時間：2022-03-27 18:22:17
導語：在初中數學教材的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
一、“四大難關”的成因
立足于幫助學生順利渡過“四大難關”，教材研究的首要任務是搞清各個“難關”的成因。對此作宏觀分析，我們容易概括出下面三個方面的成因：
1、抽象層次的提高
教學內容的抽象性是眾所周知的，但作為數學教材的教學內容，則著意體現由直觀到抽象的漸變過程，以適應學生認識的發展。在這種變化過程中，起伏程度有所不同，各大難關所表現的正是抽象程度的驟變過程。抽象層次驟然提高，這種變化若學生不能立即適應，就成為學習數學的巨大障礙，就成為“難關”了。
2、研究對象的轉變
恩格斯在《反杜林論》中曾指出：“……純數學是以現實世界的空間形式和數量關系——這是非常現實的材料——為對象的。”這給數學尤其是初等數學的本質作出了很科學的概括。數學是圍繞“數”和“形”這兩個方面的討論而展開的。而在教材內容的發展過程中，由以數為主要研究對象的內容轉變到以形為主要研究對象的內容時，其角度、特點以及抽象程度都有顯著的變化，這一轉變過程中，學生不能很快適應，就會形成由代數到幾何的過渡——初二平面幾何入門的一大難關。由數到形，又到數形結合，研究量與量之間運動、變化過程中表現出的關系，則又是一類研究對象，這就是函數概念的引進——因研究對象與研究方法的轉變而導致的不適應，就出現了由常量數學到變量數學過渡的難關。而其它幾大難關也不同程度地涉及到研究對象的改變。由此可知，數學內容研究對象的轉變也是“難關”的成因之一。
3、思維方式的轉變
每一次“難關”的出現，都相應地出現思維方式上大的轉變，都是對前面習慣思維的揚棄。
當教學思維從特殊轉入對一般情 況的研究時，就是相應的第一大難關的來臨，此時可以說思維進入了歸納思維的范圍；而當平面幾何以全新的研究對象出現時，演繹推理——從一般到特殊的思維方式占了主導地位，這種改變又導致了第二大難關的產生；而對辯證思維要求的提高，是導致后兩大難關的重要因素，因為這要經受“相對穩定——運動變化——無限領域”的一系列重大變革。數學中的靜與動、有限與無限等矛盾在運動中被一一揭示出來，在思想方向上使中學生經受了一次又一次的重大洗禮。由此可見，思維方式的轉變是“難關”的重要成因。
二、對策
1、廣泛聯系、挖掘量變因素
前面已經指出，“難關”的出現其實質是一個質變過程，它需要量變的積累，如果量變有了充分準備，質變就顯得自然，“難關”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來。在代數關系的研究中，要積極注意挖掘與幾何結合較緊密的內容，廣泛聯系，縮小接觸新內容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產生的心理障礙。
2、重點深入，合理設置問題
要將“難關”分散到普通教材中來，就需要注意對普通教材由微觀到宏觀的透徹研究與重點深入。首先，要明確局部內容在整體數學教材體系中的地位和作用；其次，要運用前文所述的教材研究方法，合理設置問題，使問題的步子與學生的思維水平同步前進，以局部知識的掌握為整體服務。例如，針對某一概念，可圍繞下面幾個角度設置問題：概念的構成，概念所涉及的子概念，概念的外延，概念的內，概念的確定與否定，概念之間的關系，概念的應用以及由概念而設計的一些構造性問題等等。當然有些問題可設置一些啟發性的提問以使學生獨立獲得知識，問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學時啟發學生思維。
3、合理吸收，突出思想方法
數學探究是學生學習數學的重要活動之一，數學教材作為數學探究的重要來源，是影響學生探究能力的重要因素。通過對上教版和人教版初中數學教材探究內容的比較分析，發現兩版教材探究欄目類型豐富，形式多樣，都以解答活動為主，上教版更偏向純數學情境的運用和封閉式問題表述，而人教版較注重創設真實、開放的探究情境。
關鍵詞
初中數學教材;探究內容;上教版;人教版
21世紀以來，數學課程改革為數學學習賦予新的內涵，強調數學學習的過程不能只依靠簡單的記憶和模仿，而且要借助實際的探索和動手操作。《義務教育數學課程標準(初中)》中也指出:學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。［1］數學教材中的探究活動在培養具有自主學習、探索能力和實踐能力的人才中起到重要作用，成為數學課程改革中所倡導的重要學習活動之一。以往關于數學探究的研究主要分為三個層面:教學層面的數學探究、學習層面的數學探究和課程層面的數學探究。［2］從課程層面出發，研究教材中的數學探究比較少，且主要集中在不同國家高中學段的比較，對國內初中學段的研究較少。故將從宏觀和微觀兩個層面考查上海教育出版社出版的九年義務教育課本七到九年級(試用本)(以下簡稱“上教版”)和人民教育出版社出版的義務教育教科書七到九年級(2012年版)(以下簡稱“人教版”)初中數學教材的探究內容。通過對兩版教材探究內容的比較，以期對初中數學教材探究內容的改進和發展提供參考。
一、研究方法
(一)研究問題
探討不同版本初中數學教材探究內容在數量分布、編排特點、情境類型、問題類型及活動類型等方面存在的異同。
(二)研究對象
通過對相關文獻的分析整理，采用徐斌艷教授提出的數學探究的定義，即學生圍繞某個問題情境或者數學問題，去觀察、分析、推測數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、驗證適當的數學結論或規律，或給出解釋或證明，再反思結論或產生新一輪問題。［3］結合上述概念界定，研究對象為兩個版本的初中數學教材中顯性探究內容，人教版中標有的“歸納”“思考”“探究”“實驗與探究”“閱讀與思考”“觀察與猜想”“數學活動”“信息技術應用”等顯性欄目，上教版中標有的“閱讀”“思考”“觀察”“探究活動”“實踐活動”“閱讀材料”“想一想”“議一議”等顯性欄目。
(三)研究框架
通過對已有文獻的梳理發現，對數學教材探究內容的分析角度呈現多樣化，徐斌艷教授提出情境表述、問題表述、活動組織形式、活動類型、與教材上下文的關系這五個分析指標，每個指標又分別分解為若干二級或三級指標。［4］根據以往研究，結合人教版和上教版初中數學探究內容的特點，主要從宏觀和微觀兩個方面進行比較分析，宏觀分析包括探究內容的數量分布和編排特點，微觀分析包括情境類型、問題類型、活動類型三個方面，并對每個方面進行再次細分。
二、探究內容的宏觀分析
(一)數學探究內容的數量分布
數學課程內容在義務教育課程標準中被劃分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四部分，兩版教材探究內容都涉及四部分，從探究問題總量上看，人教版(834個)多于上教版(654個)，從各部分數量分布來看，兩版教材探究問題除了統計與概率部分數量相同外，其余三個部分的數量都是人教版多于上教版。從各部分所占比例來看，人教版探究問題涉及數與代數部分偏多(44.48%)，其次是圖形與幾何(40.05%)、綜合與實踐(12.11%)、統計與概率(3.36%)，上教版探究問題中數與代數、圖形與幾何部分比例較接近，都是44%左右，其次是綜合與實踐(7.18%)、統計與概率(4.28%)。
(二)數學探究內容的編排特點
研究對象是教材中顯著標出的有探究意味的欄目。人教版數學教材中的探究欄目以“思考”和“探究”居多，一般出現在章節開頭和中間，旨在引導學生通過觀察、分析、猜想、試驗、推理、反思、交流等活動獲取數學知識，積累學習經驗，逐步學會發現、提出、分析和解決問題;“歸納”一般出現在章節中間，主要是對方法和規律的總結，促進學生的反思性學習;“閱讀與思考”“數學活動”和“信息技術應用”主要出現在章節末尾或者章節外，旨在通過生動活潑、積極主動的學習，培養學生更廣泛的數學學習興趣，不斷增強探究能力。［5］上教版中的探究欄目以“問題”“想一想”和“思考”居多，主要出現在章節開頭和中間，用于引發學生思考，幫助學生理解新知，引導學生開展數學活動;此外，還配備了“閱讀材料”“探究活動”“實踐活動”等專題，出現在章節末尾或章節外，旨在拓展知識，豐富數學文化，促進學生的體驗性學習和探究性學習，不斷增強探究能力和實踐能力。總體來看，兩版教材探究欄目類型豐富，形式多樣，均為學生提供了較多探究性學習的機會和方式。
三、探究內容的微觀分析
主要從情境類型、問題類型和活動類型等方面對探究內容進行編碼分析，分析結果如下。
(一)數學探究內容的情境類型
教材探究內容需要通過一定的情境來呈現，通過對相關文獻的分析，將探究內容的情境類型分為純數學情境和非純數學情境。純數學情境指純粹數學問題表述的情境，非純數學情境指來自日常生活、外部現實世界(自然、藝術、體育、人文等)或文學作品、科幻作品等故事情節類情境。根據統計分析發現，兩版教材探究內容都以純數學情境為主(上教版:85.63%，人教版:71.11%)，上教版純數學情境比重更加突出，而人教版更加關注非純數學情境的運用，其比例是上教版的兩倍。純數學情境關注數學知識本身，從數學知識、規律與關系來創設情境，注重數學的嚴謹性;非純數學情境賦予數學以生動、親和的形象，有助于學生通過自己的觀察、操作等活動親身經歷知識的建構過程。上教版中純數學情境很多，非純數學情境較少，這對于學生基于現實生活經驗進行數學學習會產生一些困難;人教版涉及很多非純數學情境，包括日常生活和其他學科的情境問題，更注重問題情境的真實性、趣味性，有利于激發學生探究生活中的數學規律，幫助學生體會數學與生活之間、數學與其他學科之間的聯系。例如，人教版七年級下冊第144頁的實驗與探究中的“瓶子中有多少粒豆子”，此探究內容主要介紹抽樣調查方法和樣本估計總體的思想，重點在于讓學生通過數學的思想方法，解決來自日常生活中的情境問題，為非純數學情境。
(二)數學探究內容的問題類型
根據探究活動的解答過程和結論是否唯一，將探究活動的問題類型分為封閉式問題和開放式問題。封閉式問題的答案和解答方法都是唯一的，開放式問題包括解答方法多元的過程開放問題和答案多元的結論開放問題。兩版教材探究內容都以封閉式問題為主，上教版中的比重相對人教版更高，上教版中開放式問題占11.64%，人教版中開放式問題占22.22%，且結論開放問題和過程開放問題所占百分比都高于上教版。由此可知，上教版探究內容封閉式問題很多，開放式問題比較缺乏，人教版探究內容更加注重開放式問題設計，鼓勵學生大膽假設與探究，尋找多種方法分析并解決問題，尋求多元化結論，更加符合課程標準中對探究內容的要求，如“有助于鼓勵學生發揮自己的想象力和創造性”“探究課題應具有一定的開放性”“培養學生善于質疑和善于反思的習慣”［6］。人教版八年級上冊第11頁的探究，要求學生將任意一個三角形的內角剪下拼合在一起得到一個平角，學生可以有不同的拼合方法，故此題為過程開放問題;人教版八年級下冊第79頁的思考，要求學生說出三種函數表示方法各自的優點，學生在解題過程中不僅要理解這三種表示方法的界定，還要考慮如何根據具體情況選擇適當的方法，以及在運用方法時可能會遇到的問題，因此可能會出現多種不同的答案，故此題為結論開放問題。
(三)數學探究內容的活動類型
數學探究內容的活動類型指教材在設計數學探究內容時，為學生創造的數學活動條件和空間，本文將其分為解答活動、寫作活動、項目活動、閱讀活動和實驗活動。統計結果表明，兩版教材的探究內容均以解答活動為主，其他活動類型都比較少。相對上教版而言，人教版探究內容的活動類型和數量較多，其中實驗活動主要借助信息技術實驗性的探索問題，項目活動主要以實物作品呈現活動成果，閱讀活動包括有問題和無問題的文本閱讀，寫作活動非常少;上教版教材中，閱讀活動以無問題文本閱讀形式為主，項目活動主要以文本作品呈現活動成果，實驗活動很少，沒有寫作活動。據此可以看出，兩版教材強調對知識的理解和運用，忽視了活動類型的多樣性和趣味性。解答活動又分為“驗證反思”“計算證明”和“推測解釋”三類，兩版教材探究內容都是以“計算證明”類為主，旨在培養學生利用數學公式、定理等進行數學計算、證明或作圖的能力;其次是“推測解釋”類，關注學生對可能的解答過程或結論進行推測或解釋的能力;最后是“驗證反思”類，培養學生對已有的解答過程和結論進行驗證或反思的能力。例如，上教版七年級上冊第104頁中的思考，要求學生把三角形ABC繞著AB邊的中點O旋轉180°，并畫出旋轉后的圖形，學生在解題時需要根據旋轉等相關知識作圖，以此加深對中心對稱等相關概念的理解，此題為解答活動中的“計算證明”類。總體來看，兩版教材都比較重視學生的探究活動，探究內容都以解答活動為主，上教版更偏向純數學情境和封閉式問題，注重數學的嚴謹性，而人教版更關注開放式問題的設計，鼓勵學生尋求多元的方法和結論。
四、啟示
(一)密切生活實際
數學課程內容的選擇要貼近學生的生活實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索，使學生經歷從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。［7］通過比較發現，兩版教材探究內容更多的是純數學情境，非純數學情境較少，而非純數學情境作為數學知識的一種載體，與學生的生活經驗有關，能夠更好地激發學習興趣、引起思考且樂于探索。因此，兩版教材中的探究內容除了關注數學知識之間的聯系，也要關注數學與日常生活、數學與其他學科等領域的聯系，尤其是上教版教材，可以適當增加一些與學生聯系密切的生活情境或者自然科學、人文藝術類情境，重視學生已有的生活和學習經驗，激發學生學習數學的興趣。
(二)加強多角度探究
探究內容中的封閉式問題更注重問題的嚴謹性，而開放式問題中的過程開放旨在鼓勵學生進行自由反思和探索多樣化的解題方法和策略，結論開放旨在鼓勵學生對未知、多變的結論進行發散性探尋。［8］兩版教材探究內容都以封閉式問題為主，開放式問題為輔，尤其上教版中的開放式問題僅占11.64%。封閉式問題對于鞏固所學知識和開發智力是不可替代的，但是不能完全滿足對學生數學思維能力的訓練。開放式問題具有非完備性、不確定性、發散性等特點，有助于調動學生學習的積極性，激發學生好奇心和求知欲，培養學生主體意識和多角度探究能力。［9］因此，上教版教材可以以數學教學內容為載體，創設開放式問題情境，激發學生自主探究，通過學生相互討論交流和教師補充引導，促進學生思維發展，拓寬解題思路。
(三)豐富活動類型
數學學習不僅需要教師的言傳身教，還需要學生自己去經歷、體會、感悟、積累，而不同類型探究活動正是為學生提供這樣的機會，去獲得基本的數學活動經驗，發揮學習的能動性，鍛煉學生寫作能力、動手操作能力，體會探究的樂趣。兩版教材探究內容都以解答活動為主，其他類型的探究活動所占比例很少，其中實驗活動主要以如何使用信息技術解決數學問題為主，對學生進行實踐操作的要求不高，項目活動的探究價值不高，寫作活動非常少，且缺乏對數學概念、探究過程和探究結論方面的寫作。因此，兩版教材應該適當增加實踐活動、項目活動、閱讀活動和寫作活動比重。不僅注重學生的解題能力，還要關注學生的動手操作能力、閱讀理解能力和寫作能力，注重活動的豐富性和趣味性，使學生在不同活動類型中獲得更豐富的探究體驗和更全面的發展。
作者：尚念 單位：華東師范大學教育學部
參考文獻:
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【關鍵詞】 活用教材 教學改革 初中數學
社會在發展，人類在前進，一切事物都在不斷地變化著，因此數學教材的發展變化也是勢在所趨。初中數學新教材的編寫普及性、基礎性、發展性體現的都較強，也落實了“標準”中關于數學、數學課程、數學學習、數學教學活動、評價和現代信息技術的基本理念，力求突出學生的主體地位，體現學習方式的轉變。如何在數學教學中使用好教材包含著兩個方面的工作，一是教師在教學中如何恰當地運用教材，二是如何經常地指導學生閱讀與鉆研教材。
1 對教材內容進行適當的補充
我們在使用教材的過程中，根據本校實際需要對教材內容進行適當的補充，以便更加符合學生的需要。例如，在數學課堂上，適當地介紹一些數學家的故事、數學趣聞和數學史，由于數學史料涉及數學概念的產生背景及發生、發展、演變的過程，就便于學生了解數學概念的全貌，對學生的學習具有啟發作用。如學習七年級（上）“1.1正數與負數”時，可介紹“負數是中國人最先使用的”及《九章算術》中有關負數使用的記載。又如學習八年級（下）第十八章“勾股定理”給學生補充我國古代數學家劉徽、趙爽的故事和關于勾股定理的證明與運用及數學成就《周髀算經》，這樣可以豐富課堂內容，拓展學生的學習興趣，激發學生的愛國熱情，并體會數學在人類社會發展中的重要作用。
2 尊重學生的個體差異
要深入了解學生的實際情況，明確哪些內容是難以理解的，哪些是難以記憶的，哪些是容易錯混的，哪些是容易忽略的，然后考慮如何相應地恰當的運用教材與指導學生閱讀教材。比如，對于七年級一元一次方程的應用問題，考慮到學生的思維和條理性都處于一般發展階段，我們就可以借助線段圖、表格為學生導航。在本次數學課程改革中，關于學生的差異問題被提到了一個顯著的位置，各學段的數學課程標準都強調在教材編寫中，注意內容呈現形式的豐富多彩，以提高學生的學習興趣，進一步加深對所學內容數學意義的理解，而且建議教師在教學過程中尊重學生的個體差異，滿足他們多樣化的學習需要，在教學中盡可能給學生更多的時間思考、鼓勵學生的合作交流，盡可能的利用新技術，為不同的學生提供多樣的方式來理解數學，比如，上“數軸”一課時，教師可喊口令，使學生同步口令操： “雙臂伸直似直線，右手伸直似箭頭，雙手握拳似箭尾，點點頭，是原點。向右跑，我變大，往左跑，我縮小，我在街上來回跑，變大變小要記牢”，數軸，作為數與形的第一次碰撞，需要建立一種新的思維模型，對于許多七年級的學生是困難的，因此，盡可能地采用多種方式來表達和解釋是必要的。義務教育階段，課程標準也提出“不同的人在數學上獲得不同的發展”，其目的也在于提供多樣的課程適應學生的個體差異。
3 適當替換教材的例題
新課程提倡："教科書歸根結底必須由教師自主編制或對現成的教材進行再加工，這是一線教師必須擁有的權利。"因此，我們必須創造性地使用教材。例如平均數、中位數和眾數的選用，我認為教材提供的3個例子對于初一學生來說很難斷定究竟是使用平均數、中位數還是眾數，各自的使用范圍特點不免鮮明，況且我校是農村學生，學生基礎較差，對于我校學生來說就可想而知了。我在備課時就想以什么恰當的例子呈現給學生，使學生容易理解掌握呢？應當設計學生最熟悉的且平均數，中位數和眾數各自使用范圍較明顯的例子，所以我進行實驗教學，一個班按教材例題教學，另一個班按我自行設計的以下例題教學。
【關鍵詞】初中數學 教材 學習
新課程標準的實施，可謂是基礎教育的一場革命。新課標下數學教學過程是教師組織和引導學生主動掌握數學知識，發展數學能力，形成良好的個性心理品質的認識與發展相統一的過程，而教師的“教”和學生的“學”的雙邊活動要以教材為中介，教材把他們緊密地聯系在一起。教材的編寫在一定程度上決定著教師的“教”和學生的“學”法。 新課程標準的觀念強調我們教師要變“教教材”為用“教材教”。在新課標的觀念下所編寫的新教材將數學知識形成的基本過程和基本方法貫穿始終，教師善于發掘出新教材優點，轉變教育觀念，培養出適應時代要求的新型人材。 我本人的教學，主要從新教材具有的幾個突出的優點著手，進行教學：
一、教材的實例多、實物圖多。化深奧為淺白，化抽象為直觀，降低了教師“教”的難度
傳統的數學教材即使是學習成績很好的同學也產生這樣的疑問“我們為什么要學習這么深奧的數學呢，它們有用嗎？”而現在教材舉也很多實際的例子，不用教師費心說，學生看題或在學的過程中已感知到數學在我們生活中發揮著重要的作用。如九年級下冊“船有觸礁的危險嗎”這一節內容，它是利用三角函數知識求路線或物高的內容，本是難度大而又枯燥無味的內容，但因其實例，學生生活中會應用到的知識，學生很感興趣，并且再加上美麗的實物圖，把學生感官也動員起來了，那學的勁就不用說了。而教師也不用把知識“形象化”了才去讓學生理解，相對來說教師講授的時間少了，學生學的時間多了。
二、每一章節基本上都按排了“想一想”、“議一議”、“做一做”的內容。教師根據教材內容的安排，把學生引進探索、創新的空間，徹底改變在教學中教師包辦代替，一講到底的教學方式
教師按照教材編排上述的內容留給學生思考的時間和空間，充分體現教師組織學生主動獲取、掌握數學知識，發展學生的數學家思維能力。如學習平行線之間的距離相等時，教材設計了“想一想”在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的枕木是否一樣長？教師不要急著下結論，給出定理，而是組織學生展開思考。有的學生認為不一樣長，因為當鐵軌的寬度不一樣，那么夾它們之間的枕木就不一樣長了；有的同學則反搏說，鐵軌是讓火車行走的，而火車的兩邊的鐵輪位置是固定不變的，也即它們的距離是不變的，要是鐵軌寬度不一樣，火車就會出軌造成事故。此時課堂成了學生的辨論臺，然而教師作適當引導，題目的前提是在筆直的鐵軌上，不用考慮轉彎時的變化，學生一點即明。同學們開心的笑了“哦！”，“我早說了嗎！”等聲一遍，再轉入下面的學習就從容多了，也體現了教師組織、引導學生主動獲取和掌握知識。
又如“議一議”：舉出生活中的幾個實例，反映“平行線之間的垂線段處處相等”的幾何事實。教師組織學生分組討論，讓學生合作交流，調動學生學習數學的積極性，讓每個學生都有機會發表自己的意見，培養學生的創新精神。并且學生舉出多種多樣的例子，豐富了學生的知識面。
三、新教材從學生的身邊出發，確實把知識體現在現實生活中，教師引導學生回憶，讓學生產生對知識的濃厚興趣
“教學課程標準指出，教學課程不僅要考慮教學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已在的生活經驗出發。數學教材每一章開始，都是一個典型的例子引入，體現整章的核心，而每節課開始，也安排生活中的例子。在學習平面直角坐標系時，教材創設電影院的情境。在電影院內如何找到電影票上所指的位置？此時學生七嘴八舌地說出自己的意見，有的說先看第幾排再看第幾號，而有的同學說還要看是幾樓（因為有的電影院是兩層甚至是多層的）這是每一位同學都很熟悉的，即使平時考試成績很差的同學也不陌生，能充分引起學生學習的愿望和增強學好數學的信心。此時教師作適當的鼓勵，學生的熱情就更高了。
??? 又如，學習旋轉知識中，舉出生活中鐘、車的方向盤等，觀察它們在轉動過程中其形狀、大小、位置是否發生改變，從而導出旋轉的概念，化抽象為直觀，教師點出有的知識雖然抽象但有可直觀理解，消除學生對幾何知識的恐懼心理。
四、教材課后編排了大量的“讀一讀”環節，教師充分利用這一點延伸課堂教學，豐富學生的知識面
1 準備階段
1.1 前期調查
課題組成員曾利用課外時間和每周二下午的集備時間,圍繞學校的教研計劃,對廣大師生展開前期調查,我們的調查包括教師和學生,調查學生對老師上課全部用書本上的例題的看法,學生方面反饋回來的信息是：很乏味,上課不認真聽課也沒關系,反正課后不懂可以自己回家看書；教師方面反饋回來的信息是：很別扭,數學本身就枯燥,以書講書,效果不好.鑒于這種情況,課題組的老師對“如何處理初中數學教材中的例題”這個問題進行了認真研究,初步形成了較完整的認識.
1.2 制定研究方法
本課題研究主要采用行動研究法,輔之調查法、文獻法、比較研究法等研究方法.
1.3 收集例題階段
每周四下午均有開展教研活動,這給收集例題帶來了很大便利.從開課教師的說課、上課,其它老師的評課,還有我們自已平時的備課中,我們收集到了許許多多有關課堂教學的例題.我們對這些例題進行了整理、分析、歸類,對不同類型的例題研究出了不同的處理方法.
2 處理教材例題的原則
要處理好初中數學教材中的例題,達到自如駕馭教材,提高課堂效率的目的,就要遵循一定的原則：
2.1 目標性原則：每一節課的教學目標是課堂教學的出發點和歸宿,在課堂教學中起著導航的作用.教師對例題的“開發”必須圍繞教學目標進行,開發后的內容要體現目標性原則,不同的教學目標決定著不同的處理方法.
2.2 科學性和現實性原則：數學知識具有嚴格的邏輯性和高度的科學性, “開發”的例題必須具有科學性.教師選擇和創造的例題要與學生的生活實際相結合,對于某些陳舊的、不適合社會發展的內容要刪除,要把某些新進展的、具有時代性的內容編成例題,從而充實學生的學習生活,充實教材內容.
2.3 主體性原則：教師處理例題必須根據學生的具體情況,在內容的呈現形式上要適合學生的年齡特點,滿足學生的需要,不同地區、不同基礎的學生應該采用不同的處理方式,做到因材施教.處理例題時還要注意培養他們解題的技能技巧,提高他們的數學學習能力,使學生學會學習.
3 處理教材例題的方法
首先要尊重教材,畢竟專家在編寫教材時是經過從理論到實踐的多重思考與驗證的,教材中有許許多多現成的例題,它們能很好地實現教學目標,很好地促進學生的數學學習,對于這類例題,我們可以根據以往積累的成功經驗直接傳授給學生.當然,在牢牢把握課時教學目標的前提下,可對教材中的某些例題作出合理 “開發”. 處理后的例題是教師心中的教材,這教材不是原教材的復印,而是根據教學的目標任務、教材內容以及學生的實際情況、運用恰當的教學方法與教學策略進行優化整合的.只有這樣經過優化整合的教材,才能使它有效地內化為學生的知識、能力與觀念.例題的再次“開發”,往往能促使學生的學習由“重結論輕過程”轉向“過程與結論并重”的方向發展,從而使學生達到“舉一反三”效果.
綜觀在教學實踐中作出的探索,對于那些需要“加工”的例題,我們就如何“開發”例題方面總結出以下幾種方法：
3.1 不改變例題改變教學方法與教學策略
在平時的的教學中不但要積累成功的經驗,還要總結失敗的教訓,并以此為鑒,才能使自已的教育教學水平得到提高.有時即使不改變例題而改變教學方法與教學策略,也能使我們的課堂教學起到事半功倍的效果.
3.2 利用教材中的例題改動一些小知識點
這是教師在上課時常用的方法,成特別是在講解計算型的題目時,如：合并同類項時,舉例2a+3a,我們給改成5a+6a或7b+2b,繼而再改成-2a+3b,然后再總結合并同類項的規律,這對教學效果是沒有任何影響的,同時這樣隨意改動,自已也覺得得心應手,會給自已增加自信心,自然也就提高了課堂教學效果.
3.3 改變題目的背景
有時為了激發學生的學習興趣,活躍課堂氣氛,不要忽視了課堂情感的投入,在上課時可以對題目的背景進行適當更改.教師有意識地進行題目背景的更換,使知識溶入在不同的背景中,選擇的背景是學生熟悉的事物和情景,這會讓數學教學因貼近生活而變得更加可親.讓學生在數學的世界里開拓出可供他們思索、探討和發展的用武之地,使數學課程更具現實性.比如在上拋物線的圖象時,我們就可以用壽寧縣本地知名的木拱橋為背景,向當地學生介紹拋物線的特點,學生自然能倍感親切和自豪,學習興趣也就更加濃厚了.
3.4 拓展例題的知識范圍
有的例題僅僅針對一個知識點,解決一個問題,但在實際教學時有時可能會根據實際情況,需要“借題發揮”,對例題的知識范圍進行拓展.例如在學習“變化中的三角形”這節課時,分析了三角形的面積公式S＝ah÷2中,“高h為6不變,底a變化時,有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,點明變量S怎樣隨著自變量a的變化而變化.在學生掌握了這個例題之后及時滲透行程等常用公式中因變量怎樣隨著自變量的變化而變化的例子,教學效果非常好.
3.5 創造全新的例題
教材處理過程中不能只盯著課本中的題目,應選擇和創造一些與學生的生活實際相結合的例題,增加一些書本上沒有但是今后又要用到的知識,以促進學生今后的發展.如在上因式分解時可增加“十字相乘法”等的相關例題,二次函數補充“交點式”等等.
4 “處理例題”的實踐階段
要開展好“處理例題”這項活動,就要關注好以下幾個階段：
4.1 例題的選取階段
題目涉及的知識要點應覆蓋本節課的內容,有一定的代表性；所選例題要能體現“通法通用”, 遵循思維的認知規律,從易到難,循序漸進.所以所選例題不要一心追求偏、怪、難題,也不要貪多,要重視一題多解、一題多變,注重培養學生解題的能力.
4.2 指導學生分析階段
教師引導學生研讀例題,啟發學生積極思考例題中的有關問題,包括看懂例題、理解概念、分析問題、得出解題思路、完善解題步驟.
4.3 教師的講解階段
數學例題的講解分計算題、作圖題、證明題等,對不同類型的題目一般采用不同的方法,即使是同一種類型的題目也可以用多種思考的方法,下面就以證明題為例：首先是直接證明,直接證明有綜合法和分析法兩種：綜合法是一種由已知走向求證,即從數學題的已知條件出發,經過逐步的邏輯推理,最后達到待證結論或需求的問題的證明方法.綜合法的特點是從“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”,實際上是尋找它的必要條件.分析法與綜合法剛好相反,這是由求證走向已知,即從數學題的待證結論或需求出發,一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件.分析法的特點是：從“未知”看“需知”,執果索因,逐步靠攏“已知”.其逐步推理,實際上是要尋找它的充分條件.其次是間接證明,間接證明有兩種思路：反證法和舉反例的方法.
4.4 提高總結階段
例題解答之后,要引導學生反思解題過程,總結解題的經驗教訓,對一些常用的教學方法,解題策略予以歸納概括,提示學生今后注意運用.對于學生易錯又不容易改正的習題要引導學生做好用好錯題集.錯題集的格式：
5 實施“處理教材例題”策略的效果
近幾年來我校的數學成績在本地總是遙遙領先,這與開展“如何處理初中數學教材中的例題”活動有很大關系.在數學課堂教學中有時對例題進行適當改動,或調整對例題的授課方式方法,有助于提高學生的學習積極性,學生的學習興趣提高了很多,大部分同學感覺上數學課比以前有意思多了,他們課堂上積極性提高了,成績也就自然提高了.當然,也有少數一些基礎較差的同學在學習中表現不夠突出,他們雖然改變了以往“坐不住”的現象,但成績提高不明顯,有些甚至有退步的現象,這是值得我們注意的地方.
6 實施“處理教材例題”策略后的反思
目前教師已經有了主動駕馭教材的熱情和意識,一般會對例題作出相應的處理,但是還要注意：要真正用好教材,用好例題,在教學中要時刻樹立通過自己的實踐來驗證完善教材的意識,讓教材為我所用.經過這一段時間的實踐,我深深體會到有以下幾點要引起關注：
(1)在教材處理過程中會不會因為不斷地回想起以往的教學經驗,而讓“習慣做法”影響了我們對教材的理解？如果課后總是覺得知識講得不到位,然后在以后的教學中費力地去補充、拓展、加深,那是因為我們更著眼于對知識本身的處理,而沒有在如何調動學生的積極情感方面下功夫？應該把教學的“支點”放在如何使學生樂學、善學,使之由客體變為主體,使之積極的,目的明確地、主動熱情地參與到教學活動中來.
(2)學生要成長,教師也要成長. 教師大多是在傳統教學模式下成長起來的.新課程帶給教師的是全新的教育理念,為了不斷適應新課改的需要,教師間的交流、合作就顯得尤為重要,教師要多參加各項繼續教育,要不斷鉆研,給自已充電,才能更有效地去指導學生的學習.可以要把教學中成功(失敗)的經驗、教學 心得、教學反思、論文、等及時地積累下來,作為自已成長的記錄,讓自已不斷成長.
(3)這種處理教材的策略雖然有很多優勢,但它還不很完善,也有缺陷,還有些需要改進的地方, 面對新課程,要積極探索,不斷挖掘教材知識背后所蘊涵的思維方式、方法,展示出知識產生、形成、創新和發展的過程,創造性地運用教材.努力在知識與技能,過程與方法,情感態度與價值觀三方面平衡,在摸索中前進,在反思中提高,更好地把握教材、處理教材.
一、加強探究性教學
探究性教學近年來非常流行，主要原因是它能極大地調動學生的積極性，讓學生自己閱讀、去觀察、去理解，然后總結出規律，得出結論。再輔以教師必要的講解、歸納總結，學生易于理解掌握。因此，在教法的選擇上，教師要從教學內容的實際和學生的學情出發，內容適宜學生探究的，就讓學生探究。
二、對教學內容作適當的調整和補充
教材選擇的內容及呈現方式，既要符合大多數人的認知規律，又要照顧知識體系的完整性。由于學生、教師、教學目標等方面都存在差異，同一內容對于不同的教學對象會有不同的價值效果，因此，對教學內容進行適當的取舍調整便在情理之中。既應認真研究教材的教學價值，不輕易舍棄，又不迷信教科書，大膽創新。
在教學有理數的加法和乘法法則時，教材上是采用數軸引入運動情景的，我認為這樣有所不妥，其—，運動時只規定了左右方向，未規定起始點（即原點）；其二，數軸上左右運動使學生暈頭轉向，尤其在乘法中，對時間規定了“現在前”為負，更讓學生一頭霧水。所以我把這部分內容作了調整：教學加法法則時，我用學生們都熟知的足球賽的凈勝球數引入，讓學生思考某球隊在一場比賽中的勝負會有哪些不同情形，這樣對下面的討論內容有一個整體韻把握，而且掙勝球數遠比教材中在數軸上左右運動更符合實際，更容易被學生理解接受。教學乘法法則時，我作了同樣類似的調整。
另外，在進行有理數的運算教學時，用到了去括號法則，但教材中只輕描淡寫地一帶而過。我認為去括號法則對于有理數的運算乃至求解一元二次方程等，都具有非常重要的作用，不容忽視，括號不會去或去不對，直接影響到學生對知識的掌握。所以在教學時，我給學生補充了去括號法則，收到了良好的效果。
三、對分散的知識進行整合
新教材打破了傳統的代數、幾何的分科，代之以“數與代數”、‘空間與圖形”、“統計與概率”三大板塊，采用螺旋上升的方式編排，由簡單到復雜，由低層次的展開到高層次的綜合，不斷深化，符合學生的認知規律，收到了很好的效果。但有些知識在結構上表現為松散、跳躍，給教和學帶來了困難。
《一元—次方程》一章中列方程是重點，為了突出顯示方程應用的重要性，教材把對實際問題的討論作為貫穿全章前后的一條主線，把解決問題分散于全章。對一元一次方程解法的討論也始終是結合解決實際問題進行的，即先列方程，再去學習如何解方程。這樣不僅把一元一次方程的解法分散了，而且也把實際的各類問題情境分散了，還給人一種“不會走，先學跑”的感覺。我在教學這—章時，打破了教材順序，按方程的定義——解方程——列方程的順序進行。即先學習一元一次方程的解決，然后再去應用方程的知識解決實際問題。這樣層次分明，循序漸進，符合學生的認知規律。同時，本章對實際問題的討論分散在前三節中，而只在最后一節中安排了“再探實際問題與一元一次方程”的內容，選擇了三個問題（“銷售中的盈虧”、“用哪種燈省錢”、“球賽積分表問題”），這種“分散”內容的安排，學生不容易找出問題中的基本數量關系，遇到實際問題時思路不清晰。所以我在方程的應用這部分內容教學時，按實際問題情境分類，如行程問題、工程問題、銷售中的盈虧問題、利率問題、方案設計問題等，引導學生探索每類問題的共性，探究出其內在規律，構建模型。當學生遇到不同實際問題時，腦海里馬上顯現出此類問題的通性解法，解決起來得心應手。在學習完了一元一次方程解應用題之后，我又順便舉了一個分式方程的例子，讓學生認識到關于方程的應用知識遠不止這些，既增強了進一步探索的欲望，又對方程的應用有一個比較系統的了解。
【中圖分類號】 G633.6
【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2017）
03―0109―01
義務教育人教版數學新教材和舊版教材相比發生了翻天覆地的變化，新教材對教師的教育思想、教育理念、教學方法等提出了更高的要求。經過幾年的教學實踐和探索，筆者在使用新教材的過程中，有了一定的收獲和突破。下面，筆者談談自己的做法。
一、學習章前引言，使數學教學系統化
引言是全章的引領、序曲，起到了提綱挈領的作用，能使學生了解本章概貌，了解本章的思想方法和學習方法，使數學教學系統化。但在教學實踐中，極少有教師引導學生學習章前引言。其實章前引言在每一章的學習中具有承上啟下、統率全局的重要作用，因此教學中，教師要引導學生學好章前引言，對本章知識要整體把握，讓學生明白這一章要學什么，學會這些知識能解決什么實際問題。教師要做好教學的組織和學生的引導工作，充分挖掘和利用好章前引言。
例如，教學“平面直角坐標系”時，筆者指導學生認真閱讀章前引言，并向學生提出：“這章將要學習什么內容？”“為什么要學習這章知識？”等問題，引導學生從宏觀上感知學習本章教材知識的目的，為學生學習新的一章開好頭，這也能使學生對本章內容有全面把握，有利于知識的系統化。
二、開展課題研究，使數學教學實踐化
開展課題學習是實踐與綜合應用活動的主要呈現形式，也是新課程標準的一大特色。課題學習是強調以“課題研究”為學習方式，將研究性學習的方法運用在數學教學中，讓學生體驗研究性W習，使教學過程變成一種“微科研”過程。
例如，七年級上冊學習了“空間圖形的基本認識”后，教材設置了“制作長方體包裝紙盒”課題；七年級和八年級下冊學習了“數據處理和分析”后，設置了“從數據談節水”和“中學生體質健康調查表”等課題。為了培養學生關注社會生活及參與社會實踐的興趣，筆者在學生學習了“相似三角形”、“解直角三角形”、“投影”的知識后，設計了實踐課《測量旗桿的高度》，把學生每三人分成一個小組，要求用不同的方法測量旗桿的高度。學生熱情高漲，積極參與。全班出現了利用影子、利用標桿構造相似、借助等腰三角形、利用鏡子反射、利用照相機、利用三角函數等6種不同的測量方法。數據的測量、數據的處理、調查報告的撰寫，都是學生自己完成的。他們通過實踐，體會到了學習數學的樂趣，激發了學習興趣，提高了綜合實踐能力。
三、創設問題情境，使數學教學生活化
德國一位學者有過一個比喻：將15克鹽放在你的面前，你難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就在享用佳肴時，將15克鹽全部吸收了。情境之于知識，猶如湯之于鹽。這充分說明恰當的問題情境，能夠很好地促使學生將抽象的新知識融入已有的知識體系中。
例如，在教學“直線與圓的位置關系”一課時，首先利用直線和圓畫了兩幅簡筆畫――自行車和笑臉，然后讓學生觀察簡筆畫自行車和笑臉的構成，學生很容易發現兩幅圖畫都是由直線和圓構成的。接著提問這些直線和圓有什么樣的位置關系，以此來引出課題。隨后用多媒體播放海上日出的視頻，讓學生感受數學知識與生活現象的密切聯系。課外要求學生用硬幣代替太陽，畫一條直線代替海平面，模擬演示在太陽升起的過程中，直線與圓有哪幾種不同的位置關系。這樣的探究活動都是學生在觀察操作和交流中完成的，貼近生活，容易完成。直觀形象，不僅使學生在感悟體驗中學到了新知，還激發了學生學習的興趣。
四、 重視閱讀思考，使教學過程趣味化
新人教版初中數學教材“閱讀思考”的內容豐富多彩，有許多富有趣味的數學常識、數學發展歷史、數學小故事等。教學中，教師要鼓勵學生閱讀這些材料，并積極思考材料中蘊涵的數學知識。
新教材充分體現了新課程改革的意圖,改變了以往課程內容偏難、繁瑣、陳舊的傾向,并打破了單一的課程結構,構建了體現綜合性、均衡性、選擇性的新課程體系。新教材改變了以往數學教材只注重單純數學知識、遠離生活實際的體系,充分體現了數學知識就在實際生活中,就在我們身邊的理念。
新教材編寫中,盡可能地把數學知識引入到社會生活場景中,把生活中的計算編到例題和習題里,體現了生活中有數學也需要數學。帶領學生感受到生活中到處都有數學,現代化的生活更是離不開數學,數學就在身邊,我們時刻都在和數學打交道,數學已是我們最親密的朋友。需要就足以引起學習的愿望,何況教材中許多有趣且富有挑戰性的問題,也激發了學生好勝心和興趣,縮小了學生和數學理論的距離,數學不再是枯燥無味的了。
在新教材實施過程中,也遇到了新教材和舊體制的不協調問題。如:這一屆初一年級的學生,在上小學時沒有實施新教材,是按著原有教材上的課,且正好趕上全社會都在呼吁給中、小學生減負,其綜合素質達不到新教材對學生的要求。學生不僅不善于積極思考,也缺少主動思考的習慣,甚至連這個能力也不具有。再如:好多日常生活中的名詞和概念,學生都不知道就更不懂,象“時差”、“成本價”、“利率”、“利息”、“銷售量”,表現出理解能力差。教學中為了向學生解釋清楚這些名詞和概念,占用了較多的教學時間,直接導致練習時間的減少,進而導致教學進度的推遲。
二、新教材使課堂活躍了起來
新教材章節的安排呈專題的形式,并增加了許多活動課內容,十分有利于激發學生的學習熱情,也有利于開發學生的創造思維能力。新教材能使學生在學習數學知識時,不單純地依賴于模仿和記憶,而是著重培養學生動手實踐、自主探索、合作交流等創造能力。
在新教材的教學過程中,學生可通過“做一做”、“想一想”、“議一議”等欄目,鍛煉自己動手實踐、自主探索、合作交流等能力。實際教學過程中,多數學生很喜歡“做一做”、“想一想”、“議一議”等欄目。課堂上學生思維變得活躍,討論交流時敢于發表觀點,甚至爭論激烈,不僅議明了當前的問題,思維還經常由一個知識點發散到多個知識點,知識間的相互關聯也清晰明了。數學課堂不再是過去的教師“一言堂”,教師在教學活動中引導、輔助學生的活動,與學生合作探討、研究問題,圍繞學生組織教學,使學生真正成為課堂上的主人。
通過“做一做”、“想一想”、“議一議”等學習活動,可很好地激發學生的興趣挖掘學生的潛能,促使他們在自主探索與合作交流過程中理解、掌握知識,并且學會學習。數學技能和思維方法得到鍛煉,意志力得到培養、自信心不斷發展、科學精神逐漸形成。
當然,在實踐過程中,也遇到了一些困難。首先一個障礙是,在做這些活動時,性格開朗、表達能力強的學生,會主動發言,鍛煉的機會多;而性格文靜、不善講話的學生(多為女生),得到鍛煉的機會就少(教學時間有限)。為了克服這個障礙,我們在教學中,嘗試著將學生分成幾個小組,所有的活動在小組中進行,并要求組內同學互相幫助,這么做確實使更多的學生得到鍛煉和幫助。
新教材在活動課中學生討論時會產生很多“意外”問題,教師在組織活動時既要考慮讓學生盡量充分討論,又要考慮教學進度和課時任務,教學中不免有些“束手束腳”。按照目前的課時安排,教學時間“捉襟見肘”,經常落后于應該達到的教學進度。最后還有一個問題,新教材把關于統計的相關知識放到各冊中分別獨立教學,雖然內容是由淺入深,但給人的感覺是相同的問題重復出現,而且每學期時間相隔太久,上學期學過的知識早就遺忘,學生和老師都不能很好地把握,學生難學,老師難教。
三、新教材的例題與習題進行了優化配備
新教材的專題形式的章節安排,既有利于創設學習環境,又有利于從學生熟悉或感興趣的情境引入問題、開展數學探究。尤其是新教材的例題與習題配備,有百分之九十都是解決實際問題的,學生充分感到數學來自與生活實踐的方方面面,實際生活離不開數學。為了解決問題,同學們會積極參與活動,想辦法獲取一些輔助信息,積極與同學們合作。在教學實踐中,我們遇到了教學難度問題,按照新課程標準,每學年的教學難度不是很明確,不得已教師只能以教材中的例題和課后習題的程度,來指導自己的教學。
這本也無可厚非,問題是新教材的習題配備,并沒有注意按難易程度排列,有些練習、習題中的問題,比章節復習題中的問題還難。教學中如不做大量的鋪墊,學生很難理解。可是,章節復習題中的某些問題,卻很簡單。使得教師很難把握教材、教學的難度,拿不定中等程度的學生,是以習題難度為準,還是以復習題的難度為準,教學中容易顧此失彼。另外,習題中很少配備與例題類似的問題,使綜合素質較差學生,得不到及時、充分的鞏固練習,致使舉一反三的沒做到,學會的也忘了。
一、根據學生的認知水平，對教材順序進行適當的調整
根據不同地域、不同學校環境及不同學生的認知水平等情況，可對教材內容的順序進行適當的調整，有利于提高自己的教學效果。如七年級（上）“3.2―3.3解一元一次方程”這兩節，是探究“一元一次方程的解法”。教材給出的首先是實際問題，然后列方程，利用等式的性質歸納出解方程的方法、步驟。由于我校地處貧困邊遠山區，學生列方程存在很大的困難，正確列方程會占據很多時間，教材對問題的解答也不很規范，無答語且步驟重復。所以我在教學時將這兩節內容進行調整，先就一元一次方程的解題步驟，出示幾道一元一次方程題（有梯度），要求學生利用等式性質解，然后歸納出方程的解法和步驟，最后解決教材提出的實際問題，這樣所花時間會減少且解題規范。這樣靈活地調整更符合學生的學習實際，也符合學生的認識規律，有利于學生對知識的探究和掌握，增強學生的成就感和提高學生的學習興趣。
二、對教材內容進行適當的調整
1.對教材內容進行適當的補充
我們在使用教材的過程中，根據本校實際需要對教材內容進行適當的補充，以便更加符合學生的需求。如學習七年級（上）“1.4有理數的乘除法”時，可補充“水池中水位升降”或“汽車向東（或向西）行駛”的例子，以幫助學生理解有理數乘法法則。又如學習“勾股定理”給學生補充我國古代數學家趙爽的故事和趙爽弦圖以及關于勾股定理的證明，二項式展開式介紹“楊輝三角”等。這樣可以豐富課堂內容，提高學生的學習興趣，激發學生的愛國熱情，并體會數學在人類社會發展中的重要作用。
2.對教材中的例題進行適當的修改
在使用教材的過程中，教師可以根據學生實際及認知情況的需要對教材內容進行適當的刪改，以便更加符合學生的實際。如七年級（上）第144頁的“數學活動”中的“活動1：制作火車車箱的模型”。教材安排這個活動內容對我們貧困山區農村學校的學生來說，有的從來沒有見過火車，這樣的活動學生操作起來比較困難，而且教材在活動后面的問題“你見過其他形狀的火車車箱嗎？類似地制作出它們的模型？”學生會更加犯難。由此，我對這個活動的內容進行修改，改用當地學生常見的又符合當地學生實際的“汽車車箱”，這樣學生操作起來比較順利，容易體會到成功的喜悅，激起學生學習的興趣。
三、對教材習題的教學要靈活多變
教材中的習題在解題思路上具有典型性和代表性，在知識掌握、運用和由知識轉化為能力的過程中具有示范性和啟發性。使知識相互聯系，提高學生對解法的理解和提高解題的技巧。如已知：如圖1，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形。求證：AN=BM
證明：ACM和CBN是等邊三角形
MC=AC，CN=CB，∠ACN=∠MCB
ACN≌MCB
AN=BM
變式1：在上題中，連接DE，求證：（1）DCE是等邊三角形（2）DE//AB
分析：（1）可證ADC≌MEC，則DC=EC，因為∠DCE=60°，所以DCE是等邊三角形。
（2）由（1）易證∠EDC=∠ACM=60°，所以DE//AB
變式2：上題中，連接CF，求證：CF平分∠AFB
分析：過點C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，可得到CG=CH，
所以CF平分∠AFB
變式3：如圖2，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形，P是AN的中點，Q是BM的中點，求證：CPQ是等邊三角形
證明：ACN≌MCB
AN=BM，∠ABM=∠ANC
又P、Q分別是AN、BM的中點
BCQ≌NCP
CQ=CP，∠BCQ=∠NCP
∠PCQ=∠NCP+∠NCQ=∠BCQ+∠NCQ=∠NCB=60°
CPQ是等邊三角形
數學習題目的在于全面系統地鞏固基礎知識，進一步提高學生的分析能力和解題能力。
本例利用“泵站問題”進行遷移變式，逐步探究了幾種常見的圖形中兩條線段之和最短問題，這樣有利于學生解題思想方法的形成、鞏固，達到了透徹理解該基本問題的目的。
靈活使用教材，應該是一項長期艱巨的工作。同樣的教材會因為學生具體情況不同而出現不同的教學效果，所以我們經常說要樹立“用教材教”的新觀念，而不是機械地“教教材”，教材的編寫也有意識地給老師留下研究和拓展的空間。作為教師，靈活地使用教材，變“死教”教材為“活用”教材，使課堂教學生動而有效。只有在教學中不斷地學習教育理論，更新教育觀念，大膽探索，積極思考，不斷積累、總結經驗，才能在教學實踐中結合學生實際，更有效地挖掘教材內涵，輕松自如地駕馭教材，提高學生探究學習的能力，實現新課程目標。