時間：2023-08-14 17:08:54
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關鍵詞：策略；幫助；三角函數
中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）07-0229-03
三角函數是高中數學新課程中的重要內容，在這些內容中強調了三角函數作為函數的作用，強調了三角函數是刻畫周期現象的基本模型等，這是數學課程發展中的一個變化.雖然高中數學新課程已對一些內容降低了要求，但很多學生同樣不適應，不能很好地理解與掌握。高考試題中的三角函數題相對比較傳統，位置靠前，通常以簡單題形式出現。因此，在學習、復習過程中要特別注重三角知識的基礎性，突出三角函數的圖象及其變換、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質，以及化簡、求值和最值等重點內容的學習，要求學生熟練記憶和應用三角公式及其恒等變形，同時要注重三角知識的工具性.對此本人從幾個方面加以闡述，希望能夠幫助學生認識“三角函數”在數學中的地位，能較為全面地把握“三角函數”知識脈絡，學好三角函數知識，提高綜合能力.
一、解決角的問題是學好三角函數的前提
（一）解決好特殊角的三角函數值的求法
在初中，學生對0°～90°之間的特殊角（30°、45°、60°）的三角函數值已了如指掌，但到了高中，隨著角度的擴展，求與特殊角有關的角的三角函數值也隨之增多，如對120°、135°、330°、―30°等角的三角函數值的求法開始出現了混亂。如何解決這一問題呢？通過學習誘導公式，學生明白了求這一類角的三角函數值，看似眾多，其實都與0°、30°、45°、60°、90°的三角函數值有關，且只有符號的異同。因此幫助學生弄清誘導公式所概括的“奇變偶不變，符號看象限”這一規律，計算這一類角的三角函數值的問題也就迎刃而解。
（二）解決好角與角之間的關系
在三角函數中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.
相當多的學生直觀地把cos（α+β）化為cosα+cosβ-sinαsinβ用于計算，造成運算煩瑣或無功而返。究其原因是缺乏整體思想，沒有注意到對角的關系進行觀察、分析。事實上若清楚β=（α+β）-α，則問題迎刃而解。又如：
例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.
本例的解法很多，學生若能發現（■-α）與（■+α）的關系及（■-α）與（■-2α）的關系，本例就好解了。因此在教學中，幫助學生樹立整體思想，引導學生注意觀察、分析、比較。（如：角與角之間的和差倍半關系，互補、互余關系等）總結基本的方法、規律，提高解決問題的能力。
（三）解決好隱含條件的問題
解題是數學學習中的一個主要環節，它的一般過程是：問題條件知識方法結果，可見尋找問題條件是解題的第一步.可是在一些數學題中，它的某些條件較為隱蔽，需要經過反復推敲，剖析題意.挖掘題設隱含條件，所謂隱含條件，是指題中若明若暗、含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后，不易被人們所覺察，或者極易被人忽視，而直接制約整個解題過程，三角函數在許多方面如定義、公式、三角函數值，條件等式中都存在著隱含條件。在解三角函數題時，常因未能發掘其隱含條件造成一開始解題就無法進行，或者解到某一個階段而陷入困境，或者造成解題失誤。
例3.設ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.
學生通過公式的變換及運算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.這樣的解法存在錯誤，其實在條件中cos（A-C）+cosB=■隱含著cosB>0的條件，即B為銳角。或由b2=ac知b≤a或b≤c得B為銳角。所以引導學生多觀察條件，從中找出隱含條件，以免造成解題失誤。
二、熟記，靈活運用公式是學好三角函數的基礎
（一）熟練掌握三角變換的公式
很多學生剛開始學習三角函數時，因為三角函數的公式太多，而造成混亂。其實公式之間也有一定的內在聯系，比如誘導公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成銳角，畫出■的終邊表示在X軸正半軸、X軸負半軸、Y軸正半軸、Y軸負半軸中的哪一個，終邊在X軸上則函數名不變，終邊在Y軸函數名改變；終邊再按順時針還是逆時針轉一個銳角定象限，確定函數符號。掌握了誘導公式以后，就可以把任意角的三角函數化為0°～90°間角的三角函數。又如：以兩角和的余弦公式為基礎推導得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內在聯系及推導的線索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式；同角三角函數的基本關系式是進行三角變換的重要基礎之一，它們在化簡三角函數式和證明三角恒等式等問題中要經常用到，必須熟記，并能熟練運用. 這也是學好本單元知識的關鍵.
（二）靈活運用三角公式
熟練掌握三角變換的所有公式理解每個公式的意義，特征；熟悉三角變換常用的方法――化弦法、降冪法、角的變換法等；并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形中的有關公式解決一些實際問題.
1.運用化弦（切）法：
例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。
把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化為■，再弦化切。本題就好解了。
2.運用增減倍與升降冪法：在運用公式化簡三角函數時，引導學生根據具體問題分析采用增倍還是減倍，升冪還是降冪。
例6：設函數f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0
解：f（x）=2sinx?■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）
因為函數f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由誘導公式知sinφ=1，因為0
例7：已知函數f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；其中sinxcosx可轉化為sin2x，所以將sin2x、cos2x降冪同時把角轉化二倍角。
3.運用輔助角及常用模式的轉換法。在三角函數中除了運用課本內的公式外，還利用類似輔助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）進行解題。（這里輔助角φ所在象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ=■確定。）而且在實際解題中，這一類問題大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的轉化。
如上例7函數化簡為：
f（x）=■+■sin2x+（1+cos2x）=■sin2x+■cos2x+■=sin（2x+■）+■
1.角的概念與度量：要從動靜兩個角度來認識角。用弧度制來度量角，使弧長公式、扇形面積公式等得到簡化，也能加深對角的集合與實數集合間一一對應關系的理解。要掌握角度與弧度的
換算。
2.任意角三角函數的定義：把角放在直角坐標系中，用角終邊上的一點來定義。角（即實數）為自變量，比值為函數值，六種三角函數中，正弦、余弦、正切函數最為重要，要掌握其符號規律。
3.同角三角函數的基本關系式：
（1）平方關系：sin2α+cos2α=1；
（2）商數關系： =tanα；
（3）倒數關系：tanα?cotα=1.
要學會用同角三角函數的基本關系式，已知角的一種三角函數值，求角的其他三角函數值。
4.誘導公式：由角的終邊關系及三角函數定義得出
對k?360°+α，180°±α，-α，360°-α的誘導公式，可概括為：函數名不變，符號看象限；對 ±α， ±α的誘導公式，可概括為：函數名改變，符號看象限。
以上兩種情況可以合在一起概括為：奇變偶不變，符號看象限。“奇”指 奇數倍的誘導公式： ±α， ±α；“偶”指 偶數倍的誘導公式：π±α，2π±α。
誘導公式也可由兩角和與差的三角函數公式導出。由我們自己選擇使用誘導公式時，我們通常選“名不變”的。要理解名不變，名改變的含義，知道符號看象限的符號指的是什么，怎么看。值得指出的是，誘導公式中的α是任意角。
各個象限的角可寫成如下形式：
一象限：k?360°+α；
二象限：k?360°+180°-α（也可寫成k?360°+90°+α）；
三象限：k?360°+180°+α（也可寫成k?360°+270°-α）；
四象限：k?360°+360°-α（也可寫成k?360°-α）。
其中α是銳角。
5.和差倍半公式：要熟練掌握公式，特別是要掌握公式的內在聯系及推導線索，運用這些公式及同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡，求值，證明。（和差是相對的，倍半是相對的，公式中的角是使各式有意義的角。）
三角函數中，獨立的量少，關系多（這些是其重要特點之一），因而解題的途徑較多，條條大路通羅馬。要注意做到途徑簡捷，“不倒走”（犯循環的錯誤，算回來了）。要掌握基本方法，如，切化弦、化同名、化單角、化成Asin（？棕x+？漬）等。
6.三角函數的圖象和性質：要能熟練畫出：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin（？棕x+？漬）以及y=Acos（？棕x+？漬），y=Atan（？棕x+？漬）的圖象，主要是五點作圖，要會看、會用圖象，掌握其結構特點，通過圖象掌握性質（特別是周期性、對稱性、單調性），再輔以復合函數解題。
三角函數還是函數，要注意函數思想在三角中的運用。對三角函數的周期要求會求y=Asin（？棕x+？漬）的周期（或余弦、正切）以及可化成上述函數的周期即可。
要掌握正余弦函數的平移、伸縮、對稱變換，能根據圖象確定其解析表達式。
7.已知三角函數值求角：
（1）知道反正弦、反余弦、反正切的含義及表示法：
x=arcsina？圳x∈- ， （-1≤a≤1）
sinx=a；x是- ， 上的角，a是x的正弦值。
函數y=sinx，x∈- ， ，x與y之間一一對應。反余弦，反正切請讀者自己總結。
（2）能根據角的三角函數值求出角。
要會利用三角函數圖象，三角函數的周期性，誘導公式（逆向使用）求出滿足條件的角。以正弦為例，先在x∈- ， 上求出使sinx=a的角（x是arcsina），然后，再利用三角函數的誘導公式和周期性求其他范圍的角。
（3）會將asinx+bcosx化成 sin（x+？漬）的形式，并知道怎樣確定？漬角（也可化成余弦形式）。
8.解斜三角形：
（1）要熟練掌握正弦定理、余弦定理并運用這兩個定理解三角形；
（2）確定三角形的條件；
（3）要重視利用正弦定理，余弦定理。
【參考練習】
1.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈0， 時，f（x）=sinx，則f（ ）的
值為：
A.- B. C.- D.
2.已知f（cosx）=cos3x，則f（sin30°）的值是：
A.-1 B.1 C.0 D.
3.已知α，β均為銳角，且cosα= ，cos（α+β）=- ，求角β
4.求函數y=sin（-3x+ ）的單調遞減區間。
5.求函數y= 的最大值
6.如圖，扇形AOB的半徑為1，其圓心角為 ，PQRK是扇形的內接矩形，設∠POA=θ.
（1）將矩形PQRK的面積S表示為θ的函數S（θ）；
三角函數在每年的高考中都是必考的知識點，重要性不言而喻，如何解決學生在三角函數運算部分出錯率高的問題，將是一個很重要的課題。那么，學生在三角函數運算方面出現解題錯誤的原因主要有哪些？我們在今后的教學活動中應該怎么做才能有效解決學生出錯率高這一問題？
一、關于符號問題
使用同角三角函數關系式、誘導公式、二倍角公式等，都易在符號上發生錯誤，分析原因，主要是學生對觀察原角所在象限來決定符號的實際意義理解和掌握得不夠深刻具體，應當引導學生在領會三角函數的基礎上，能夠據以使用這角終邊上的點的坐標的符號來判定，就以使用帶有根號的半角公式為例運算的步驟是首先求出這個單角的余弦，然后再考慮根號前正負符號的選擇是取決于這個半角所在象限內原函數應具有的符號，對此，對使用這個公式所決定的符號可總結如下：
1.若沒有給出決定符號的條件，則在根號前應保持正負兩種符號
例1.已知cosα=■，求cos■的值。
由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）
cos■=±■
2.如果給出了角α的大小，應當先求出■的大小，然后按照 所在象限原函數的符號決定公式的根號前應有相同的符號
例2.已知cosα=■，且α∈（0，π），求cos■的值。
由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）
α∈（0，π），■∈（0，■）
cos■=■
3.如果給出的角是某象限角時，則依角的終邊所在可能的象限來判斷符號
例3.已知cosα=-■，且α為第二象限角，求sinα，tanα的值。
α是第二象限角且cosα=-■
sinα>0，tanα
sinα=■，tanα=■
二、關于運算的準確問題
應用三角函數關系公式進行運算時，學生容易發生錯誤。
1.明確公式的用途
只有當學生理解了所學公式的用途和適用范圍，才能在使用時目的明確，熟練穩準。例如，講同角三角函數關系式后，通過練習題演算，使學生了解這些公式的應用范圍包括以下幾個主要方面：
①已知一個角的一個三角函數值，求該角的其他三角函數值
②用一個角的一個三角函數表達出該角的其他三角函數
③化簡三角函數式
④證明三角恒等式
在三角函數的教學中，應發揮單位圓和三角函數的作用。單位圓可以幫助學生直觀地認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象和基本性質。
2.加強運算中的檢驗
在數學教學中，隨時都應注意對學生的運算加以嚴格的要求，更需要讓他們養成檢驗的習慣，除了在運算時應當有演算底稿，運算的步驟規格要一致外，還要為檢驗創造良好的條件。在三角函數中還可以引導學生利用概念與公式間的聯系，加強這種訓練。例如開始應用誘導公式運算時，出錯率較高，我們可以引導學生用三角函數線或三角函數定義來驗證所取的符號，以后也可以用兩角和差的三角函數進行檢驗，等到學生有了檢驗的習慣以后，再進一步培養他們選擇簡捷而有效的檢驗方法。
三、使學生明確公式間的活用
新課標要求，能運用公式進行簡單三角函數式的求值、化簡與恒等式的證明。能靈活運用公式進行簡單的恒等變換，我們要求學生掌握公式要做到兩用，兩用就是“能正面用，也能反面用”。只有這樣，才能在解決實際問題時做到靈活應用。如：倍角的余弦公式中倍角的形式是2α，而這個形式，對于4α，則可以寫成2（2α），而有
sin4α=2sin2αcos2α
Cos4α=cos22α-sin22α
=1-2sin22α=2cos22α-1
同樣，α也可以寫成2（■），■寫成2（■），如果引導學生仔細觀察一下，發現等式兩端的角的量數始終保持著“2”對“1”的關系，抓住這個規律，就不會僵化地死記這個公式，同時倍角的余弦：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，又可變形為：cos2α=■（1+cos2α），sin2α=■（1-cos2α）
前者是由單角表示倍角的三角函數間的變形，用它可以使三角函數式中某些項升冪；而后者是由倍角表示單角的三角函數間的變形，用它則可使三角函數式中某些項降冪，這些對三角函數式的恒等變換和解三角方程很有幫助，也擴大了公式的活用范圍。
四、使學生運算時注意總結規律
三角函數問題中我們應隨時注意引導學生善于對所用知識與練習題進行分類歸納，總結方法，探尋規律，以不斷提高他們思考、推理和判斷的能力。例如，剛接觸三角函數性質綜合題時，學生常感到不知道怎樣在開始時引用公式，或恰當地選擇公式。在最初練習中，我們有必要給予一些指導、提示或是演示。
已知函數f（x）=sin2x+asinxcosx-cos2x，f（■）=1，求常數a的值及f（x）的最小值。引導學生先利用三角函數的和、差、倍角、半角公式化成f（x）=Asin（？棕x+？漬）的形式，然后借助三角函數的圖象及性質去研究f（x）的相應性質。通過在三角函數教學中對學生運算問題的研究，在解答題中，要注意先利用三角恒等式進行化簡，再研究函數的圖象和性質。
關鍵詞：周期性現象模型；感性認識；三角函數
到了高中階段，三角函數概念擺脫了初中階段的束縛，產生很大的飛越． 概念提升后，學生認識的角度、深度和廣度都要相應地發生變化，對概念的理解才能從初中階段順利過渡到高中階段．從人類認識運動的辯證過程看，首先是從實踐到認識的過程． 在這個過程中，認識采取了感性認識和理性認識兩種形式，并經歷了由前者到后者的能動飛躍． 理性認識是基于感性認識的基礎之上的． 感性認識和理性認識相互滲透，相互包含． 感性認識和理性認識在實踐的基礎上是辯證統一的． 認識運動是不斷反復和無限發展的． 數學就是人類通過實踐由感性認識上升到理性認識而形成的，并在不斷豐富和發展．
初中階段的三角函數概念，其研究范圍是銳角，側重幾何的角度，在一個直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎上進行討論和研究的，研究從“靜態”到“動態”，體現了運動變化的觀點．通過構造，將給定的角通過直角坐標系研究，提供了用代數方法研究幾何的思路，研究平臺從初中的平面幾何圖形過渡到平面直角坐標系，再次體現了數形結合的思想． 任意角的三角函數作為函數概念的下位概念，要強調它是以角為自變量，比值為函數值的函數，由“銳角三角函數”概念擴張到“任意角三角函數”． 三角學的現代特征，是把三角量看做函數，即看做是一種與角相對應的函數值． 正如歐拉所說，“引進三角函數以后，原來意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算”．
三角函數在高中數學教材中自成體系，成為獨立的一章． 沿定義出發衍生的基本內容有：三角函數線、三角函數值的符號、同角三角函數關系、誘導公式、一些變換公式以及圖象和性質，其內涵豐富，外延廣泛． 在經歷從銳角三角函數過渡到任意角三角函數定義的推廣過程中，學生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系． 要克服負遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達到概念的內化．
脫離實際的理論是空洞的，會顯得蒼白無力． 找到感性認識的切入點，通過突出和深化感性認識，提供一些適當的背景，增強學生學習活動的體驗，學生能身臨其境，伴隨著“真情實感”來體驗概念的產生、發展過程，逐步過渡到理性認識階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過適當的實踐讓學生從已有的知識經驗去認知，明確研究范圍的變化，開闊視野，引導學生進行提煉概括，才能揭示由此帶來的新問題，加深對新概念的理解，這樣的學習才會充滿活力．
這里給出兩個例子來加以說明．
以和我們日常生活息息相關的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發電機的示意圖．當線圈在勻強磁場中以角速度ω逆時針勻速轉動時，線圈將產生感應電動勢． 當線圈平面垂直于磁感線時，各邊都不切割，沒有感應電動勢，稱此平面為中性面，如圖2所示． 設磁感應強度為B，磁場中線圈一邊的長度為l，平面從中性面開始轉動，經過時間t，線圈轉過的角度為ωt，這時，其單側線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產生的感應電動勢e′=Blvsinωt． 所以整個線圈所產生的感應電動勢為e=2Blvsinωt，2Blv為感應電動勢的最大值，設為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動勢的瞬時值表達式，也稱解析式． 正弦交流電壓、電流等表達式與此相似．
圖3
圖4
從產生交流電的過程看，對比正弦曲線，此例是一個非常生動和具體的實例．
簡諧振動
簡諧振動有單擺擺動和彈簧振子運動．
理論和實驗都證明，簡諧振動物體的位移隨時間變化的規律呈正弦函數或余弦函數．
以橫軸表示時間t，以縱軸表示位移x，建立坐標系，畫出簡諧運動的位移—時間圖象都是正弦或余弦曲線，振動圖象表示了振動物體的位移隨時間變化的規律． 由圖象可知振動的周期，可以讀出不同時刻的位移；根據圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢；還可以根據位移的變化趨勢判斷加速度的變化，也能判斷質點動能和勢能的變化情況．
學生如果能從所熟悉的問題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識等這些背景出發，不僅把已有的數學現實作為新知識增長點，從現有的知識經驗中培養新的知識經驗，也將所學的數學知識與他的現實生活聯系起來，找到數學知識在實踐應用中的切入點，把數學應用于現實世界，服務于當代和新生科學的理論和實踐，“把現實的數學與學生個體的現實緊密地結合起來”．
任意角的三角函數反映了自然界中或工程技術中的一個非常重要的周期運動現象，是大量周期性現象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的．
關鍵詞：高中數學；探究發現式教學；三角函數誘導公式
在新的課程理念指導下，教師要轉變教學理念，從根本上改變學生的學習方式。教師應從知識的傳授者變為學生發展的服務者，即知識的“呈現者”、對話的“啟發者”、學習的“促進者”、學業的“評價者”、紀律的“監管者”。
本人從2008年9月開始任教高中數學，在教學中采用探究發現式課堂教學模式，通過近五年的教學實踐，取得了一定的成績。筆者結合在教學中的經驗談一下對探究式課堂教學模式的幾點體會供大家商榷。
一、創設問題情境，激發探究欲望
“學起于思，思源于疑。”問題情境使學生產生認知上的困惑，從而激發探究欲望。例如，三角函數誘導公式的推導，可創設如下的問題情境：求值（搶答）第一組：sin30°，cos30°，tan30°；第二組：sin■，cos■，tan■；第三組：sin210°，cos■，tan（-■）。教師在創設情境時應做到恰當自然，要能緊扣內容本質，切忌畫蛇添足；要摒棄唯情境而情境的觀念，切忌庸俗化；要明確教學情境不等于現實生活情境；要注意到數學教學的開放性和有效性的需要。為“穿靴戴帽”而創設數學情境以及不加提煉的創設甚至遠離主題的創設，不僅不能成為時尚，相反會使數學教學因情境的存在而模糊教學視線，繼而成為教學負擔。
二、創設思維情境，啟導學生探究問題
這是培養學生探究能力的課堂教學活動的中心環節，是指導學生運用學過的舊知識創造性地解決新問題的過程。教師所設置的問題要對準教學目標，突出教學內容的重點；要問在學生有疑問的地方，促進學生對問題的理解，幫助學生將證據與結論聯系起來；要能引起學生的積極思考，將學生的觀點引入課堂，促進學生的參與和討論；還要能為學生的進一步學習留有空間。只有這樣，才能使學生在探究活動中不僅學到知識，同時獲得探究活動的精髓。例如，三角函數誘導公式的得出，可創設如下的問題：問題1：角π+α的終邊與角α的終邊的位置關系如何？問題2：角π+α的三角函數值與角α的三角函數值有什么關系？問題3：將第三象限內的角轉化為第一象限的角。問題4：當銳角α的終邊繞原點逆時針旋轉時，上述得出的等式成立嗎？利用以上問題引導學生充分利用單位圓，討論探究角的關系；指導學生利用單位圓及角的正弦、余弦函數的定義，導出公式；啟發學生觀察公式的特點，明確公式的作用。這樣，我們就可以將抽象問題簡單化、簡單問題數學化。
三、創設質疑情境，培養學生自主探究能力
蘇霍姆林斯基曾說：“人的心靈深處，總有一種把自己當作發現者、研究者、探索者的固有需要……”創設質疑情境是在教學中，教師根據教學內容，使學生產生強烈的求知欲望，激發濃厚的學習興趣采取的一種手段。例如，教學《三角函數誘導公式》一課，我就用挑戰性的語氣說：“同學們，角-α、π-α的終邊與角α的終邊的位置關系如何？它們的三角函數值有怎樣的關系？為什么？”于是，學生求知若渴的情緒被激起來，產生了強烈的求知欲望，學生就會帶著濃厚的興趣去探究新的發現，成了主動探索者，也充分體現了教師指導作用與學生主體作用的結合。這樣學生的思維得到發展，能力得到加強，認知的任務也得以完成。
四、理性歸納，形成新的認知結構
在問題解決后要引導學生對探究過程進行回顧反思，使成功的經驗明朗化，并組織學生歸納出有關的數學思想方法和知識、技能方面的一般性結論。我提出問題：“分析總結誘導公式的結構特點？”再讓學生通過討論解決提出的問題。通過歸納總結鞏固應用，引導學生形成認知：1.α+2kπ（k∈Z），-α，π±α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號；2.利用三角函數的誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數，可按下列步驟進行：任意負角的三角函數相應的正角的三角函數0到2π角的三角函數銳角的三角函數求值。即負化正，大化小，化到銳角為終了。這樣的教學將誘導公式不僅在形式上而且在實質上實施了統一，使學生形成了良好的認知結構。
一位著名的科學家曾經說過：“學校教給學生什么樣的知識最有價值？那就是學生離開學校許多年之后，還留在學生大腦中的那一部分東西。”教師在教學時要達到“授人以法”的境界，進而成為一名“授人以道”的教師。所謂“授人以法”就是說教師要培養學生的能力，教給他們方法，使學生自己有能力去擴展知識。而“授人以道”是指我們教學的結果能夠使學生將他們掌握的方法和獲得的知識貫穿起來，使他們既能高瞻遠矚，又能析物入微，并在繼承傳統的基礎上，走創新之路。要做到這點，就需要教師不斷地積累和反思自己的教學經驗和失誤，摸索教學規律，不斷提高個人的教學能力和水平。因此教師在教學活動中要創設易于學生理解、思考、感受和活動的各種情境，從學生的已有學習經驗出發，激發學生的探究發現意識，幫助學生完成新知識的建構，全面提高學生的自主探究能力。
參考文獻：
1.趙清正，《探索發現式教學的特點與教學程序》，人民教育，1988.12
2.孫孜、涂榮豹，《“單位用定義法”VS“終邊坐標法”》[J]，中學數學教學參考，2009.6
一、計算題中的運用
1.三角函數值計算.由三角函數定義知，函數值可以構造直角三角形的兩邊之比，值的符號要看角所在象限.因此三角函數值與三角形的大小無關.求值時可選取特殊值（定值），這樣不僅解題快速且可大大提高準確率.以下舉兩例說明.
2.相關比值問題的計算.此類題目往往設定一些未知數，但最后又被約掉.所以題目結論與所設數值無關，因此，我們不妨采用特殊值方法，這將會對運算起到簡化的作用.
二、解方程中的運用
在數學中解方程（組）是常見的問題，也是同學們應掌握的重要能力，而同學們往往偏重常規方法.忽視對題目的分析，其實賦以特殊值方法是解復雜方程的一種重要的手段.現舉兩例說明：
三、在填空題中的運用
當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值（或特殊函數，或特殊角，特殊數列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進行處理，從而得出探求的結論.這樣可大大地簡化推理、論證的過程.
四、解答題中的運用
由于共性寓于事物的個性之中，所以對于有些較復雜的問題只要把特殊情況討論清楚了，一般情況就容易化歸為特殊情況了.
注：這里是將橢圓系中的圖形特殊化，在取特殊位置時既不失一般性，而又便于計算.
五、探索性問題的運用
我們都知道數學中的許多公式、定理都是通過從特殊情況入手去探索、發現、歸納，然后嚴格證明后成為一般規律的數學思想，這就要求我們的高中生掌握這一思想方法，從特殊值入手分析發現規律解決問題.
【關鍵詞】數學 口訣 三角函數
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）14-0013-02
數學自身具有的抽象性、嚴謹性，令許多數學學習者望而卻步。許多數學學習者在學校數學中常常為記憶數學概念、數學公式、數學法則、數學規律等感到頭疼困難。阻礙了學習數學的興趣，也阻礙了數學知識在科學生活領域的廣泛應用。現今社會，知識信息日益更新，快、準、多地擁有知識信息，是無數學習者期望的事。數學作為科學知識的基礎，如何幫助數學學習者更快、更巧地記憶知識、掌握知識，就顯得尤為重要。本人根據三十多年的教學實踐研究，總結出了一些巧妙有趣的口訣和順口溜，幫助數學學習者對枯燥、嚴謹的數學概念、公式進行巧記、速記，使數學學習者體驗到學習數學的快樂，并取得了一些成效。現與大家分享。
一 妙趣口訣生成原則
妙趣口訣生成原則：（1）力求語言精練準確，抓住關鍵字或關鍵詞；（2）力求語言簡練押韻，朗朗上口；（3）不能丟失數學的嚴謹性和科學性；（4）易懂易記。
二 妙趣口訣匯編
1.函數定義域區間概念表示形式的記憶口訣
4.任意角三角函數值符號的記憶口訣
“一正二正弦，三切四余弦。”
5.同角三角函數關系恒等式的記憶口訣
7.三角函數圖像性質的記憶口訣
關鍵詞: 教學改革; 基礎教學; 職業學校
中圖分類號: G427文獻標識碼: A文章編號: 1009-8631(2010)03-0144-01
引 言
在西部開發的政策下,對于目前職業學校教育,我國提出了培養“雙師型”教師的重要目標。職業學校教育決定數學教學必須具有服務性,因此職業學校的數學教師要牢固樹立數學教學為專業服務的指導思想,從教學原則到教學內容都要切實做到為專業課服務。
數學教師還是應該結合專業踏實的完成每一堂課。在不破壞數學的系統性和循序漸進原則的基礎上,對教學內容進行合理的整合,使得不同專業的學生有不同的數學教學計劃和教學內容,做到數學課為專業課服務。
一、把握教學大綱,準確教學內容
中職教育中的數學學習是使學生進一步學習并掌握職業崗位和生活中所必要的數學基礎知識。培養學生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能;觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數學思維能力;提高學生就業能力與創業能力。現實的學校教學中需要將這三個培養融合到教學中。
二、結合學生專業,認真分析教材
1. 學情分析。首先是分析專業,學生的專業決定了教學內容;其次是分析認知程度,中職學生的數學基礎很不平衡;再次是分析能力,分析學生已掌握的一些數學能力;最后是分析情感,學生努力的目標也不盡相同。
2. 內容分析與教材結構。首先應該分析教學內容在專業,生活,科學以及學科上的地位。不同類型的專業該部分內容的地位不同。其次分析本節內容在本章中的地位,做到內容的熟練銜接;最后分析能力,情感的地位內容,把握本次教學學生需要掌握的數學能力以及情感的培養。
3. 根據專業制定不同的目標。結合上面對學生的分析以及內容的分析,制定出適合學生的教學目標是至關重要的。以《三角函數的概念》一課為例考慮到學生已有的認知結構心理特征以及學生的專業,在基礎知識上,學生要理解任意角三角函數的定義,三角函數值的符號,會求任意角的三角函數值。在能力上,主要訓練學生并將這些知識與專業中的交流電的學習相聯系理解并掌握任意角的三角函數的定義,正確理解三角函數是以實數為自變量的函數;在情感上通過應用數形結合的思想方法,讓學生體會數學問題是從抽象到形象的轉化過程,體會數學之美,從而激發學習數學的信心和興趣。如果這一課是其它專業,在能力要求上就需要變化,例如工民建專業,就要求將三角函數與振動聯系,為學生學習結構力學打下基礎。
4. 制定教學重點難點。重點是理解任意角三角函數的定義,應用定義解決專業實際問題來突出重點。難點是函數的認識過程,以及與實際相聯系的理解。可以通過應用幾何畫板直觀的感受來突破難點。
三、教法與學法
在教學中我們要展現獲取知識和方法的思維過程。著重采用觀察,實驗,歸納,總結的教學方法,以問題為解決中心、啟發為主的教學方法。學生使用從專業出發提問題,看圖像,找規律,思考問題,交流協作,探索歸納,總結結論,聯系專業的學習方法。使學生的思維更生動形象和連貫。
四、靈活的教學過程設計
1. 多種方式引入新課
從實際生活中引出數學原形問題。讓學生帶著生活問題進入課堂,深切懂得學數學是為了適應生活,是謀生的一種手段。在《三角函數的概念》教學中,我從什么時間看潮汐的實際問題入手,利用時間與水深的函數關系引入新概念。這個引入具有普遍性。什么專業都可以實用。從專業需要中引出數學教學內容。數學本身源于生產實際,職業學校諸多專業需要數學知識的鋪墊。所以我針對專業的特點又從正弦交流電的產生進行引入。同時針對不同專業,我們還可以由其它的專業內容的引入,例如工程專業就可以用振動方面的實例來引入,體現教學的靈活性,針對性。從已學知識中引出新的數學內容。數學的學習需要注意知識的連貫性,在本課的引入中還要做好知識的鋪墊。復習初中所學過的銳角三角函數,加深對銳角三角函數概念的理解,突出直角三角形線段長度的比值,范圍是0°到90°。為后面的問題產生做鋪墊。
2. 用活動化、多元化的教學方法學習新知識
以生活和專業為背景創設問題情景。從學生熟悉的生活實例或與專業有關的實例引出數學知識,再將數學知識應用于處理實際問題或專業問題上。這樣做既提高了學生的學習興趣,又避免了學生不知道學數學有什么用的誤區。在實際教學中,針對水電專業學生,我是從上面三個引入中提出三個問題:有生活中的引入提出sin的符號是什么;從專業引入中提出已學銳角的正弦知識不能滿足專業需要必須擴展;從已學銳角三角函數概念是線段長度的比值,引入到直角坐標系中,提出可以用什么做比值。
以問題形成推出教學內容。本課我將由已學知識的問題分析得出三角函數定義;對任意角三角函數定義提出五個問題:P點移動三角函數值變化;角的終邊移動三角函數值變化;為什么叫他們是函數;角的變化范圍是什么;三角函數有幾個來解決教學的重點,難點。最后回答生活和專業上設置的問題使學生鞏固數學知識,提起學習的興趣。解決問題的同時吸引學生共同探討問題的解決辦法,培養學生分析能力,提高學生學習數學的信心。
以活動形式研究實際問題。以體驗――探索――提高為指導思想開展課堂教學。教學中我利用幾何畫板軟件做出可以改變角的終邊位置,改變終邊上點的坐標,反映三角函數值的變化的動態圖形。請學生自己操作,并觀察數據的變化,回答問題,最后并總結結論。便于學生感受函數的本質,增強教學效果。同時最后由老師做總結,聯系實際生產生活作為提高。
以專業為向導創新教學過程。把時間花在與學生今后工作中人人都要接觸的專業知識點上,對學生來說更實用、更有價值,為他們學好專業鋪平道路、打下基礎。因此在《三角函數概念》的教學過程中我還設計了為學生提出在專業中出現的正弦交流電的向量圖表示法是單位圓表示三角函數的應用。提出交流電正負半周的出現與三角函數在各象限中符號的變化情況的聯系。著重培養學生的數學應用意識,增強學生的數學應用能力。
3. 教學評價情感化、過程化
筆者參與這一章節內容的教學有八次之多了，同時也聽了十多名教師的課，他們講授的是同一內容：“兩角和與差的余弦（第一課時）”，對這節內容的教學體會頗深，下面就這節內容的教學過程中所表現出來的問題進行探討與研究。
1 公式 的引入
在引入新的概念時，教師要有意創設便于學生觀察、分析、思考的情境，使得所傳遞的新知識與學生原有的認知結構發生沖突，促使學生產生學習心理上的需要。因此所設計的問題要能激發起學生的學習動機與學習興趣，使他們產生強烈的求知欲。
2 公式 的推導
公式 的推導對學生來說是有一定難度的，教師要認真思考是運用什么樣的數學思想和教學方法去引導學生分析、思考、并解決問題。為了分散難點，筆者認為有必要復習兩點準備知識：一是如何用 的三角函數表示角 的終邊與單位圓的交點坐標。這一概念看似簡單，其實它是三角函數的逆向運用，學生不易發覺。通過信息反饋表明，不講解這一知識點，學生一時難以理解交點坐標的來龍去脈。二是要復習坐標平面內兩點間的距離公式，這個公式學生比較少用，會覺得比較陌生。
有些教師由于沒有弄清這些問題，在引導學生推導公式時顯得有點牽強附會，勉為其難，以至思路不流暢。
筆者這樣考慮的：
（1）在直角坐標系中研究三角函數關系式是一種基本的研究方法，它體現了數形結合的數學家思想，而在單位圓中考慮問題既是為了統一，也使過程更加簡明，這一方法在前一章中已有幾處用到過。
（2）建立cos（ ）與 的三角函數間
的關系，就是要尋找等量關系，它反映到幾何圖形中，就是要尋求等角或等長的線段，線段的長必須用 的三角函數來表示，因此構造了 、 角后，我們發現了角 、 的終邊與單位圓的交點P2，P3都用 、 的三角函數來表示了，但圖形中仍沒有用 的三角函數值表示的坐標的點，基于這一點，同時也為了尋找等量關系，我們試著構造一個― 角，它與單位圓交于點P4，這時∠P1OP3=∠P2OP4，連結P1P3和P2P4就有P1P3=P2P4成立。
有些教師在引導學生推導時，對證明的思路分析不太透徹，他們或是照本宣科，或是含糊其辭，沒有從學生的認知規律方面去探討分析，這樣做對學生思維的深刻性、活躍學生的思維是不利的，從而扼殺了學生創造力。
3 公式 的應用
但不宜太難，注意整堂課的教學重點是參公式的理解和記憶。不能偏離。有些教師在教學中淡化參公式的推導證明，而偏向公式的廣泛應用，這樣容易使學生忽視對基礎知識的學習，不利于培養學生的數學技能和思維能力，甚至有點舍本求未了。