標(biāo)準(zhǔn)：遲到、早退、曠課、事假、病假、上課睡覺此項(xiàng)共計10分。學(xué)生上課遲到一次扣1分，請事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上課睡覺一次扣1分，曠課一次扣2分，扣完10分為止。完成作業(yè)情況此項(xiàng)共計10分。少交一次作業(yè)扣2分，作業(yè)不認(rèn)真、質(zhì)量差一次扣1分，扣完10分為止。上課態(tài)度、參與程度、處理問題準(zhǔn)確度此項(xiàng)共計10分。上課積極參與，主動并能正確回答問題或板書做題正確一次得2分、兩次得5分、三次得8分、四次得10分。上課不回答問題或板書解題此項(xiàng)得0分。
2.能力考核
（1）考核項(xiàng)目
提交經(jīng)濟(jì)問題解決方案或分析報告。
（2）考核內(nèi)容
第一學(xué)期：第一章內(nèi)容學(xué)完后提交經(jīng)濟(jì)函數(shù)分析報告；第二章內(nèi)容學(xué)完后提交連續(xù)復(fù)利公式的推導(dǎo)及經(jīng)濟(jì)意義解釋；第三章內(nèi)容學(xué)完后提交邊際與彈性問題及最值經(jīng)濟(jì)問題解決方案。
第二學(xué)期：第四章內(nèi)容學(xué)完后提交由邊際函數(shù)求總函數(shù)及總函數(shù)改變量，資本現(xiàn)值與投資問題解決方案；第五章內(nèi)容學(xué)完后提交經(jīng)濟(jì)學(xué)中簡單線性規(guī)劃問題的解決方案。
（3）考核標(biāo)準(zhǔn)：
此項(xiàng)共計25分。提交方案或分析報告內(nèi)容翔實(shí)、準(zhǔn)確，第一學(xué)期提交一個得8分、提交兩個得16分、提交三個得25分。第二學(xué)期提交一個得12分、提交兩個得25分。一個學(xué)期內(nèi)一次也不提交方案或分析報告此項(xiàng)得0分。
三、第一次課設(shè)計梗概
1.設(shè)計思想
4個關(guān)鍵詞：溝通、介紹、滲透、要求。
2.教學(xué)過程
師生相互介紹用多媒體課件――財經(jīng)、金融專業(yè)中的數(shù)學(xué)函數(shù)導(dǎo)入新課并介紹課程內(nèi)容介紹課程教學(xué)方法介紹學(xué)習(xí)方法介紹考核方式與學(xué)生約法三章，提出紀(jì)律要求進(jìn)入正題――研究函數(shù)、反函數(shù)概念及函數(shù)四個基本性質(zhì)課堂小結(jié)、布置課外作業(yè)。
四、其他需要說明的問題
第一，以啟發(fā)式教學(xué)為主。
第二，注重數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。
關(guān)鍵詞 投資；投資效率；投資制度；轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)
作者簡介：何志強(qiáng)，男，西南財經(jīng)大學(xué)工商管理學(xué)院，成都610074
李一鳴，男，西南財經(jīng)大學(xué)工商管理學(xué)院，教授，成都610074
投資是一個相對寬泛、內(nèi)容豐富的概念，但如果僅從產(chǎn)出角度看，主要是指物質(zhì)資產(chǎn)投資。本文所指的投資主要是指實(shí)物資產(chǎn)投資或產(chǎn)業(yè)投資，與虛擬經(jīng)濟(jì)下的金融投資相對應(yīng)。對投資、投資活動、投資與經(jīng)濟(jì)增長關(guān)系等方面的研究可以追溯到亞當(dāng)?斯密時代，而在現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇內(nèi)，投資已經(jīng)成為一個不可或缺的部分。
一、研究視角：資本與投資
資本作為最基本的生產(chǎn)要素之一，一直是古典、新古典、凱恩斯以及新古典綜合經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要研究內(nèi)容。只有具備一定的資本，并與勞動要素相結(jié)合，生產(chǎn)方可能順利進(jìn)行，資本便成為經(jīng)濟(jì)研究最為基本的命題之一。由于資本是通過投資形成的，從關(guān)注資本過渡到關(guān)注資本的形成――產(chǎn)業(yè)投資，是順理成章的事情。資本既然重要，資本形成過程――產(chǎn)業(yè)投資過程也就相應(yīng)的變得重要。因此，資本和投資成為經(jīng)濟(jì)理論研究中兩個相互聯(lián)系而相對獨(dú)立的視覺。
經(jīng)濟(jì)理論對資本與投資的研究往往包含在其他經(jīng)濟(jì)問題的研究中。一類基本問題就是生產(chǎn)的物質(zhì)產(chǎn)品多少用于生產(chǎn)，多少用于投資形成資本，以實(shí)現(xiàn)效用最大目標(biāo)，也就是最優(yōu)資本積累問題。Barnsey(1928)率先從動態(tài)角度對經(jīng)濟(jì)增長過程中的最優(yōu)資本積累問題進(jìn)行了開創(chuàng)性研究，建立了著名的Ramsey無限期界最優(yōu)化模型?？紤]到人生命的有限性，在Ramsey模型基礎(chǔ)上，Allais(1947)，Samuelson(1958)，Diamond(1965)和Blanehard(1985)以微觀為基礎(chǔ)建立了代際交疊模型。[1]由于代際交疊模型可以研究個人壽命期間儲蓄的總影響，進(jìn)而研究最優(yōu)資本積累問題，所以較Ramsey模型應(yīng)用廣泛。Ramsey模型和代際交疊模型都是從動態(tài)的角度，尋求最優(yōu)資本積累路徑，實(shí)現(xiàn)效用最大化。但兩類模型在處理投資與資本問題時的一個共同點(diǎn)是將資本、資本形成――投資簡化處理，這樣就忽略了作為資本形成過程的投資行為與最終的資本存量之間的差異，而這種處理方法出現(xiàn)在很多經(jīng)濟(jì)理論模型中。[1]由于資本形成(投資)和資本存在根本差異，前者是一個過程，后者是結(jié)果，并且投資過程(資本形成過程)受到眾多因素的影響，本身具有獨(dú)立性。所以，研究投資行為過程本身及其與資本存量的關(guān)系成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的新領(lǐng)域，也就是探尋哪些因素影響和制約著投資行為進(jìn)而影響資本存量，進(jìn)而探討其對經(jīng)濟(jì)的影響。由于這一研究內(nèi)容非常復(fù)雜，隨著投資理論研究的深入，經(jīng)濟(jì)學(xué)者也試圖通過建立不同的計量經(jīng)濟(jì)模型來分析投資行為，并利用產(chǎn)業(yè)層面、企業(yè)層面的數(shù)據(jù)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)實(shí)證分析，這對于我們從中微觀層面認(rèn)識投資運(yùn)行特征進(jìn)而認(rèn)識資本存量及其變動問題具有重要意義。
出于對我國經(jīng)濟(jì)的關(guān)注，我們更在意對轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的資本和投資的認(rèn)識。呂煒(2000)[2]在其專著中擴(kuò)展了馬克思關(guān)于“資本不是物而是人與人的關(guān)系”的定義，認(rèn)為資本具有階級和功能雙重屬性，前者可以劃入歷史范疇而后者則劃人技術(shù)范疇，而技術(shù)范疇的資本的本質(zhì)特征是盈利最大化趨勢。從技術(shù)范疇的資本化運(yùn)動來理解我國整個經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)軌特征具有一定的創(chuàng)新性，現(xiàn)實(shí)意義就是認(rèn)識到資本不僅是生產(chǎn)關(guān)系的表現(xiàn)，也是一種具有技術(shù)性質(zhì)的生產(chǎn)要素，所以在轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中，資本是可以參與利潤分配的。更進(jìn)一步理解轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的資本和投資行為，一方面表現(xiàn)為投資主體的多元化，投資目標(biāo)的多元化，融資渠道的多元化，另一方面表現(xiàn)為對低效率存量資本的調(diào)整，也就是國有企業(yè)改革問題。在這兩種趨勢下，經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)軌過程也就是如何保證投資與資本效率不斷提高的過程。
綜上，當(dāng)分析資本時更多地與總量經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況相聯(lián)系，而分析投資時，更多地與投資主體行為、投資決定因素聯(lián)系在一起。所以，資本和投資是兩個有區(qū)別但同時又有聯(lián)系的概念，從而形成兩個既有聯(lián)系而又相對獨(dú)立的研究視角。
二、研究方法：模型與現(xiàn)實(shí)
(一)簡單加速模型
早在1917年，J．M．Clark將固定(實(shí)物)資產(chǎn)投資與產(chǎn)出聯(lián)系在一起，認(rèn)為投資取決于未來的產(chǎn)出需求，建立了簡單的加速模型，也是研究投資行為最基礎(chǔ)的模型，它是其他模型的基礎(chǔ)。其表達(dá)式為：Kd=aY (1)
其中，Kd是合意資本存量，a是不變的資本產(chǎn)出比率，Y是產(chǎn)出水平。合意資本存量指在增加的凈資本能夠以不變價格瞬時獲得的情況下，企業(yè)家選擇的資本存量水平。而實(shí)物資本投資一般不可能沒有時間滯后性，即意愿資本水平不能立即通過投資實(shí)現(xiàn)，Koyck和Chenery等對(1)式進(jìn)行了改進(jìn)，認(rèn)為資本對于投資來說是一個緩慢而富有彈性的過程，通過增加滯后系數(shù)，建立了彈性加速數(shù)模型。
(二)彈性加速數(shù)模型
其中，YP是GNP，bn=αβn，μ是誤差項(xiàng)，N為滯后期。如果將利潤或者現(xiàn)金流加入模型中在理論上將更具有解釋力，因?yàn)槠髽I(yè)或產(chǎn)業(yè)的投資受自有資金充裕情況的影響較大，而外部融資一般有較高的成本。另外一個重要原因是投資往往受到預(yù)期盈利能力的影響，所以將包括利潤在內(nèi)的現(xiàn)金流加入模型(4)而形成現(xiàn)金流加速數(shù)模型。
(三)現(xiàn)金流加速數(shù)模型
其中，CF是實(shí)際現(xiàn)金流，名義現(xiàn)金流：稅后利潤+資本消耗前的資本消耗折扣+存貨價值調(diào)整，名義現(xiàn)金流除以投資平減指數(shù)便得到實(shí)際現(xiàn)金流，其余符號同上。(1)、(4)式主要差異表現(xiàn)在模型(5)不僅關(guān)注產(chǎn)出需求對投資的影響，也關(guān)注供給對投資的影響，如現(xiàn)金流、資金使用成本，將需求和供給因素對投資的影響都納入模型中，這是投資計量模型的一個重大進(jìn)步。
(四)新古典投資模型
由于在投資行為進(jìn)行中必然伴隨有資本供給與需求的變化，這種變化影響著
資本的供給價格，而價格是新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心內(nèi)容，Jorgenson及其合作者將資本價格因素引入投資行為分析中，形成了最為有名的新古典投資模型：
其中，γ為產(chǎn)出中的資本份額，P為產(chǎn)出價格，c為資本服務(wù)租賃價格。結(jié)合上面的模型，得到如下可進(jìn)行回歸分析的計量模型：
為新增資本購買價格(相對于產(chǎn)出價格)，為凈資本稅的真實(shí)融資成本，a為資本折舊幾何比率，m為投資稅收抵免比率，z為折舊稅收減免貼現(xiàn)比率，t為公司所得稅。
(五)證券價值Tobin’sQ模型
隨著金融市場的發(fā)展，除了上述基于產(chǎn)出的產(chǎn)業(yè)投資行為研究計量模型外，投資研究可以通過資本市場的變化來研究投資行為，Bminard和Tobin(1968，1969)在Keynes(1936)的理論基礎(chǔ)上建立了投資的證券價值(Tobin’sQ)模型：
其中，I為本期投資，K-l為上一期資本存量，a為常數(shù)項(xiàng)，N為滯后期，m為系數(shù)，Tobin’sQ=市場價值／重置成本。與基于產(chǎn)出的模型相比，Q模型在經(jīng)濟(jì)理論上更加完備和更有解說力，原因在于投資與Q對未來產(chǎn)出與價格的長期預(yù)期會有相同方向的反應(yīng)，在預(yù)期真實(shí)資本有盈利能力時，投資與Q值都將上升，而預(yù)期悲觀時投資將受到抑制，Ciceolo(1978)的研究表明投資與Q是正相關(guān)的。但在利用Tobin’sQ模型進(jìn)行實(shí)證研究是有條件的，更詳細(xì)的理論分析可以參看Hayashi(1982)[3](213―224)的文章。
Chirinko(1993)[4](875―1911)根據(jù)投資計量模型對動態(tài)(dynamics)的處理，將相關(guān)的投資計量模型分為隱式模型(implicit model)和顯式模型(explicit model)。如果動態(tài)因素顯示地出現(xiàn)在最優(yōu)問題估計系數(shù)中且估計系數(shù)顯式的與潛在技術(shù)和預(yù)期參數(shù)相聯(lián)系，那么就是顯式的，否則為隱式的。由于包括動態(tài)因素和未來預(yù)期的顯式模型與實(shí)際的投資活動更加接近，所以能夠更好地解釋投資行為，To-bin’sQ模型是顯式模型的典型代表，其余四個模型都是隱式的。當(dāng)然，模型與現(xiàn)實(shí)之間仍然還有很大的差距，不確定下的投資行為研究推進(jìn)了現(xiàn)有研究，[5](54―65)在此不再贅述。
三、投資環(huán)境：制度與效率
從經(jīng)濟(jì)理論角度，投資制度環(huán)境可以簡要分為市場經(jīng)濟(jì)、計劃經(jīng)濟(jì)和轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)各自所包括的投資制度設(shè)計。當(dāng)前我國經(jīng)濟(jì)正處在完善社會主義市場經(jīng)濟(jì)時期，是典型的轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)，如何在我們這樣的轉(zhuǎn)型國家建立一套有利于提高投資效率的投資制度成為轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)制度設(shè)計的重要內(nèi)容。
首先是以投資和資本形成為工具變量，研究中國經(jīng)濟(jì)增長可持續(xù)性的問題。這方面以張軍最具有代表性，其相關(guān)研究體現(xiàn)于其專著上[6]，認(rèn)為我國經(jīng)濟(jì)在“邊際資本―產(chǎn)出比率”不斷上升的情況下，存在“過度工業(yè)化”趨勢，經(jīng)濟(jì)增長“不具備持續(xù)的動態(tài)改進(jìn)力量”。此問題也得到中國社會科學(xué)院經(jīng)濟(jì)研究所紹濟(jì)增長前沿組的關(guān)注，在他們的系列文章[7]中，對我國投資形成、投資效率與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系進(jìn)行了分析，認(rèn)為我國20多年來，高投資、高增長的模式是以宏觀成本積累為代價，并從理論上說明了中國高投資的政府激勵機(jī)制及宏觀成本邊界和高成本增長的臨界點(diǎn)。
其次，對我國投資效率及其的相關(guān)研究。沈坤榮等(2004)[8](52―63)從金融發(fā)展視角考察了我國資本形成、投資效率、儲蓄向投資轉(zhuǎn)化的效率及由此產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)波動，認(rèn)為投資效率低下，進(jìn)而全要素生產(chǎn)率(TFP)不高是影響我國宏觀經(jīng)濟(jì)波動的重要因素。韓立巖等(2005)[9](77-84)利用Jeffrey Wurgler的“資本配置效率”模型，考察我國1993―2002年間資本在各行業(yè)間的配置效率，結(jié)果顯示我國的資本配置效率非常低，說明我國的資本市場化水平偏低。秦朵，宋海巖(2003)[10](807―832)從基于標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)函數(shù)的投資需求模型出發(fā)，從投資需求所處的非均衡狀態(tài)人手討論了我國1989--2000年的投資效率特征，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)張性的中央與地方財政對投資需求有著強(qiáng)烈的影響，地區(qū)間投資不均的程度有所下降，東部，沿海省份的效率一般高于西部省份的效率?？梢?，投資效率有助于認(rèn)識和解釋現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動的合理與否。
再次是對轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中投資膨脹機(jī)制的研究。與計劃經(jīng)濟(jì)中的“投資饑渴癥”相比，我國轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中仍然存在非市場因素影響的投資膨脹。易綱等(2004)[11]從產(chǎn)權(quán)邏輯來解釋轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中的投資膨脹機(jī)制，認(rèn)為過度投資和投資效率低下是產(chǎn)權(quán)約束和地方政府政績觀導(dǎo)向的問題，理論新意主要將轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中產(chǎn)權(quán)不健全和政府職能定位不清作為解釋投資膨脹和投資效率低下的因素，對于轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)投資制度的未來改革方向具有指導(dǎo)意義。中國社科院經(jīng)濟(jì)所宏觀組(1999)[12](16―25)也認(rèn)識到體制對投資的影響，一方面可能導(dǎo)致投資饑渴癥，進(jìn)而導(dǎo)致“經(jīng)濟(jì)過熱”，造成經(jīng)濟(jì)波動；另一方面，轉(zhuǎn)軌時期體制對經(jīng)濟(jì)發(fā)展政策的執(zhí)行障礙，形成體系性緊縮。
綜上，投資、投資效率是考察經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀態(tài)的好視角，如總量經(jīng)濟(jì)波動、資本市場運(yùn)行、區(qū)域投資差異等，但如何設(shè)計制度保證高效率投資的實(shí)現(xiàn)，是研究投資效率問題的必然歸宿，特別是對于轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)。所以，轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)業(yè)投資制度是當(dāng)前投資研究的重要內(nèi)容，只有好的投資制度才能保證投資的順利進(jìn)行和投資效率的提高，而這正是我國當(dāng)前轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)增長方式所需要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。
四、未來研究方向探討：投資制度、演進(jìn)博弈與GES生產(chǎn)函數(shù)
盡管產(chǎn)業(yè)投資制度對投資、投資效率有重要影響，但國內(nèi)相關(guān)的研究內(nèi)容較少，大致有三方面的原因：首先是在市場經(jīng)濟(jì)里由于投資活動屬于投資主體自己的事情，不存在統(tǒng)一的投資制度安排框架，政府要做的是要保證投資活動的自由、流動，投資制度設(shè)計思想及其研究相對模糊；其次是投資內(nèi)容的廣泛性，主要表現(xiàn)為投資可以通過金融、會計、企業(yè)、宏微觀經(jīng)濟(jì)等多個角度來研究，缺乏
統(tǒng)一研究視角；再次是投資制度研究方法，由于當(dāng)前流行的制度分析方法本身缺乏一致的理論模型，[13](143-150)投資制度研究目前找不到更好的制度分析工具和分析模式。下面從研究方法角度，嘗試性的探討投資制度研究可能的方向：演進(jìn)博弈分析和CES生產(chǎn)函數(shù)。
(一)轉(zhuǎn)軌產(chǎn)業(yè)投資制度與演進(jìn)博弈分析
面對產(chǎn)業(yè)投資制度分析的難題，筆者認(rèn)為一種新的制度分析方法――演進(jìn)博弈可以用來分析轉(zhuǎn)軌產(chǎn)業(yè)投資制度，這方面青木昌彥等(2005)[14](1-21)已經(jīng)作了嘗試性研究。一般的博弈理論對博弈參與人理性做了嚴(yán)格的假設(shè)，它不僅要求每個行為人是理性的，而且還要求這種理性是所有參與人的共同知識(CommonKnowledge)。就人對現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)知能力而言，“完全理性”是一個相當(dāng)嚴(yán)格的假設(shè)，而博弈任意一方的理性和能力的任何缺陷都會導(dǎo)致納什均衡難以實(shí)現(xiàn)。演進(jìn)博弈論在一定程度上對這種完美理性假定進(jìn)行了補(bǔ)充和修正，它只要求博弈方具有一種能夠根據(jù)情況和新的信息調(diào)整判斷與改進(jìn)策略行為的理性，這種理性在一定程度上對博弈方的預(yù)見力和判斷其他博弈方的情況要求較低，并且允許犯錯誤，這種理性被稱作“過程理性”(procedural rationality)。Friedman(1998)給出了設(shè)定演進(jìn)博弈的三個基本假設(shè)條件：高的支付策略會隨時間逐漸取代低的支付策略；博弈中存在慣性；博弈參與者并沒打算系統(tǒng)影響其它參與者的未來行動。[15](15-43)而演進(jìn)博弈的其它限制條件，如大群體、有限理性、隨機(jī)配對、可觀測策略等都沒必要。演進(jìn)博弈分析制度相較于非合作博弈有另外一個優(yōu)點(diǎn)，演進(jìn)博弈強(qiáng)調(diào)慣性(inertia)在制度變遷中的作用，也就是制度的演進(jìn)具有路徑依賴性，制度變遷受起點(diǎn)的影響，而用“休克療法”式思維來理解和進(jìn)行制度變遷存在缺陷，因?yàn)橹贫仁且粋€“演進(jìn)”式變遷過程。演進(jìn)博弈可以用來分析影響轉(zhuǎn)軌投資制度演進(jìn)的基本因素、博弈均衡下制度的特征，進(jìn)而從制度設(shè)計角度使轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)投資向著利于提高產(chǎn)業(yè)投資效率方向演進(jìn)。
(二)CES生產(chǎn)函數(shù)與產(chǎn)業(yè)投資制度變遷實(shí)證分析
注重對經(jīng)濟(jì)理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)是當(dāng)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重要特征，最主要表現(xiàn)為利用計量模型來進(jìn)行分析。在研究轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的投資制度變遷過程中，我們發(fā)現(xiàn)不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)(constant elasticity of substitution，CES)可以用來檢驗(yàn)轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的投資制度設(shè)計運(yùn)行效率情況：不同投資主體在轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中投資地位的變化是否遵循效率原則，進(jìn)一步可以概括轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)中國有投資與非國有投資之間的相互替代是否遵循效率原則，這通過CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性大小變化體現(xiàn)出來，進(jìn)而檢驗(yàn)投資制度設(shè)計的合理性。CES生產(chǎn)函數(shù)規(guī)范的表達(dá)形式為：
Arrow等(1961)在其經(jīng)典文獻(xiàn)首先分析了一類不變要素替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，也就是CES生產(chǎn)函數(shù)。與單位替代彈性生產(chǎn)函數(shù)不同的是，不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)中要素K、L之間的替代盡管其數(shù)值不變，但其替代彈性并不為1，也就是說不同經(jīng)濟(jì)體之間、不同行業(yè)之間、不同時間段間要素替代的彈性可以不同或變化，這就包含了豐富的經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)容，這主要通過(9)中的參數(shù)ρ變化體現(xiàn)出來。P的原始含義是要素替代參數(shù)，定義為資本―勞動替代彈性σ=1/1+ρ，表示資本―勞動比率每上升1％，廠商將用相對便宜的資本代替勞動，資本―勞動比提高σ％。所以，σ的大小可以說明一個國家要素市場的完善程度，當(dāng)σ越大，說明生產(chǎn)過程中的要素替代對價格的變化越敏感，要素市場相對完善、要素市場相對完整。反之，當(dāng)σ越小，說明一國要素配置效率低下，或者經(jīng)濟(jì)單位并沒有追求效率最大化，在生產(chǎn)中的要素選擇存在偏差。所以，σ(或p)的大小可以用來評價一國資本―勞動配置效率的高低。[16]
可以用CES生產(chǎn)函數(shù)來考察轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)投資制度變遷及其效率，主要的變化是用非國有投資I和國有投資IG代替函數(shù)中的勞動L和資本K，有投資效率生產(chǎn)函數(shù)：
其中，Y是產(chǎn)出變量，可以是CDP，也可以是利稅、工業(yè)總產(chǎn)值、工業(yè)增加值等產(chǎn)出指標(biāo)，IG國有部門經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)投資，I是非國有部門產(chǎn)業(yè)投資；A為除產(chǎn)業(yè)投資以外使產(chǎn)出效率提高的其他因素，a是非國有部門產(chǎn)業(yè)投資參數(shù)。在變形后的模型中，η表示產(chǎn)出一投資系數(shù)，令I(lǐng)/IG=i，即非國有和國有投資比值。
將ρ變形表達(dá)為決定彈性系數(shù)的變量：
其中rG和r分別是國有和非國有產(chǎn)業(yè)投資績效。在此，σ可以理解為非國有―國有投資的替代系數(shù)，在國有―非國有投資效率比值每下降1％時，非國有投資的比重會增加σ％，所以它是一個反應(yīng)系數(shù)，當(dāng)其越大說明這種替代越有效，進(jìn)而表明轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的投資制度遵循效率原則，更具效率和市場性，反之則說明投資制度存在阻礙投資向高效率轉(zhuǎn)化。進(jìn)一步，可以利用不同時間段、不同區(qū)域間投資替代彈性的差異考察投資制度的變遷及其相應(yīng)效率。
上面從方法論角度討論了利用演進(jìn)博弈方法、CES生產(chǎn)函數(shù)對轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的投資制度及其變遷效率進(jìn)行理論和實(shí)證分析的可能性，筆者及其合作者正開展這方面的研究，以期能夠加深我們對轉(zhuǎn)軌產(chǎn)業(yè)投資活動的理解。如果將Chirinko(1993)認(rèn)為未來產(chǎn)業(yè)投資需要研究的內(nèi)容[17](73-124)――金融結(jié)構(gòu)與流動約束、公司及其投資決策的擴(kuò)展、投資動態(tài)性，與轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)的投資制度研究結(jié)合，可能形成轉(zhuǎn)軌經(jīng)濟(jì)投資研究的基本內(nèi)容。
主要參考文獻(xiàn)：
[1]布蘭查德，費(fèi)希爾．宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(高級教程)[M]．北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1999．
[2]呂煒．投資挑戰(zhàn)體制：關(guān)于中國經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)軌原理的一種解析[M]，北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2000．
[3]Hayashi Furnio．Tobin’marginal q and average q: a neoclassic intrpretation [J]．Econometrica．1982(Jan)．
[4]Chirinko Robert S．Business Fixed lnvestment Spending：Modeling Strategies，Empirical Results,and policy
Implications[J]．Jourmal of Economic Literature．1993(Dec．)．
[9]王 端．現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投資理論及其最新發(fā)展[J]．經(jīng)濟(jì)研究，2000(12)，
[6]張 軍．中國工業(yè)改革與經(jīng)濟(jì)增長：問題與解釋[M]．上海：上海三聯(lián)書店、上海人民出版社，
2003；資本形成、投資效率與中國的經(jīng)濟(jì)增長[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2005．
[7]經(jīng)濟(jì)增長前沿組．經(jīng)濟(jì)增長、結(jié)構(gòu)調(diào)整的積累效應(yīng)與資本形成：當(dāng)前經(jīng)濟(jì)增長態(tài)勢分析[J]．經(jīng)
濟(jì)研究．2003(8)；高投資、宏觀成本與經(jīng)濟(jì)增長的持續(xù)性[J]．經(jīng)濟(jì)研究．2005(10)．
[8]沈坤榮．投資效率、資本形成與宏觀經(jīng)濟(jì)波動 基于金融發(fā)展視角的實(shí)證研究[J]．中國社會科
學(xué)，2004(6)．
[9]韓立巖．王哲兵．我國實(shí)體經(jīng)濟(jì)資本配置效率與行業(yè)差異[J]．經(jīng)濟(jì)研究，2005(1)，
[10]秦朵、宋海巖．改革中的過度投資需求和效率損失：中國分省固定資產(chǎn)投資案例分析[J]，經(jīng)
濟(jì)學(xué)(季刊)．2003，第2卷第4期(總第8期)．
[11]北京大學(xué)中國經(jīng)濟(jì)研究中心宏觀組．預(yù)防通貨緊縮和保持經(jīng)濟(jì)較快增長的研究[M]．北京：北
京大學(xué)出版社，2005．
[12]中國社會科學(xué)院經(jīng)濟(jì)所宏觀課題組．投資、周期波動與制度性緊縮效應(yīng)[J]，經(jīng)濟(jì)研究，1999(3)．
[13]克洛德?梅納爾．新制度經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論問題[J]．比較．2005(19)．
[14]青木昌彥．熊彼德式的制度創(chuàng)新[J]．比較．2005(19)．
[15]Daniel Friedman．On economic applications of evolutionary game theory [J] Joumal of Evolutionary EcO-
nomics．1998(8)．
[16]樊瀟彥．經(jīng)濟(jì)增長與中國宏觀投資效率研究[M]．上海：上海人民出版社，2005．
關(guān)鍵詞:貨幣政策;貨幣需求函數(shù);協(xié)整;誤差修正
中圖分類號:F031.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1672-3198(2009)18-0014-02
1 引言
貨幣政策作為中央銀行的金融調(diào)控的核心工具,也是宏觀經(jīng)濟(jì)理論的重要組成部分,同時,又是各國央行實(shí)行貨幣政策最重要的依據(jù),歷來受到各國政府和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的重視。目前我國貨幣政策的中介目標(biāo)是貨幣供應(yīng)量,運(yùn)用貨幣供應(yīng)量這個中介目標(biāo),以加強(qiáng)對經(jīng)濟(jì)的宏觀調(diào)控,就需要建立相應(yīng)的貨幣需求函數(shù)。因此,研究貨幣需求與產(chǎn)出、利率、通貨膨脹率等經(jīng)濟(jì)變量間的相互關(guān)系并建立適合我國的貨幣需求函數(shù),具有重要的意義。
2 理論分析與模型的選定
(1)古典學(xué)派貨幣數(shù)量論。
“古典”貨幣數(shù)量論有三種形式:其一是歐文•費(fèi)雪于1911年提出來的交易方程式(又稱費(fèi)雪方程):MV=PT,其中,T代表一段時期內(nèi)用于交易的商品與服務(wù)的數(shù)量、V為貨幣流通速度、P代表商品與服務(wù)的價格、M為名義貨幣供應(yīng)量。這一結(jié)論被認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)學(xué)最重要也是最成熟的規(guī)律之一; 其二是國民收入方程式:MV=PY,其中,M是貨幣存量,Y是實(shí)際國民收入,V為貨幣流通速度、PY即名義產(chǎn)出或名義國民收入。國民收入方程式可以看做是費(fèi)雪方程和劍橋方程的過渡;其三是劍橋大學(xué)的馬歇爾和庇古建立的劍橋方程式:M=KPY,其中,K代表貨幣量與國民收入或國民生產(chǎn)總值之比,其它的參數(shù)意義同上。
(2)凱恩斯學(xué)派。
凱恩斯認(rèn)為,公眾之所以對貨幣有需求,主要有三種動機(jī):交易動機(jī),即為應(yīng)付日常交易而持有一定量的貨幣;預(yù)防動機(jī),即為了謹(jǐn)慎起見以應(yīng)付不時之需而持有一定量的貨幣;投機(jī)動機(jī),即利用證券市場進(jìn)行投機(jī)而持有一定量的貨幣。為滿足這三種動機(jī)所需而持有的貨幣總量,共同構(gòu)成了人們對貨幣的需求。影響貨幣需求的主要因素是收入和利率,貨幣需求與收入同向變動,與利率反向變動。由此,得出貨幣需求函數(shù)L=L1(y)+L2(r)。
(3)我國貨幣需求函數(shù)的構(gòu)造。
影響貨幣需求的因素,一般包括規(guī)模變量和機(jī)會成本變量。收入、財富或消費(fèi)常用來表示規(guī)模變量;而機(jī)會成本變量則通常用持有貨幣的收益、以及持有貨幣的機(jī)會成本表示。持有的機(jī)會成本指金融資產(chǎn)和實(shí)物資產(chǎn)的收益,一般用國內(nèi)利率水平和預(yù)期通貨膨脹率來表示。這樣我們可以得出貨幣需求基本模型;結(jié)合我國實(shí)際,我們認(rèn)為現(xiàn)階段對我國貨幣需求具有決定性影響的主要因素有:國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)、利率(R)、預(yù)期通貨膨脹率,外匯儲備FRT及隨機(jī)擾動因素。
因此可構(gòu)建我國的貨幣需求函數(shù)Mit=f(Yt,Rt,FRTt,RPIt,μt)。
LnMit=β0+β1lnYt+β2LnRt+β3LnFRt+β4LnPt+β5t+μt(i=1,2)(1)
式中:M1t:即期對狹義貨幣M1的需求;M2t:即期對廣義貨幣M2的需求;Yt:即期國內(nèi)生產(chǎn)總值,也是持久收入;Rt:即期利率;Pt:預(yù)期通貨膨脹率;FRT:即期的外匯儲備;t:時間變量;μt:隨機(jī)變量。上式中各個變量均為關(guān)于時間t的函數(shù):
β1=dLnM0dLnY,β2=-dLnMdLnR,β3=dLnMdLnFR,β4=dLnMdLnP
3 數(shù)據(jù)處理與模型估計
(1)時間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。
常用的協(xié)整檢驗(yàn)的方法有:格蘭杰―恩格爾兩步法、約翰遜秩檢驗(yàn)法以及博斯維克誤差糾正法。其中,格蘭杰―恩格爾兩步法是最常用的,它是格蘭杰和恩格爾于80年代末提出的協(xié)整檢驗(yàn),所針對的是一組變量之間是否存在長期的均衡關(guān)系。協(xié)整檢驗(yàn)即檢驗(yàn)一組變量是否為平穩(wěn)過程,若為平穩(wěn)過程,則稱其為I(0)過程,否則,對各自進(jìn)行一階差分,若一階差分為平穩(wěn)過程,則稱為I(1)過程。只有當(dāng)這組變量均為I(0)或I(1)過程,即所謂的同階單整過程才可意味著它們是協(xié)整的,即各變量間存在長期的均衡關(guān)系。這樣,就可以直接建立回歸模型,運(yùn)用OLS進(jìn)行參數(shù)估計。
(2)誤差修正模型估計短期貨幣需求函數(shù)。
第二步:記方程(2)、(3)的殘差序列為e1 、e2,對殘差序列e1 、e2 進(jìn)行單位根檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。從表1可看出,殘差序列e1 、e2 為平穩(wěn)序列,說明時間序列LnM1 、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI及LnM2、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI 存在協(xié)整關(guān)系,可建立誤差修正模型。
剔除回歸系數(shù)t值不顯著的項(xiàng)得誤差修正模型:
DLnM1)=1.059DLnGDP+0.649DLnRPI-
( 42.64)(4.24)
0.206DLnR-1.0181Ecm1(-1)-0.641AR(2)(2)
(-7.524)(-5.6)(-4.188)
R2=0.8649 D-W=2.17
DLnM2=1.187DLnGDP-0.1492DLnR-0.7363Ecm2(-1)(3)
(34.62) (-5.53)(-2.94)
R2=0.8690D-W=2.02
ECMM1(-1),ECMM2(-1)分別為(2)、(3)的誤差修正項(xiàng)。
在狹義短期貨幣需求函數(shù)和廣義短期貨幣需求函數(shù)中,誤差修正項(xiàng)的系數(shù)別為-1.018和-0.736,符合反向修正機(jī)制,由于差分會丟失部分信息,所以擬合優(yōu)度有所下降,其它檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w效果的統(tǒng)計指標(biāo)均較好,說明本文設(shè)定的誤差修正模型符合反向修正原理,能夠很好的表述變量的動態(tài)結(jié)構(gòu)。
4 結(jié)果分析及其啟示
從以上的分析可以看出,不論是狹義貨幣需求M1還是廣義的貨幣需求M2,與GDP、物價水平、一年期存款利率和外匯儲備均存在長期的的均衡關(guān)系:也就是說,中國的貨幣政策長時間以來是比較合理的,基本上能夠適應(yīng)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要。綜合來看,上述模型的估計結(jié)果能夠幫助我們獲得以下的基本認(rèn)識:
(1)我國巨額的外匯儲備,對基礎(chǔ)貨幣的發(fā)行量有一定的影響。
我國現(xiàn)行的外匯管理體制,要求流入中國的外匯必須由中國央行用基礎(chǔ)貨幣收購,而從央行流出的基礎(chǔ)貨幣進(jìn)入到貨幣市場,在“貨幣乘數(shù)”作用下,按目前條件計算會產(chǎn)生4倍以上的放大效果,由于經(jīng)濟(jì)增長也需要貨幣投放來支持,在外匯儲備規(guī)模還不算特別大的時候,由外匯占款原因所形成的貨幣投放,可以基本上為經(jīng)濟(jì)增長所吸收,因此在以往這個矛盾還不突出,但是自2003年以來,中國的外匯儲備年均增長率高達(dá)41.5%,數(shù)倍于經(jīng)濟(jì)增長率,這樣一來,巨額的外匯儲備也大幅提高了對貨幣的需求,這也是自2007年以來我國面臨的嚴(yán)重的通貨膨脹壓力之一。因此,如何發(fā)揮外匯儲備的作用并保持在一個合理的水平上,值得我們?nèi)ニ伎肌?/p>
(2)我國貨幣需求的收入彈性較高。
從貨幣需求的長期方程來看,M1與GDP的彈性為0.893,M2與GDP的彈性為0.865,這恰好說明隨著居民收入的提高,民眾更愿意以銀行儲蓄的形式來持有其財富,提高了對貨幣的需求。
(3)利率對貨幣的需求調(diào)節(jié),有著相當(dāng)重要的影響力。
利率的影響力主要是通過調(diào)節(jié)貨幣總量的結(jié)構(gòu),即M1占M2的比重實(shí)現(xiàn)的。利率的提高或降低,會引導(dǎo)M1(作為購買手段和支付手段的貨幣)和M2(具有儲蓄性質(zhì)的準(zhǔn)貨幣)之間相互轉(zhuǎn)化,從而實(shí)現(xiàn)總需求與總供給的均衡。
參考文獻(xiàn)
[1]高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.
[2]歐陽志剛.貨幣需求函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究[J].統(tǒng)計觀察,2005,(5).
關(guān)鍵詞： 微積分； 數(shù)學(xué)模型； 數(shù)學(xué)建模
中圖分類號： G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1009-8631（2011）08-0097-02
自從Newton 和Leibniz發(fā)明微積分以來，微積分在闡明數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、生物以及科學(xué)等方面的問題時展示出了強(qiáng)大威力。因此，幾乎所有大學(xué)生都要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)（微積分），其中很多內(nèi)容與一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型中要解決的數(shù)學(xué)問題密切相關(guān)，例如：導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用，積分在自然科學(xué)與社會科學(xué)中的應(yīng)用等。因此在講述這些內(nèi)容時，把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入進(jìn)去十分自然，把一些實(shí)際問題或者有強(qiáng)烈實(shí)際應(yīng)用背景的問題的數(shù)學(xué)模型融入課堂教學(xué)中，學(xué)生不僅能初步學(xué)到數(shù)學(xué)建模的思想和方法，更能進(jìn)一步深刻體會到數(shù)學(xué)的重要性，更有興趣、更加主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
1 我國微積分教學(xué)改革的背景和現(xiàn)狀
1.1 教材內(nèi)容和實(shí)際脫節(jié)
我國的微積分教材主要是將定義、定理、公式、證明羅列匯集在一起，可以說是一副沒有“血肉”的“干骨頭架子”，學(xué)生很難看懂，實(shí)際上微積分的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容雖然相當(dāng)穩(wěn)定，但是微積分的應(yīng)用卻越來越廣泛，而我們的教材涉及到的應(yīng)用問題基本上還是微積分在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，缺少時代氣息，感覺所學(xué)知識與現(xiàn)代實(shí)際問題相距甚遠(yuǎn)，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
1.2 教學(xué)方法落后
許多高校的微積分教學(xué)體系基本上還處于傳統(tǒng)模式之下，采用注入式。在教學(xué)上過分強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，注重嚴(yán)密的邏輯推理。雖然使學(xué)生具備了比較扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，但忽視了微積分教學(xué)中的直觀化和形象化，使內(nèi)容抽象難學(xué)。同時由于教學(xué)中不重視微積分的應(yīng)用性和實(shí)際意義，學(xué)生學(xué)完了也不知道有什么用，更談不上主動去用。至使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低，微積分課程教學(xué)效果不好。
絕大多數(shù)高校開設(shè)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，但在許多高校，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程只是個別院系開設(shè)的學(xué)時很少的課程，或是為參加數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生開設(shè)的。如何充分利用現(xiàn)代技術(shù)，使計算機(jī)成為微積分教學(xué)的有力工具，并將數(shù)學(xué)建模的思想和過程融入微積分教學(xué)中，是我國微積分教學(xué)改革面臨的重要任務(wù)。
2 在微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想
微積分教學(xué)應(yīng)注意加強(qiáng)建模意識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用微積分方法解決實(shí)際問題的能力。一些可以用微積分模型來描述的問題，如疾病傳染、人口增長、種群競爭等問題，應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型來解決。一些重要模型的求解和分析應(yīng)在教學(xué)中有所反映，比如Logistic模型能描述人口、生態(tài)、廣告等許多領(lǐng)域的問題。在微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想是加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用、激發(fā)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的最佳方式，通過建?；顒舆€可以改善教學(xué)內(nèi)容與應(yīng)用脫節(jié)的狀況，促進(jìn)學(xué)生盡早接觸微積分的應(yīng)用領(lǐng)域。具體融入的教學(xué)單元有：
2.1 導(dǎo)數(shù)的意義
在介紹導(dǎo)數(shù)的意義時，除了可以介紹教材中物理、幾何方面的傳統(tǒng)應(yīng)用，還可以與時俱進(jìn)，引入經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際函數(shù)、彈性系數(shù)和化學(xué)中的衰變率、濃度改變率等， 以使學(xué)生感覺到導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)代實(shí)際問題中的應(yīng)用，了解導(dǎo)數(shù)的意義。
2.1.1邊際函數(shù)
經(jīng)濟(jì)學(xué)家經(jīng)常把一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的邊際值。例如：總成本C(x)是指生產(chǎn)一定量產(chǎn)品所消耗的全部成本。邊際成本C′(x)是指每增加一單位產(chǎn)品所增加的成本；總收益R(x)是廠商銷售一定量產(chǎn)品得到的全部收入。邊際收益R′(x)是廠商每增加一單位產(chǎn)品所增加的收入；總利潤P(x)是總收益減去總成本。邊際利潤P′(x)等于邊際收益減去邊際成本。
例1某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤P(x)（元）與產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系是P(x)=250 x－5x2 ，其邊際利潤P′(x)=250－10 x。
分析： 當(dāng)x=10時，P′（10）=150（元），它表示在每天生產(chǎn)10噸的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤將增加150元。
當(dāng)x=25時，P′（25）=0（元），它說明當(dāng)每天產(chǎn)量是25噸時，再多生產(chǎn)1噸，總利潤幾乎沒有變化，這一噸產(chǎn)量并沒有產(chǎn)生利潤。即此時利潤達(dá)到最大。
當(dāng)x=30時，P′（30）=50（元），它表明產(chǎn)量在30噸時，再多生產(chǎn)1噸，總利潤就要減少50元。這說明并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤越高。
2.1.2 彈性系數(shù)
彈性概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用廣泛，只要兩個經(jīng)濟(jì)變量之間存在著函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量的反應(yīng)的敏感程度。設(shè)兩個經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系為Y=f（X），則彈性公式為：ε==?，其中ε為變量Y對變量X的彈性系數(shù)，ΔX、ΔY分別為變量X、Y的變動量。ε給出當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量X發(fā)生1%的變動時，由它引起的經(jīng)濟(jì)變量Y變動的百分比。
例2?搖假設(shè)某種商品的市場需求函數(shù)是Y=4000（100―P■），需求量Y的單位是，價格P的單位是元。如果目前這種商品的價格是5元／，求這時需求量對價格的彈性ε■。
解：?搖Y′（P）=8000P
當(dāng)P=5時，Y（5）=3×10■， Y′（5）=4×10■／元。
所以，ε■= Y′（5）?■ =■≈0?郾67，這說明當(dāng)這種商品的價格在5元／的水平時，價格上升1%， 市場的需求量相應(yīng)地下降0.67% 。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，如果|ε■|＜1，則稱之為低彈性，表示價格的變化對需求的影響不大。
2.2 函數(shù)極值的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中有著廣泛的應(yīng)用，在介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時，可選用實(shí)際問題，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解，既使學(xué)生看到了導(dǎo)數(shù)在實(shí)踐中的應(yīng)用，也學(xué)會了建模的基本步驟。
例3?搖易拉罐的優(yōu)化設(shè)計
生活中，可口可樂、雪碧等飲料采用易拉罐來包裝。由于飲料銷量極大，飲料生產(chǎn)企業(yè)為了降低成本，就必須考慮將制罐材料減少到最小限度，這對于每天生產(chǎn)成千上萬聽飲料的大廠來說，尤其必要。試對制作易拉罐所用材料最省進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。
（1）問題分析：以可口可樂飲料為例，一聽飲料其凈重基本保持不變。要求飲料罐內(nèi)體積一定時, 使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。
（2）模型簡化與假設(shè)：
①將易拉罐近似看成一個直圓柱體。開罐裝置及上、下底的其他設(shè)計忽略不計。
②設(shè)易拉罐的側(cè)壁厚度為b，頂蓋厚度為αb，底部厚度為βb，所用材料的體積為T，這里α>β≥1 ，記k=α+β。設(shè)易拉罐的體積用 V 表示, 內(nèi)部半徑為r，罐的內(nèi)部高度為h。根據(jù)對問題的分析，其中，b與V為固定的參數(shù)，α與β為待定參數(shù)，r與h為自變量，T=T(r,h)為因變量。
（3）模型構(gòu)成：
T=［π(r+b)2-πr2］h+π(r+b)2αb+π(r+b)2βb
=πb(2r+b)h+πkb(r+b)2
=2πbrh+πb2h+πbkr2+2πkb2r+πkb3
由于b
而易拉罐的容積為V=πr2h，記?準(zhǔn)(r,h)=πr2h-V
于是建立的數(shù)學(xué)模型：T(r,h)=2πbrh+πkbr2s.t. ?準(zhǔn)(r,h)=0
（4）模型求解：這是一個帶約束條件的極值問題，可以化為無條件極值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法求解。
把約束條件?準(zhǔn)(r,h)=πr2h-V=0代入目標(biāo)函數(shù), 得到
T=+πkbr2?搖T′=πkbr2-?搖?搖令 T′=0
解得駐點(diǎn)r*=，根據(jù)實(shí)際情況知有極小值，所以r*是一個極小值點(diǎn)。此時，h*=kr*,T=3b。
（5）模型檢驗(yàn)：經(jīng)過測量，α=3, β=1 ，即底部厚度與側(cè)壁厚度基本一樣，而頂蓋的厚度為側(cè)壁厚度的3倍，這樣α+β=4，代入結(jié)果得h*=4r*=2d。即在滿足上述厚度和容積要求條件下，易拉罐的高為直徑的2倍時，所用材料最省。這與實(shí)際基本吻合。
2.3 積分的應(yīng)用
人口預(yù)報模型：
問題重述：今年人口數(shù)量為x，年增長率為常數(shù)r。問t年后人口數(shù)量將達(dá)到多少。
模型構(gòu)成：設(shè)時刻t的人口數(shù)量為x(t)。
由分析知： x(t+Δt)-x(t)=r?Δt?x(t)
即得=rxx(0)=x，分離變量后，積分得到：x(t)=xert。從而，任意給出時間t，就可求出對應(yīng)的人口數(shù)量x(t)。
參考文獻(xiàn)：
[1] 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社,2003.
關(guān)鍵詞：生產(chǎn)函數(shù) 商業(yè)銀行 內(nèi)控管理 管理經(jīng)濟(jì)學(xué)
每個企業(yè)的運(yùn)作都離不開必要的經(jīng)濟(jì)理論和管理知識，商業(yè)銀行的運(yùn)作也包含其中。只要通過對管理經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)，就可以了解經(jīng)濟(jì)理論在企業(yè)運(yùn)營決策過程中的科學(xué)理論依據(jù)，為企業(yè)實(shí)現(xiàn)業(yè)務(wù)目標(biāo)提供經(jīng)濟(jì)分析工具。如果一個企業(yè)能成功地運(yùn)用管理經(jīng)濟(jì)學(xué)原理建立自己的經(jīng)營策略，并把它應(yīng)用到日常商務(wù)管理中，將會給企業(yè)的運(yùn)營帶來很大的好處。如何把企業(yè)運(yùn)營和經(jīng)濟(jì)理論有效的結(jié)合起來？
首先，可以將產(chǎn)品價格彈性結(jié)合需求規(guī)律，運(yùn)用于市場。在市場條件下，一般商品需求規(guī)律是：所有其他條件不變,價格下降,需求量上升；價格上升,需求量下降。但是，如果要為企業(yè)的市場戰(zhàn)略服務(wù)，就必須將需求價格彈性和市場需求結(jié)合起來。在一般情況下，任何缺乏需求彈性的產(chǎn)品，企業(yè)都應(yīng)設(shè)法提高價格。需求彈性充足的產(chǎn)品，企業(yè)可以降價銷售，提高總收入。有效運(yùn)用這個經(jīng)濟(jì)原則，用低的價格，可以薄利多銷，進(jìn)行更多的銷售?？焖黉N售可以提高市場競爭力，利潤率雖然低，但通過更多的銷售，更快的銷售可以增加總利潤，加快資金周轉(zhuǎn)。
再次，可以利用生產(chǎn)函數(shù)，對企業(yè)產(chǎn)品降低成本，增加產(chǎn)量。生產(chǎn)函數(shù)是指在一定時期內(nèi)，在技術(shù)水平不變的情況下，生產(chǎn)中所使用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關(guān)系，又稱短期生產(chǎn)函數(shù)。公式為：q = f (l ,k0 )k0不變 ,l增加帶動產(chǎn)出增加。譬如說，康柏公司從1993年起開始改革傳統(tǒng)組織形式，在蘇格蘭的工廠試行“三人勞動組”制，結(jié)果證明這種組織形式大大優(yōu)于流水線，每個工人的產(chǎn)出提高23％，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)?！叭藙趧咏M”運(yùn)作情況如下：生產(chǎn)流水線一般由20名工人參加，每個人只干一種活。改革是將流水線的全部工種交給3個人承擔(dān)，每個人要干6種～7種活。如第一個人負(fù)責(zé)把要組裝的部件準(zhǔn)備好；第二個人負(fù)責(zé)把那件組裝到個人電腦的機(jī)殼內(nèi)；第三個人負(fù)責(zé)全部測試工作，確保所有線路暢通無阻?！叭藙趧咏M”的優(yōu)越性表現(xiàn)在：（1）占據(jù)廠房面積小，平均每平方米的產(chǎn)出比流水線提高16％。（2）流水線的方式使電腦在組裝的過程中觸摸人數(shù)多，不但延長產(chǎn)品組裝時間，而且增加影響產(chǎn)品質(zhì)量的機(jī)會，因?yàn)殡娮赢a(chǎn)品質(zhì)量的高低同被觸摸的人數(shù)多少成正比。（3）流水線一旦出現(xiàn)故障或其中的一個成員在操作中發(fā)生問題，20個人都要停工，而小組若出現(xiàn)問題，受影響的則僅限于3個人。但是“三人勞動小組”要求每個工人能夠干多種活，他們必須經(jīng)過多方面的培訓(xùn)方能上崗。在這個案例中還運(yùn)用到了邊際產(chǎn)量原理，即在其他生產(chǎn)要素投入量固定不變條件下 ,該可變要素投入量變動一個單位所導(dǎo)致的總產(chǎn)量的變動量，公式為:mpl =q/ l，邊際產(chǎn)量是可變的，它涉及到固定的要素的數(shù)量，在一般情況下，單位可變要素平均配置的固定要素越多，邊際產(chǎn)量就會更大;由公式可知，在總產(chǎn)出不變時，勞動力的減少可使產(chǎn)量增加。
從內(nèi)部因素的影響，中國理念的商業(yè)銀行及其制度的缺乏，制約了其內(nèi)部控制和管理的有效性。從概念上講，沒有將業(yè)務(wù)發(fā)展和風(fēng)險管理這兩種關(guān)系有機(jī)統(tǒng)一，有一個片面的業(yè)務(wù)發(fā)展和風(fēng)險規(guī)避的兩個極端片面強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)。也沒有真正建立全面風(fēng)險管理，整個過程缺乏，品種齊全，完整的風(fēng)險管理意識的概念。風(fēng)險管理制度，雖然在中國已經(jīng)建立了一個現(xiàn)代商業(yè)銀行制度的基本框架，但往往商業(yè)銀行的初步建立只能做到“看起來像”。管理制度的發(fā)展滯后于風(fēng)險的發(fā)展最終建立還沒有完全垂直，獨(dú)立的風(fēng)險管理制度，風(fēng)險管理部門的設(shè)置，業(yè)務(wù)流程，崗位職責(zé)，也仍然有許多違反內(nèi)部控制原則的情況。
從實(shí)際角度來看，金融詐騙和其他商業(yè)銀行系列事件的出現(xiàn)或發(fā)生重大案件是對內(nèi)部控制失控的反應(yīng)。失控客觀和主觀的原因很多，外部原因是對重新審核公司內(nèi)部控制的有效性外部審計的不足，也沒有對商業(yè)銀行監(jiān)管當(dāng)局建立內(nèi)部控制制度，正確的評價標(biāo)準(zhǔn)，內(nèi)容，方法和措施；銀行的內(nèi)部原因主要是內(nèi)部控制制度的實(shí)施，缺乏監(jiān)督和約束機(jī)制，會計，控制或管理控制失靈，信息不充分交流，有效的內(nèi)部審計評價和監(jiān)督缺乏。深層次的原因是中國商業(yè)銀行缺乏有效和健全的公司治理結(jié)構(gòu)。
首先，企業(yè)在決定上要做很多市場需求的分析。市場需求，價格彈性的產(chǎn)品分析，以確定產(chǎn)品價格，來判斷什么價格可以提供最大的利益。通過定價策略，一個企業(yè)決策者，以改善企業(yè)狀況，就必須明確產(chǎn)品的價格彈性，價格彈性不足，不夠靈活削減下來，否則，就是自我毀滅。預(yù)測價格彈性是發(fā)展市場營銷計劃的關(guān)鍵。通過價格的營銷推廣，交易折扣，產(chǎn)品抽獎等，以實(shí)現(xiàn)利益最大化企業(yè)管理者，你必須了解不同客戶群體
和特定商品的價格彈性的喜好。也就是說，要知道是否銷售價格上漲抵消了單位收入的下降。從經(jīng)濟(jì)管理角度出發(fā)，在一般情況下，一個企業(yè)從零產(chǎn)量開始，首先需要一個更高的價格，然后慢慢地降低價格，因?yàn)槔麧欁畲蠡妮敵隹偸窃谶m當(dāng)范圍內(nèi)的需求彈性。顯然，如果企業(yè)能夠自覺地使用和管理的理性思維的經(jīng)濟(jì)原則，我們就可以得到企業(yè)利潤的最大化。
第二，了解兩公司之間的交叉彈性的產(chǎn)品戰(zhàn)略決策具有重要意義。需求交叉彈性為正，具有較高的價值，在市場上更密切的替代品，是相互競爭。需求交叉彈性為負(fù)，在市場上互補(bǔ)性商品，就是合作關(guān)系。其替代產(chǎn)品，配套產(chǎn)品應(yīng)密切關(guān)注和應(yīng)用，最大限度地消除替代品，補(bǔ)充了企業(yè)的產(chǎn)品。把握消費(fèi)者的喜好，產(chǎn)品與消費(fèi)者需求相關(guān)的程度。控制廣告和營銷支出，以刺激消費(fèi)者對企業(yè)產(chǎn)品的需求。
一、數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的必要性
（一）是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的必然要求
而今，在經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，人們的經(jīng)濟(jì)理論知識點(diǎn)不斷提升，且經(jīng)濟(jì)意識不斷增強(qiáng)，面對新時期的考驗(yàn)，實(shí)施經(jīng)濟(jì)知識點(diǎn)研究時，若僅僅運(yùn)用以往的文字表述實(shí)施思辨式的推理工作，經(jīng)濟(jì)討論的規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯一致性等無法得到充分保證，且在結(jié)論精準(zhǔn)度、精密性等方面也無法得到保證，進(jìn)而不利于經(jīng)濟(jì)學(xué)知識點(diǎn)的精準(zhǔn)性。借助數(shù)學(xué)思想能讓經(jīng)濟(jì)學(xué)的相關(guān)研究目標(biāo)、經(jīng)濟(jì)變量間的實(shí)際關(guān)系更加明確，進(jìn)而提升邏輯推理實(shí)施規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性[1]，讓所得出的理論也就更加明確、清晰，以適度降低不確定因素的出現(xiàn)概率，以滿足經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際發(fā)展需求。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性分析、聚類分析、經(jīng)濟(jì)增長模型、邊際分析、回歸分析等知識點(diǎn)，都在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，且這些知識點(diǎn)是借助數(shù)學(xué)方法來解釋與解決經(jīng)濟(jì)類問題。
（二）讓經(jīng)濟(jì)學(xué)研究與推理更精確、嚴(yán)謹(jǐn)
在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域所產(chǎn)生一系列行為與突破，其都與數(shù)學(xué)存在著密切的聯(lián)系。從古典經(jīng)濟(jì)學(xué)到新型的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的轉(zhuǎn)變，從邊際革命至凱恩斯革命的變革，這對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的應(yīng)用具有重要意義。將數(shù)學(xué)知識點(diǎn)應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，能明確經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)間的密切聯(lián)系，其也對人們的經(jīng)濟(jì)思想與思維模式等產(chǎn)生很大的影響，讓人們在行為與思維上都更具定量特性[2]。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，很多人員在使用語言來表示邏輯關(guān)系時，時常會發(fā)生語言不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r，讓整個數(shù)學(xué)思維漏洞百出。面對此類問題，就需要開展經(jīng)濟(jì)學(xué)交流與論述條件下，能及時將嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)的文字語言轉(zhuǎn)變?yōu)閷I(yè)性的數(shù)學(xué)語言。應(yīng)用數(shù)學(xué)語言時，讓語言更加簡練、嚴(yán)謹(jǐn)，且在表述上也更加準(zhǔn)確、精準(zhǔn)。
二、數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用
經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，必須要全面滲透數(shù)學(xué)的學(xué)科知識點(diǎn)，以保證經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的高效性與嚴(yán)謹(jǐn)性。新時期，在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究與應(yīng)用中，高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用頻率很高，如線性代數(shù)和概率論、微積分與數(shù)據(jù)統(tǒng)計三類。經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)間聯(lián)系最為緊密的當(dāng)屬微積分，如，邊際的出現(xiàn)，旨在實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)化，而“彈性”這一詞語在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的出現(xiàn)頻率也很高，要全面滲透數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中，線性代數(shù)是把復(fù)雜的多元化方程進(jìn)行簡單化處理與求解的一種數(shù)學(xué)工具，其主要內(nèi)容就表現(xiàn)在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中實(shí)施數(shù)據(jù)處理。在保險學(xué)領(lǐng)域，數(shù)理統(tǒng)計與概率論等知識點(diǎn)所發(fā)揮的作用是無法忽視的[3]。實(shí)施經(jīng)濟(jì)管理工作時，還要做好前期的預(yù)測工作，這是實(shí)現(xiàn)商品產(chǎn)銷、資金投放和人員組織的一項(xiàng)重要決策與重要依據(jù)?，F(xiàn)如今，經(jīng)濟(jì)的全面發(fā)展，需要集合多種資源，科學(xué)設(shè)定經(jīng)濟(jì)目標(biāo)與經(jīng)濟(jì)管理方法，從多種方法中選一，進(jìn)而從中獲取最高經(jīng)濟(jì)效益。為滿足數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的實(shí)際需求，要求目標(biāo)性函數(shù)達(dá)到極值，且目標(biāo)性函數(shù)也能表示所產(chǎn)生的損失，進(jìn)而要求函數(shù)值能達(dá)到最小值。此類知識點(diǎn)時常會被轉(zhuǎn)化成變分問題或求解目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)條件，且線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、優(yōu)選法與最優(yōu)控制法等都要致力于發(fā)展的優(yōu)化上。若提出一個比較詳細(xì)的經(jīng)濟(jì)性問題，會結(jié)合具體內(nèi)容、具體條件，讓整個數(shù)量關(guān)系變得更為抽象，還要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，以實(shí)現(xiàn)對經(jīng)濟(jì)問題的研究。1.結(jié)合研究對象與研究目的來實(shí)施周密性的調(diào)查，進(jìn)而從中獲取足夠的信息數(shù)據(jù)，并及時數(shù)據(jù)信息與文件資料實(shí)施分組處理和管理工作。2.理論條件下，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)據(jù)信息的科學(xué)性分析與觀察，及時了解影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的因素有哪些，進(jìn)而確定好相應(yīng)的變量。3.及時了解事物數(shù)量與共性間的密切聯(lián)系，同時了解制約系統(tǒng)運(yùn)行的條件。4.嚴(yán)格規(guī)定代碼與符號，合理羅列各個數(shù)量關(guān)系，設(shè)定數(shù)學(xué)表達(dá)式。對數(shù)學(xué)關(guān)系式實(shí)施合并與簡化處理，科學(xué)設(shè)定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行糾正與規(guī)范。5.結(jié)合實(shí)際模型，對經(jīng)濟(jì)的實(shí)際變化規(guī)律、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀態(tài)等進(jìn)行科學(xué)性的描述，并提出理論假說。
綜上所述，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識點(diǎn)，能促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的全面發(fā)展，必須要深度分析數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體作用，及時了解數(shù)學(xué)的精髓與基本方法，全面滲透數(shù)學(xué)思想，全部融入經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的全面發(fā)展，針對社會發(fā)展進(jìn)程中各類經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象實(shí)施科學(xué)而有效的剖析。
作者:王麒焱 單位:東北石油大學(xué)秦皇島分校
參考文獻(xiàn)：
［1］朱小飛.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用［J］.科教文匯（下旬刊），2015（3）：43-44．
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；凹凸性；拐點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究必不可少的工具。導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)隨自變量變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率，它使人們能夠用數(shù)學(xué)工具描述事物變化的快慢及解決與之相關(guān)的問題。
一、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是，曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率，即
例1
求曲線 在點(diǎn)（1，2）處的切線斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程與法線方程。
解：所求的切線斜率為 。由于 ，于是 。
所求的切線方程為 ，即
所求法線方程的斜率為
所求的法線方程為 ，即
二、利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定法：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)。
（1）如果在 內(nèi) ＞0，那么函數(shù) 在 上單調(diào)增加；
（2）如果在 內(nèi) ＜0，那么函數(shù) 在 上單調(diào)減少
例2討論函數(shù) 的單調(diào)性
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
（2）
（3）令 得 ，這兩點(diǎn)把定義域區(qū)間分為 ， ， ， 四部分。
由此可知，在區(qū)間 和 內(nèi)函數(shù) 單調(diào)增加，在區(qū)間 和 內(nèi)單調(diào)減少。
注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)
求函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟為：
（1）確定函數(shù)的定義域
（2）求出使函數(shù) 或 不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將函數(shù)定義域分為若干子區(qū)間。
（3）確定 在各個子區(qū)間的符號，進(jìn)而確定 的單調(diào)區(qū)間。
三、利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式
例3 證明：當(dāng) ＞0時， ＞
證明：設(shè) ，則
當(dāng) ＞0時， ＞0，所以 為單調(diào)增加，又因?yàn)?，故當(dāng) ＞0時， ＞ ，即 ＞0
因此＞
注：當(dāng)不等式不能做差或作商是可以用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來解決。
四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限
在求函數(shù) 極限時常會遇到兩個函數(shù) ， 都是無窮小或都是無窮大的情況，即“ ”，“ ”型的極限，這類極限不能直接用四則運(yùn)算法則求極限，那么可以用洛必達(dá)法則來求其極限。
洛必達(dá)法則：若函數(shù) ， 滿足
（1） ，
（2）在點(diǎn) 的某個去心鄰域內(nèi) ， 存在，且 ≠0
（3） 存在或無窮大
則極限 存在（或?yàn)闊o窮大），且 =
注：當(dāng) 換為 時，定理仍然成立
例4 求
解：這是 型未定式
= =
例5求
解：這是 型未定式
= = =0
五、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
極值判定法：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，且在點(diǎn) 的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn) 除外），若在該鄰域內(nèi)
（1）當(dāng) ＜ 時，有 ＞0；當(dāng) ＞ 時，有 ＜0，則函數(shù) 在點(diǎn) 處有極大值 ， 為 的極大值點(diǎn)；
（2）當(dāng) ＜ 時，有 ＜0；當(dāng) ＞ 時，有 ＞0，則函數(shù) 在點(diǎn) 處有極小值 ， 為 的極小值點(diǎn)；
（3）若在點(diǎn) 的左右兩側(cè)近旁， 的符號相同，則函數(shù) 在點(diǎn) 處沒有極值。
例6求函數(shù) 的極值點(diǎn)與極值
解：（1）函數(shù) 的定義域?yàn)?/p>
（2） ，令 ，得 ，
， 將函數(shù) 的定義域 分為3個子區(qū)間，在每個子區(qū)間內(nèi)討論 的符號。
（3）列表討論如下
（4）由表可見， 為函數(shù)的極大點(diǎn)， 為函數(shù)的極大值； 為函數(shù)的極小點(diǎn)， 為函數(shù)的極小值。
由此題可知求函數(shù) 極值點(diǎn)和極值的一般步驟：
（1）確定函數(shù) 的定義域
（2）求出導(dǎo)數(shù) ，并求出函數(shù) 的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)
（3）列表討論 在上述各點(diǎn)近旁的符號
（4）判定函數(shù) 的極值點(diǎn)，并求出函數(shù)的極值
六、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
設(shè) 在 內(nèi)的駐點(diǎn)為 ， ，…， ，則比較 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。
例7求函數(shù) 在 上的最大值與最小值
解：
解方程 ，得到 ， ，由于
比較可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值
七、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)
定理：設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
（1）若在 內(nèi) ＞0，則 在 上的圖形是凹的；
（2）若在 內(nèi) ＜0，則 在 上的圖形是凸的.
例8求曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)及凹凸區(qū)間.
解：（1）函數(shù) 的定義域?yàn)?/p>
（2） ，
令 ，即 ，解得 ， .
從而 ， 把定義域區(qū)間分為3個區(qū)間： ， ，
（3）列表討論曲線的凹凸性和拐點(diǎn)
由上表可知，曲線在區(qū)間 ， 內(nèi)是凹的，在區(qū)間 內(nèi)是凸的。曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
求曲線 凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟為：
（1）確定函數(shù) 的定義域；
（2）求出函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù) ，解出 =0的全部實(shí)根，并求出二階導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)；
（3）判斷上述各點(diǎn)兩側(cè) 是否異號，如果 在點(diǎn) 的兩側(cè)異號，則點(diǎn)（ ， ）是曲線 的拐點(diǎn)；如果 在點(diǎn) 的兩側(cè)同號，則點(diǎn)（ ， ）不是曲線 的拐點(diǎn)。
八、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
（一）邊際分析
邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要概念，一般指經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率。經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反映的是這個經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的瞬時變化率，可以近似的描述該經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際。
1、邊際成本
設(shè)總成本函數(shù)為 ，其導(dǎo)數(shù) 稱作邊際成本，記作MC。它表明在生產(chǎn)或購銷中，產(chǎn)量或購銷量在Q水平上再增加一個單位引起的成本的改變量 。
2、邊際收入和邊際利潤
設(shè)某產(chǎn)品的總收入函數(shù)為 ,稱其導(dǎo)數(shù) 為邊際收入，記作MR.。
設(shè)某產(chǎn)品的總利潤函數(shù)為 ,稱其導(dǎo)數(shù) 為邊際利潤，記作ML.。
例9設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為
，
其中，Q為該產(chǎn)品的銷售量。試求
（1）該產(chǎn)品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤
（2）生產(chǎn)50個單位產(chǎn)品時平均單位成本和邊際成本本值
解：（1）邊際成本為
邊際收入為
利潤函數(shù)為
則邊際利潤為
(2) 時的平均單位成本為 ， 是的邊際成本為
這表示生產(chǎn)第50個或第51個單位產(chǎn)品時所追加的成本為17.5
（二）、彈性分析
若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則 的值稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的彈性，記作 。
函數(shù) 在點(diǎn) 處的彈性 反映了當(dāng)自變量 變化1%時，函數(shù) 變化的百分?jǐn)?shù)為
若需求函數(shù)為 則需求彈性為
若供給函數(shù)為 則供給彈性為
例10某商品的需求函數(shù)為 ，求 時，需求對價格的彈性。
解：
當(dāng) 時， ≈－1.7
其經(jīng)濟(jì)含義是，當(dāng) 時，價格每上升1%，需求量則減少1.7%