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第1篇

關鍵詞： 教材資源 數學思想 數學思維 數學方法

一、課題研究的現實背景和意義

日本著名數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一書中曾指出：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。”這是數學教育家結合學習和數學研究的切身體驗對教師提出的肺腑之言。然而長期以來，可能由于受應試教育和傳統教學思想的影響，一些教師只關注學生對知識的理解與掌握，只重視他們解題能力的提高，而忽視從這些知識的掌握和運用中歸納、提取數學思想的能力，從而使學生感覺到數學越來越難學，甚至會談“數”色變，認為數學就是一堆冷冰冰的數字和奇特符號的組合，數學學習留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。事實上，這是學生受教師的不良影響，歪曲了對數學本質的理解。

首先，從學科本身的特點來看，數學不僅僅是傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生的數學思想方法。數學思想方法一般有兩種：一是數學思維方法，這是數學方法中較高層次的方法，是數學中思考問題的方法，它必須一開始就逐步滲透。二是數學解題方法，這是數學解題的通法，相對于特殊的解題技巧而言，它今后有系統學習。數學學習的目的之一在于訓練學生的數學思維，培養學生良好的學習數學的品質，以及科學的世界觀和方法論，使學生能面對客觀現實，能用數學的方法進行分析，從而使問題得以解決。

其次，從教學現狀看，數學思想方法的教學不受重視。相當一部分教師在教學目標中只注重知識與技能的達標，根本沒有把數學思想方法納入目標體系，即使納入也只是在課堂上提提名而已。

再次，從數學教材體系看，整個數學教材中貫穿兩條主線，一是寫進教材的基礎的數學知識，它是明線，一貫很受重視。另一條是數學能力培養和數學思想方法的滲透，這是條暗線，對學生的成長十分重要，但往往被忽視。現在教學中存在重視知識達標評價，輕視數學思想形成的評價；重視學生眼前的分數利益，輕視學生的長遠素質發展等問題。一些教師對數學思想方法的理解不透徹，造成數學思想方法的滲透在課堂教學中短時期難以見成效。因此，在教學中數學思想方法的教學難以規范有序地展開，教學實踐中僅僅關注雙基的落實，滿足學生考試分數的提高，忽略對學生數學思維品質的關注，導致學生思維發展的差異，且后續發展的差異越來越大，這種差異將直接影響學生今后數學學習的興趣和解決其他問題能力的發展。教材里各個章節里隱含很多數學思想方法，教師作為組織者、引導合作者，必須重視數學思想方法在日常教學中的有機滲透，只有將無形的數學思想方法貫穿到有形的數學知識之中，才有利于從整體上把握數學教學目的，將數學知識形成的過程、解決問題的過程展示給學生，將思維的方式方法展現給學生。

基于上述分析，我們抓住數學學科的本質與靈魂，以數學的精神、思想、方法為突破口，提出“依托新教材培養學生數學思想的實踐研究”這一課題，通過這一課題的研究挖掘數學教材中的有機資源，促進學生對數學知識和技能的深入理解，提高他們對數學思想的領悟能力，真正提高他們的數學素養，實現數學學習的可持續發展。

二、課題研究的前提思考

（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年級義務教育課程標準實驗教科書。

（二）數學思想是指人類對數學對象及其研究的本質和規律性認識。它是在數學活動中解決問題的觀點和根本想法，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，并在認識活動中被反復運用，帶有普遍指導意義，是建立數學和運用數學工具解決問題的指導思想。數學界對數學思想方法還有一些觀點上的分歧，包含范圍比較廣泛，但并不影響本課題的研究。本課題的數學思想主要定位于通過挖掘教材中的資源滲透符號化、函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想與數學模型思想這五類常用的數學思想。

（三）數學思想和數學方法之間的關系。數學方法是指人們從事數學活動的程序、途徑，是實施數學思想的技術手段，也是數學思想的具體化反映。所以說，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的，數學思想比數學方法更深刻，更抽象地反映數學對象間的內在聯系。由于數學是逐層抽象的，數學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性等特點，層次越低，操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數法等。

數學思想和數學方法有區別也有聯系，首先，兩者都以一定的數學知識為基礎。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現出互為表里的關系。數學方法受到數學思想的指引，是數學思想在數學活動中的反映和體現，表現形式外顯；數學思想是相應數學方法的結晶和升華，表現形式內隱。數學思想往往帶有理論性的特征，而數學方法具有實踐性的傾向。一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。由于人們在數學學習與研究活動中，很難把思想和方法嚴格區分開，因此常統稱為數學思想方法。

（四）數學思想的主要特征。

1.導向性。數學思想的導向性是指研究數學和解決數學問題的指導思想，是數學思維的策略。數學思想的導向性表現在它既是數學產生和發展的根源，又是建立數學體系的基礎，還是解決具體問題“向導”。正如日本學者米山國藏所說：“數學的精神、思想是創造數學著作，發現新的東西，使數學得以不斷地向前發展的根源。”比如極限思想既是微積分理論的基礎，又是解決許多數學問題的重要方法。在解決具體問題中，數學思想往往起主導作用，尤其是它對產生一個好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供方向。當然，數學思想在指示解題的方向時，還為數學方法的具體實施留有應變的余地。

2.統攝性。數學思想對于具體的數學知識和方法具有巨大的凝聚力，它是聯系知識的紐帶，具有舉綱張目的作用。數學思想的統攝性主要表現在兩個方面：一是優化數學知識結構。雖然數學知識數量的不同是影響學生數學能力的一個方面，但是，即使有同樣數量的知識點的學生，由于知識點之間聯系結構的差異，也會造成數學能力發展不平衡。二是發展數學認知結構。數學思想在知識轉化為能力的過程中起重要的中介作用。如果說能力是知識的結晶的話，那么思想往往起著結晶核的作用。學生在學習教材中的定義、定理、公式等外顯知識時，若未能了解這些知識所蘊含的數學思想，則很難真正理解知識，因而就會出現數學知識學了不少，但由于缺乏數學思想的統領，知識沒有活性，能力卻得不到發展的現象。另一方面，數學思想將分散的知識吸附起來，組成一個整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。

3.概括性。人們的理性認識之所以高于感性認識，是因為理性認識能反映、揭示事物的普遍的必然的本質屬性和聯系，這就是理性認識的一大特點。數學思想在這方面具有突出的表現，即數學思想具有較高的概括性。概括性程度的不同決定數學思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；對數學對象本質屬性揭示得越深刻，對問題的理解就愈透徹。數學思想的概括性還表現在客觀存在，能反映數學對象之間的聯系和內部規律上。

4.遷移性。高度的概括性導致數學思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現在數學內部：數學思想是數學知識的精髓，這是數學知識遷移的基礎和根源，是溝通數學各部分、各分支間聯系的橋梁和紐帶，是構建數學理論的基石。這種遷移性表現在數學外部：能溝通數學與其他科學、與社會的聯系，產生更廣泛的遷移。

三、依托新教材培養學生數學思想的實踐與研究

數學思想的培養、發展、形成是以數學知識為載體，通過問題解決體現的，所以數學思想方法的教學要以學生接受知識的全過程加以滲透，以便逐漸形成。

（一）數學思想形成的過程

從認識論的角度看，對客觀事物的認識，必須經歷“具體―抽象―具體”，即從感性的具體到抽象的規定，再從抽象的規定上升到思維中具體的過程。

對數學的認識所形成的“感性的具體”是指掌握某部分數學內容，如具體的概念、定理、公式、法則等。“抽象的規定”是指掌握某些數學思想或數學方法。認識過程達到的“思維中的具體”則是指數學認知結構的形成。

從上圖可以看出數學思想形成必須經歷掌握數學基礎知識、明確其中的數學思想和數學方法、建立良好的數學認知結構這一過程。數學思想的形成主要來自于以下渠道：

1.在知識發生中挖掘數學思想方法。

在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程和例題求解的過程，數學思想和數學方法就是在這個過程中形成和發展的。

（1）在概念、定理的講述中呈現數學思想方法。

概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據數學思想方法的指導。因而概念教學應當完整地體現這一過程，引導學生揭示隱藏于概念之中的思維內核。如“有理數”一章就是最好的例證，學生初次接觸負數、相反數、絕對值等抽象概念時，往往理解上有困難，如果能有機地滲透數形結合思想，通過數軸幫助理解就可以降低理解這些概念的難度。

（2）在規律、法則的推導運用中引進數學思想方法。

在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每個結論的因果關系，最后引導學生歸納得出結論。如，學生在學習一元一次方程的解法時，如果只是讓學生注意解一元一次方程的步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項等，而未掌握解一元一次方程的思想――求出一個與原方程同解的且解是明顯的方程，即ax=b（a≠0），那么學生對這一思想的精髓就不會真正領悟，對解方程的認識只能是“知其然，而不知其所以然”。在教學中，在強調解決步驟的同時應著重強調所反映出的“化歸”思想方法，使學生真正體會解題步驟是“化歸”思想方法指導下的具體外顯，這樣學生才會舉一反三，建立數學模型，加強方法遷移。

2.在思維活動中滲透數學思想方法。

數學課堂教學必須充分暴露思維過程，讓學生參與教學實踐活動，揭示其中隱含的數學思想，才能有效地發展學生的數學思想，提高學生的數學素質。例如八下“多邊形”的教學可以借三角形、四邊形、五邊形等圖形的分析探求，讓學生大膽猜想，指導發現方法，滲透類比、歸納、猜想思想，在驗證所得結論中結合多邊形可化歸三角形處理從而得以證明，從中滲透化歸思想和分類思想。

3.在問題解決過程中揭示數學思想方法。

數學問題的探索與解決過程，實質是命題不斷變化和數學思想方法反復運用的過程，數學思想方法是數學問題的解決的觀念性成果，它存在于數學問題解決的過程之中。數學問題的探索與解決，都遵循數學思想方法的指導。數學問題的推廣、引申和解決過程既是新的問題發現和解決的過程，又是數學思想方法深化的過程。一些教師往往有這樣的困惑：題目講得不少，但是學生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微變化就不知所措，不能形成較強的解決問題的能力，更談不上創新能力的形成。究其原因就是教師在問題解決中就題論題，沒有抓住問題的本質，沒有突出數學思想方法，“只有劍招，沒有劍魂”。

在解題教學中，教師首先要善于通過選擇典型例題進行解題示范，通過范例展現自己是如何“想”數學，如何“做”數學的。進一步說，就是自己是怎樣審清題意的，是怎樣運用探索法誘發靈感、產生“好念頭”的，是怎樣對問題進行轉化和變更的，是怎樣通過解題進行回顧、概括形成方法和模式的，是怎樣運用合情推理發現結論的，等等。其次，在解題教學中，要引導學生善于反思，達到舉一反三的效果。

4.在知識整理歸納中概括數學思想方法。

數學教材是采用蘊含披露的方式將數學思想方法融于數學知識體系中，適時對數學思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數學思想方法要納入教學計劃，應有目的、有步驟地引導學生參與數學思想的概括過程，尤其在章節結束或單元復習中對知識復習的同時，將統攝知識的數學思想方法概括出來，可以增強學生對數學思想方法的運用意識，也使其對運用數學思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學知識，形成獨立分析、解決問題的能力。例如，在二元一次方程組的解法中有這樣的敘述：這種解法的思路是，通過“代入”、“加減”，達到消元（即消去一個未知數）的目的，從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程。在教學實踐中給足時間，讓學生自讀，結合課本題目，專項討論“消元”怎樣進行，不僅突出重點，突破難點，更重要的是強化內容所反映出來的數學思想方法。

為此，我們不難發現，由于同一數學知識可表現出不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的知識點里，因此通過課堂小結、單元總結或總復習，甚至在某個概念、定理公式、問題教學都可以在縱橫兩方面歸納概括出數學思想方法。

（二）數學思想在教材中的體現及實踐操作

大量的、較高層次的思想方法蘊含于表層知識之中，處于潛形態，教師應該將深層知識揭示出來，將這些深層知識由潛形態轉變為顯形態，由對數學思想方法的朦朧感受轉變為明晰的理解和掌握。

1.符號化、方程與函數思想。

符號化思想、方程思想和函數思想本來是三個不同的思想，它們各有側重點，符號化偏重于形式化、結構化。方程思想相對于算術法，偏重于關注問題中的等量關系、構造方程，由解方程而達到問題解決。函數思想則偏重于事物的運動變化，尋求變量之間的對應關系。但是，一方面由于數學知識量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學生在后繼學習中完成，另一方面這三種思想存在有機聯系，符號化是方程思想實現的基礎，而方程又可以看做是函數的特殊情況，方程方法是研究函數的有力工具。

（1）符號化思想。符號既可以表示數，又可以表示量；既可以表示未知數，又可以表示已知數；既可以表示常量，又可以表示變量，還可以用符號表示運算、表示關系、表示語句、表示圖形。如七年級上冊4.1《用字母表示數》用節前語中的兒歌青蛙跳水動畫場面，寓教于樂地引出用字母表示數的思想，認識到字母表示數具有問題的一般性，就便于問題的研究和解決，由此就可產生從算術到代數的認識飛躍。學生領會用字母表示數的思想就可順利地進行以下內容的教學：①用字母表示問題（代數式模仿、列代數式）；②用字母表示規律（運算定理、計算公式、認識數式通性的思想）；③用字母表示數解題（適應字母式問題能力）。

（2）方程思想。在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想。

如（“7.3線段的長短比較”例3）如圖1，點P是線段AB的中點，點C，D把線段AB三等分，已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。在講解完書上的解法之后，引導學生分析：能否用方程的思想解決呢？這一問不僅引起學生的好奇，而且激活學生的思維，多種解決問題方法的產生也就不足為奇了。

如果設∠AOC的度數為x度，那么∠COB的度數就等于（x+30）度，再根據∠AOC與∠COB是互為鄰補角，就得到下面的方程。

x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.

教材中能用方程思想解決的問題有很多，如“7.6余角和補角”一節中的例2：已知一個角的補角是這個角的余角的4倍，求這個角的度數。本章復習題的第5、10、11、15題等。在教學中，適時適度地引導學生用方程的思想思考問題，不僅有利于學生建立模型思想，而且能提高學生學習興趣，增強數學應用意識。

③函數思想。世界上一切事物都處在運動、變化和發展的過程中，我們在教學中必須重視函數思想方法的教學。函數思想是一種考慮對應、考慮運動變化、相依關系，以一種狀態確定地刻畫另一種狀態，由研究狀態過渡到研究變化過程的思想方法。函數思想的本質在于建立和研究變量之間的對應關系。要有意識、有計劃、有目的地培養函數思想方法，讓學生逐漸形成以運動的觀點觀察事物，并借助函數關系思考解決問題。

如八（上）一次函數的簡單應用例2：小聰和小慧去某風景區游覽，約好在“飛瀑”見面，上午7：00小聰乘電動汽車從“古剎”出發，沿景區公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發，騎電動自行車沿景區公路去“飛瀑”，車速為26km/h。

（1）當小聰追上小慧時，他們是否已經過了“草甸”？

（2）當小聰到達“飛瀑”時，小慧離“飛瀑”還有多少km？

第一個問題對于大部分學生來說，還是有一定的“恐懼感”。我們不妨讓每個同學都先獨立思考，至少想到一種方法，然后小組交流。通過合作學習后展示討論結果時，有以下幾種思考方法。

法一：把這個問題看成是純粹的應用題，則是一個同時不同地出發的追及問題，只要算出什么時候什么地方追上就能判斷小聰追上小慧時，他們是否已經過了“草甸”；有兩種不同解題思路，一種是用算術的方法，另一種是用列方程解決。

法二：因為小聰和小慧所走的路程與時間是呈正比例關系的兩個變量，所以可用函數知識解決這個問題，追上的時間與地點就是兩個函數圖像的交點，而這里兩個變量的設法也有多種，真可謂思維異彩紛呈。

對于第二個問題，我們完全拋給學生，讓他們合作討論完成。

第一小組：生1：用算術的方法求解；

生3和生4都是用方程的方法。

第二小組：生5、生6都是用方程的方法。

生8不會解答，但在其他同學的幫助下懂得了如何列方程進行解答。

該生介紹這種方法后，得到了大家的一致認同，最后教師作出延伸，從上述幾種方法的解答中我們發現：兩條直線的交點坐標（1，36），就是二元一次方程組s=36ts=26t+10的解。可見，用圖像法也能求方程組的解（近似解）。

2.數形結合思想。

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學（恩格斯語）。數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展歷史長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟一條重要的途徑。因此，數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。為了培養學生良好的思維習慣，在七年級數學中就可以有意識地滲透數形結合思想。

如在《有理數》一章中，數軸就是把數和形結合在一起的內容。這樣在討論相反數、絕對值、倒數的幾何意義時，數和形結合得合理將為學習降低難度。

（1）利用圖像，創設學習負數情境。七年級教材通過溫度計引出數軸概念，能夠具體、直觀地掌握負數的意義。利用數軸把點與數的對應關系揭示出來，這樣數量關系常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述。

（2）相反數。在數軸上，相反數就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數。零的相反數是它本身即原點。如圖：

（3）絕對值。在數軸上，一個數的絕對值表示這個數的點離開原點的距離。在下圖中，A點到原點的距離比B點到原點的距離大，所以A點表示的數的絕對值比B點表示的數的絕對值大。

（4）倒數。在數軸上表示a與1的位置關系。可以結合數軸加以分析，把0、+1、-1作為分界點，然后再進行討論。

觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的特征。例如，利用數軸可以比較兩個有理數大小，學生在學習兩個負數比較大小時，常常不過了符號關，利用數軸學生可以準確、快速地確定結論。相反數概念的引入、理解，都依賴“數軸”，特別是教材第一次出現字母表示數：數的相反數是時，學生會出現思維難點，利用數軸可以幫助學生理解：可以是正數、0、負數。

在數形轉化結合的過程中，必須遵循下述原則：轉化等價原則；數形互補原則；求解簡單原則。當然在教學滲透數形結合思想時，應指導學生掌握以下幾點：

（1）善于觀察圖形，揭示圖形中蘊含的數量關系。

（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應的數量關系。

（3）切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。

教師可以通過各種形式有意識地使學生領會到數形結合方法具有形象、直觀、易于說明等優點，并初步學會用數形結合觀點分析問題、解決問題。

3.分類討論思想。

分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。我們可啟發學生按不同的情況對同一對象進行分類，如實數的分類、三角形的分類、方程的分類等，幫助他們掌握好分類的方法原則形成分類的思想。當數量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時，常常可以運用分類討論的思想分析解決。如對七年級有理數的加法教學中，引導學生觀察、思考、探究，將有理數的加法分為三類進行研究，正確歸納出有理數加法法則，這樣學生不僅掌握具體的“法則”，而且對“分類”有深刻的認識，能在較復雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標準，不重不漏地進行分類，從而使看問題更加全面。

在進行分類討論時，必須遵循以下原則：

（1）分類原則――不重復、不遺漏。由于學生在思考問題時有時帶有片面性或缺乏條理性，因此在解決問題過程中，往往違背這個原則。實際上，在教材中定理證明、例題、習題中都采用分類思想，只要同學們認真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結，在分類時就會做到不重、不漏。

（2）對復雜問題采用多級分類。對一個復雜的問題有時進行一級分類，很難將問題討論清楚，這時需要對其中一類或幾類再進行分類，即多級分類。多級分類是一個難點，應注意：①每一級分類一定要把握好分類標準。②每一級里，要始終如一地按一個標準討論，同時每一級都要以“不重不漏”為原則。教材中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸體會分類討論的思想。

如（“7.2線段、射線和直線”課內練習的第2題），請寫出圖3中以O為端點的各條射線。

這是一個封閉性的題目，條件明確，結論唯一。如果在教學中，我們在學生練習完之后引導學生進行解題后的反思，把這個問題中的條件“以O為端點”去掉，那么圖中又有多少條射線呢？這就是一個以射線端點為分類標準的一個分類問題。該問題雖小，但它讓學生看到了分類思想解決問題的巨大作用。如果再把這個圖形進行變式，點A為直線BC上的一點，那么在圖4中有幾條射線呢？

進一步，如果直線BC上有3個點，4個點，乃至n個點，那么圖4中又有多少條射線呢？至此，學生自己已經不難解決這個問題了。

再如（“7.5角的大小比較”例2），如圖5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數。

這是一道幾何計算題，它包含簡單的推理過程，怎樣有條理地表述解題過程，這是幾何入門教學過程中學生遇到的又一個難點。就本題來說，為使學生能表述清楚語句之間的邏輯關系，首先引導學生觀察題目中的圖形，找出圖5中與解題有關的角，分清哪些是已知度數的角，哪個是所求的角；其次根據已知條件和圖形，分析角與角的數量關系。然而，這樣的能力培養在學習的初始階段是需要模仿的，那么怎樣選擇問題呢？我們不妨對例2做簡單的變式，把題中的“如圖”兩字刪去，這時由于圖形位置的不確定性，需要對問題進行分類討論，學生對問題既有新鮮感，又可以模仿例題的格式學習，正可謂一舉兩得。

4.化歸與轉化思想。

所謂“化歸”，從字面上看可理解為轉化和歸結的意思。數學中把待解決的問題通過轉化，歸結到已經能解決或者比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。化歸方法用框圖可直觀表示為：

其中，問題B常被稱作化歸目標或方向，轉化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略。化歸包括三個要素，即化歸對象、化歸目標和化歸策略。化歸的方向是：由未知到已知，由復雜到簡單，由困難到容易。

在數學教材中無處不滲透化歸思想，我們時常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數運算化為乘法運算，把幾何問題化為代數問題，化無理為有理等。從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

（1）新知識向已知知識點或知識塊的轉化

在數學教材中，有許多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉化為已知知識或已解決的問題完成的，也就是將新知識向已知知識點或知識塊轉化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例分析這種化歸的方向。

①消元降次化歸，實現新知識向已知知識點的轉化。

I.降次化歸解一元方程

解一元二次方程時有以下四種解法：

b.如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負的常數，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

c.如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

d.如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

從以上分析不難看出：將“一元二次”這個新知識點轉化為“一元一次”這個已知知識點之際，也就是順利求解一元二次方程之時。因此，應用化歸思想降次轉化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

II.消元化歸解方程組

解二元一次方程組，其方法是通過加減消元或是代入消元轉化為一元一次方程，即完成從新知識點到已知知識點的轉化，從而得到求解。三元一次方程組，通過消元，轉化為二元一次方程組，再進一步轉化為一元一次方程，從而使問題得解。

②分式方程整式化，實現新知識向已知知識塊的轉化。

新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級（下），后者雖然在教材中沒有安排，但是在中考復習中也會頻頻出現，可以看出把分式方程轉化為整式方程這一已知的知識模式是解分式方程的思路。這里需要注意的是在分式方程整式化變形過程中，有可能不是恒等變形，可能產生增根，所以分式方程必須驗根。

縱觀整個教材，除解方程問題外，還有許多知識的轉化都屬于新知識向已知知識點或知識塊的轉化，如：異分母分數的加減法，通過通分轉化成同分母分數的加減法；多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和解決；梯形的中位線問題轉化為三角形的中位線解決等，無不滲透化歸思想。

（2）一般情況向特殊情況的轉化

在解決數學問題中除上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。

如九年級上冊圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

圖二 圖三 圖四

在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為AOC的外角，這時很容易得到結論；在第二、三兩種位置關系中，我們均可作出過點A的直徑，將問題轉化為第一種情況，同樣可以證得結論。上述問題的解決都是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題解決，同時此定理的證明也滲透合理的分類數學思想。

5.數學模型思想。

現代數學哲學認為：數學是模式的科學，數學所揭示的是人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的數學結構。各種數學概念和各種數學命題都具有超越特殊對象的普遍意義，它們都是一種模式。如果把數學理解為由概念、命題、問題和方法等組合成的復合體，那么掌握模式的思想就有助于領悟數學的本質。數學模型就是指針對或參照某種事物的特征或數量的相依關系，采用形式化的數學語言，概括地或近似地表述出來的數學結構。

數學模型的構建過程，大致可用如下框圖說明：

在數學教學中應讓學生經歷“問題情境―建立模型―解釋、應用、拓展”的過程，在教師的指導下，學生通過實踐活動，自己研究、探索，經歷數學建模的全過程，從而體會方程、不等式、函數等是現實世界的模型，初步領會數學建模的思想和方法，提高數學應用意識和應用數學知識解決實際問題的能力。

如“用不等式知識解決實際問題”的教學就可使用課后一道習題引入：

師：不等式（組）是反映現實世界數量不等關系的一個有效的數學模型，許多現實問題可用不等式（組）知識來解決。

問題：某次數學測驗，共有20道題，評分辦法是：對于每一道題，答對給10分，答錯或不答扣5分。如果某學生總得分不少于80分，那么這個學生至少要答對多少道題？

師：這個問題含有那些要素？

生1：閱讀后略加思考答：①答對題數，②答錯或不答題數，③試題數，④總得分數。其中，已知量：試題數=20、答對一題給10分，某題答錯或不答扣5分、某學生總得分不少于80分，未知量：這個學生至少要答對多少道題？

師：要素之間的數量關系如何？

生2：略加思考答：①答對題數+答錯或不答題數=20；②答對題數×10+答錯或不答題數×（-5）≥80；③答對題數×10≤200；④答錯或不答題數×（-5）≥-100。

師：非常好！這是問題解決過程中的重要一環――分析。對于復雜的問題，將自然語言轉化為圖表語言能使數量關系更清晰。

師：怎樣用符號表示這些關系？

生3：設答對題數為x，則10x-5（20-x）≥80

生4：設答對題數為x，答錯或不答題數為y，則x+y=2010x-5y≥80

生5：設答錯或不答題數至多為x，則15x≤200-80

生6：設答對題數為x，則-100+15x≥80

師：多角度思考問題是學好數學的秘訣！這是問題解決的第二個環節――建模。同一個問題的數學模型可能具有多樣性！

師：怎樣解決這個數學問題？

生7：……

師：這是問題解決的第三個環節――解模。

師：這個數學問題的解是不是實際問題的解？

生8：……

師：這是問題解決的第四個環節――還原。

師：上述四個數學模型那個更有價值？為什么？

生9：……

師：這個問題還有其他解法嗎？

生10：相互研討后答：逐步逼近法（教師有改動）：答對10題、11題、12題……進行試探，逐步逼近）。

師：這是一種解決數學問題的重要思想方法，尤其用于解數學競賽題。

師：上述問題改答對一題給10分，答錯一題扣5分，不答不給分也不扣分呢？

眾生：對不答題數進行分類討論。

師：思路正確！請你將其具體化，試試看。

師：這是問題解決的第五個環節――反思。

師：現在我們再回顧一下上述問題解決的全過程，繼續思考并回答下列問題：

（1）分析有哪些具體方法？（如自然語言轉化為圖表語言等）

（2）建模的實質是什么？（實際問題轉化為數學問題――符號語言）

（3）解模的本質是什么？（邏輯推理）

（4）還原的理由是什么？（實際問題的解應該具有實際意義）

（5）反思的視角與視點是什么？（模型是否具有多樣性、解法是否具有多樣性、問題是否具有一般性、知識與方法是否具有內在聯系性等）

學生回答，教師點評并作出概括。

師：請你預測一下“問題解決”的過程與方法，對今后學習是否具有指導作用？過去用過這種思想方法嗎？

眾生：……

師：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有實際意義？請你結合生活和生產實際，提出盡可能多的問題？

生：……

師：在這節課的學習過程中，你有哪些收獲與感受？請大家提出自己的觀點，毫無保留地交流自己的學習成果與思想。

四、結語

隨著新課改的進一步深化，學生的學習方式發生變化，由接受性學習變為研究性學習；學生的學習重點發生轉移，從培養學生“分析與解決問題的能力”轉移到“發現與提出問題的能力”；教育評價從重結果的終結性評價轉到達到結果的過程性評價。那么數學教育教給學生，毫無疑問是以數學知識為載體，以訓練數學思想方法為手段，開發學生潛能，讓學生學會學習、學會生活。僅僅將數學作為一種工具，不能科學評價數學在現代社會中的地位和價值。

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