時間：2023-09-14 17:39:21
導語：在三角函數變換規律的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
自2007年湖南省全面進入新課程標準教材教學以來，我們就高中數學必修5個模塊的呈現順序和呈現方式以課題研究形式進行了有益的探索。不僅在呈現順序上，盡量保持舊教材的邏輯系統和知識體系，以適應學生的認知特點和系統的知識學習和掌握，同時考慮到教學在學習其他學科中的工具性，調整優先學習三角函數主干知識，以便于學生學習高一物理時能彰顯數學工具作用，以回歸舊教材數理多年磨合形成的協調一致性的整體推進形式。為此，我們對5個必修模塊的呈現順序采用了1-4-2-5-3的模式。經過近幾年教學實踐研究證明，這是一種較為合理的呈現順序。
（1）必修1后接著學習必修4有利于對基本初等函數有一個系統掌握。函數是初中階段學生已經接觸過的知識點，但初中是用變量與變量間關系來介紹函數概念的，其重點是研究函數解析式；而高中的函數概念則是在映射觀點下的對應學，是建立在非空數集之間的一種對應關系。它的表現形式除解析式外，還可以運用圖象或列表。它的核心是三要素――定義域，對應法則及值域，而且函數可由定義域和對應法則完全確定。在此基礎上我們還研究了函數的單調性，奇偶性等性質，還學習了指數函數，對數函數及冪函數三種新的基本初等函數。回頭我們還用它們進一步理解了函數的概念。但對于函數概念理解難以達到完美，這樣需要我們學習另一類基本初等函數――三角函數。與其他函數相比它是具有很多重要的特征，它以角為自變量，是周期函數，同時也是解決其他函數問題的重要工具，與后續學習的很多內容有聯系，是深化函數性質的極好教材。因此，接著必修1后學習必修4讓我們對基本初等函數有一個整體掌握，形成一串牢固的知識鏈條。
（2）必修1后接著學習必修4有利于高一物理等學科的學習。新課程開始幾年，我們按1-2-3-4-5順序安排5個必修模塊，結果發現學生在高一第一學期學習物理需要的三角函數和向量的知識，要在高一第二學期才能學習，從而造成物理老師上數學課的現象。然后我們成立課題組，通過對按1-2-3-4-5和1-4-2-5-3兩種模式學科的不同年級進行全面跟蹤研究后，發現后一種選課模式基本上解決了上物理課時數學知識滯后的問題，從而真正實現了新課程標準要求的“人人學會自己須用和會用的數學”的大眾數學理念。
2. 第一章三角函數部分知識點教學設計與生成后的思考
（1）任意角的三角函數的概念。三角函數概念的發展前后經歷了4000多年，就初、高中教材體系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定義為直角三角形的邊長之比。因此，初中討論“三角函數”僅限于三角形內的三角函數。它解決的問題限于平面圖形相關的幾何問題。由于我們不能把任意角的三角函數看成銳角三角函數的推廣（或一般化），所以在高中學習的任意角三角函數內容應該是以函數的眼光對待，把對它的學習作為理解函數一些性質，如周期性。強調三角函數是用于刻畫生產生活中周期性發生變化的一個經典模型。為了建立角度集合與實數集間的一個對應，教材引入了弧度制。接下來就用單位圖給出了任意角的三角函數。教學中，大多數教師從給學生回顧初中銳角三角函數定義入手，然后讓學生考慮如何將銳角三角函數推廣到任意角三角函數，這樣的方式會使學生覺得任意三角函數是銳角三角函數的一種推廣。這樣方法會有以下不足：①沒有講明高、初中學習的三角函數研究方法本質上不同，容易引起概念的混淆。②沒有利用好單位圖。其實單位圖是函數周期性的一個很好體現，它是學生后續學習逐步認識三角函數周期性的重要模型。
理解三角函數概念我們要多視角，如幾何的、代數的、解析的等。教師的教學也不能將三角函數概念理解局限于一節課，一個章節里，了解學生的學習更是一個循序漸進的過程，因而在整個單元教學中應做到反復重視學生對任意角的三角函數概念理解的情況，從而達到對函數概念理解的又一次升華。
（2）正弦函數，余弦函數的圖象與性質。我們知道，實數集與角的集合之間可以運用度與弧度的互化建立一一對應關系。而一個確定的角又對應著唯一確定的正弦（或余弦）值，于是，給一個實數x，有唯一確定的值sinx （或cosx）與之對應，由這個對應法則所確定的函數y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數（或余弦函數），其定義域為R。
《必修4》在講述三角函數后，將簡諧運動作為正弦（型）函數圖象的教學情景和應用。而普通高中物理課程標準在選修模塊《選修3-4》才介紹簡諧運動。顯然，高一物理課程不講授簡諧運動，因此，高一第一學期教授學生三角函數時，將簡諧運動作為正弦（型）函數圖象的教學情景應用就不合適了。為此，我們采用圓周運動或教室里日光燈的電流強度隨時間變化的規律作為教學的情景，因為它們的變化都呈現了周期性規律。
通過上述實驗或例子，對正弦函數和余弦函數的圖象形成一個較直觀的印象后，我們運用單位圖中的正弦線來畫比較精確的正弦函數圖象。在進行教學設計時，為了培養學生的學習能力和實踐操作能力，首先我們課前設計了一個3～4分鐘時間可播放完的“微視頻”，將運用單位圖中的正弦線畫正弦函數圖象分步展示給同學。在實驗操作完備后展示給同學們課堂上集中觀看“微視頻”。當視頻播放結束后，我們把預先設計好并打印的坐標紙發給每一個學生，給學生5分鐘時間完成用單位圖中的正弦線作y=sinx，x∈[0，2π]， 的圖象。當時學生表現出十分高的學習熱情。制圖完成后抽樣展示時發現都完成得十分認真。當老師再此提出如何獲得y=sinx，x ∈R的圖象時，絕大多數同學能回答出將圖象左、右平移（每次2π個單位長度）即可。這都是前面的實驗呈現出重復次數的周期性規律的成果。至于由y=sinx，x∈R的圖象獲得y=cosx，x∈R的圖象，學生們還回答出通過單位圖中余弦線或由公式cosx=sin，將y=sinx向左平移即得。
當然，這堂課的最后成果不僅僅是獲得正弦函數和余弦函數的圖象，而是從圖象上觀察出5個關鍵點決定正弦函數和與弦函數在長度為一個周期內的圖象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的圖象上起關鍵作用的點為（0，0），（π，0），（2π，0），在精確度要求不太高時，找出了這五個點，再用光滑曲線連接，就可以得到函數的簡圖。這就形成了今后我們研究正弦（型）和余弦（型）函數圖象簡圖的通法“五點法”。本堂課產生知識環節的教學設計是：實驗―嘗試―探究―提煉。四步驟體系新課程標準課堂教學以學生為本，以學生主動學習為本的理念。貫穿于教學全過程就是教師主體引導下的學生主體活動由淺入深地連續開展，更符合運用數形結合的手段研究函數的一般規律。
（3）函數y=Asin（？Ax+？漬）的圖象。在A>0，？A>0的條件下，如何由y=sinx 的圖象經變換獲得y=Asin（？Ax+？漬）的圖象呢？教材上在探究每種變換時，并沒有用具體例子通過人工畫圖象后提煉規律，而是運用電腦軟件――幾何畫板的功能代替了，這樣過程令學生眼花繚亂，其變換規律難以體驗到位。因此，在我們的教學中，對于每種變換我們均設計例子并引導學生在課堂上動手用五點法操作，然后再結合電腦動畫進一步體驗規律。這樣的教學設計表面上因讓學生動手操作花了一些時間而“降低了”課堂效益，其實際上經學生動手的過程體驗而形成了理解性的知識規律，最后引導學生探討“圖象變換”法的具體過程。如何由y=sinx的圖象經歷平移變換和伸縮變換得到y=Asin （？Ax+？漬）的圖象，每經歷一部變換，五個關鍵點須作相應的變換，每一步變換卻抓住了這五個關鍵點，得到的簡圖就可據“五點法”畫出。這樣學生不但掌握了研究這類函數圖象的兩類方法，而且了解了兩類方法各自作用和互相聯系性。
3. 教學后的啟示與反思
（1）數學教師應該具有獨立處理教材，研究并合理運用好教材的能力，而不是照本宣科。隨著新課程改革向縱深發展，從傳統的“教教材”到現在的“用教材教”理念的轉變已經深入人心。教材僅是課程標準下提供給教師教學、學生學習知識的一個重要載體，但不是唯一載體。
在教學中，我們既考慮如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。這就是需要吃透課程標準的前提下深入研究并發現學科知識本質的東西，尤其是考慮到“因材施教”，對于教材一些“啟”而未“發”的內容，我們可考慮重新按認知觀設計教學，教師做到對教材上一些概念、定理、公式、法則充分理解的前提下傳授給學生。比如：在研究三角函數的單調性時，學生總是吃不透函數單調性概念必須指明在特定的區間上，二者不可分割。因此出現有的同學提出y=sinx，x∈R在第一象限內是增函數問題時，教師必須強調象限角不是區間角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）內分別是減函數，而不能講y=在其他定義域內是減函數為例，考慮它的定義域已經不是獨立的區間了。文章第二部分提到幾個問題，也正好是體現了“用教材教”的理念。
（2）教學設計與生成應熟悉基本課型，規范操作須始終把學生的發展擺在首位。教學工作的主陣地是課堂。因此，學科教學能力是任何一個數學教師必須具備的基本能力。通常說教學有法，教無定法。所謂“有法”就是指教學應遵循一定教學規律與原則，每位數學教師應對新課程標準下高中數學教學基本課型“概念課”“習題課”“復習課”等進行系統梳理與探究，形成個人課堂教學的風格，而“教無定法”則是將其運用在具體課時進行教學設計與生成時做到“因時制宜”靈活使用。
如何在教師的教學工作中，始終將學生的發展放在首位？我想必須從以下幾點入手：①在教學設計時教師必須站在教學者的角色上，按知識產生發展及生成的認知規律去思考教學的基本環節；②教學生成做到問題引入盡量給出合適的情景，探究知識過程中通過預設好適合的問題串，引導學生充分思考后步步為營朝知識產生的路徑推進，切忌用師生交流替代生生間交流，培養學生學習過程中同伴互助的團隊精神，以達到既學習到學科知識，又提升了學科學習的文化素養，從而形成較完美的學習過程。尤其是課堂結束時的總結，更適合在學生間的交流與對話中形成，從而全面培養學生的自主學習能力；③作為課堂學習的延伸，教師在布置學生課外作業時，一方面要做到基礎性與綜合性比例適當，重視課本習題在鞏固知識與方法的基礎作用和引領作用，對于教輔上的習題，必須做到適當的取舍，考慮到學生層次差異可布置適合每層學生發展的習題；另一方面必須留出時間給學生對明天學習內容的預習，必要時可給學生提供學習新知的自學提綱或突破知識學習重難點的“微視頻”，以充分調動學生預習的靈動性，服務于明天的課堂。
（3）科學又適時的教學評價為師生教與學提供反思的素材。數學教師應立足工作實際，關注常態課堂。對于每一堂課，課前應認真進行教學目標分析，教學重難點確立，教學環節預設，板書合理設計等工作。同時在教學生成過程中，要適時用好學生學習過程性評價，特別關注學生課堂上主動思考后參與教師設問的回答。參加課堂上學習小組的研討與交流及課堂上在教師指導下的練習成果展示，尤其是課堂上練習的評價，教師可改過去一問一答的方式，而是通過一定數量的抽查，借助網絡直接傳送到教室媒體給大家展示，展示后的現場點評也無須由教師一個人包辦，可請同學上臺點評并說出自己的不同想法，讓整個課堂都動起來。通過這種過程性評價，極大調動學生主動學習與合作學習能力，教師適時做好活動后的推手，讓活動在不斷培養學習成功的成就感中風聲水起，學習過程的反思就會在這種全員參與過程中落到實處。上述活動是否能達到目的，其中一個關鍵就是在教學設計時必須設計好檢驗學生學習狀況的目標檢測題，在這些檢測題命制時是否領會了蘊含的數學思想。因此，命制目標檢測題必須圍繞教學目標、教學重點，更要體現試題層次性，如：研究y=Asin 圖象時，第一層次是“五點法”畫出它的圖象，屬基本題；第二層次是“變換法”由y=sinx圖象經變換后得出它的圖象；第三層次則是逆向設計，即如何由y=Asin 的圖象經變換得出y=sinx的圖象或者已知y=Asin 的圖象經若干次線性變換后的解析式，求原函數y=Asin 的解析式，從而訓練學生的逆向思維式發散性思維，促進學生數學思維碎片的提升。
【關鍵詞】三角函數；化簡；求值；圖像；性質；應用
三角函數是高考的熱點和重點，每年都會在主觀題和客觀題上出現它的身影。三角函數具有一般函數的性質，還具有自己獨特的特性――周期性和對稱性，使其產生并可以解決的問題內容多樣、豐富多彩。在每年的高考中，圍繞三角函數的考題具有新意，給人新穎的感覺，這已經成為了高考命題的熱點。下面就三角函數在高考中如何考，談談自己的幾點看法：
一、三角函數的化簡、求值、求最值
三角函數式的化簡、求值及求最值是高考考查的重點內容之一 通過三角函數學習使學生掌握化簡和求值問題的解題規律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規技巧，優化學生的解題效果，做到事半功倍。
求值問題的基本類型及方法：①“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時應該仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系，通常是將非特殊角轉化為特殊角或相互抵消等方法進行求解；②“給值求值”即給出某些角的三角函數（式）的值，求另外的一些角的三角函數值，解題關鍵在于：變角，使其角相同；③“給值求角”關鍵也是：變角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函數值結合該函數的單調區間求得角；④化簡求值。
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三角函數的化簡、求值及求最值的難點在于：眾多的公式的靈活運用和解題突破口的選擇，認真分析所給式子的整體結構，分析各個三角函數及角的相互關系是靈活選用公式的基礎，是恰當尋找解題思維起點的關鍵所在。
二、三角形中的三角函數，即解三角形
分析近幾年的高考試卷，有關解三角形的問題幾乎是每年必考內容.試題主要是考查正、余弦定理及其變式或推論的內容及簡單應用。解三角形的關鍵是在轉化與化歸的數學思想的指導下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內角和等公式定理。
評注：三角函數與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現。這類題型難度比較低，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變。解決此類問題，要根據已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或將邊角互化。
三、三角函數與其他知識交匯的設計題和應用題
此類問題主要考查與三角函數有關學科內綜合問題，如與平面向量、不等式、數列、解析幾何等相結合，多為解答題，考查三角函數實際應用。對待應用題沒有什么通解通法，只要認真讀題、審題，合理分析已知量間的關系，總是能夠解決問題。解決三角應用題的關鍵是認真閱讀題目，正確理解題意，運用所學知識建立適當的三角模型，準確無誤的計算等，其基本步驟如下：
第一步，閱讀理解，審清題意。讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字途徑，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題。
第二步，搜集整理數據，建立數學模型。根據搜集到的數據，找出變化規律，運用已掌握的三角知識、物理知識及其他相關知識建立關系式，在此基礎上將實際問題轉化為一個三角函數問題，實現問題的數學化，即建立三角函數模型。
第三步，利用所學的三角函數知識對得到的三角函數模型予解答，求得結果。
第四步，將所得結論轉譯成實際問題的答案。
關鍵詞：sinα±cosα；sinαcosα；關系
三角函數是歷年高考的一個熱點，除了書上涉及的知識點，由同角三角函數關系和二倍角延伸出的sinα±cosα與sinαcosα的關系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-sin2α也是一個考點。本文從幾道例題出發，就sinα±cosα與sinαcosα的運用舉例說明。
一、sinα+cosαsinαcosα
例1.若sinα與cosα是方程x2-■x+n=0的兩個根，則n= .
分析：本題通過韋達定理和sinα±cosα與sinαcosα的關系，求得n.
解：因為sinαcosα=n，sinα+cosα=■且（sinα+cosα）2
=1+2sinαcosα，所以2=1+2n，得n=■.
點評：本題主要考查韋達定理及sinα±cosα與sinαcosα的關系.
二、sinα+cosαcosα-sinα
例2.已知α為第二象限角，sinα+cosα=■，則cos2α= .
錯解：因為sinα+cosα=■得1+sin2α=■
所以sin2α=-■.
又因為α為第二象限角，即2kπ+■
所以4kπ+π
所以cos2α=±■.
分析：
（1）利用同角三角函數關系，但要注意角的范圍；
（2）利用已知條件與同角三角函數關系，求sinα和cosα；
（3）利用二倍角余弦公式建立所求與已知條件的關系.
解法一：因為sinα+cosα=■>0，且α為第二象限角 所以2kπ+■
即4kπ+π
又因為sinα+cosα=■得sin2α=-■
所以cos2α=■=-■.
解法二：因為α為第二象限角，且sinα+cosα=■sin2α+cos2α=1
得sinα=■+■cosα=■-■
所以cos2α=cos2α-sin2α=-■.
解法三：因為sinα+cosα=■，所以sinαcosα=-■則（cosα-sinα）2=■
又因為α為第二象限角，即cosα
點評：本題考查二倍角公式和同角三角函數關系的靈活運用.
三、sinαcosαsinα-cosα
例3.已知■=k（■
分析：利用同角三角函數關系、二倍角公式進行三角恒等變換，將已知條件與所求化到相同角，以便建立關系.
解：因為■=k，
得■=2sinαcosα=k
所以（sinα-cosα）2=1-k
又因為■
得sinα-cosα=■.
點評：本題主要考查二倍角公式、同角三角函數關系及與的關系，特別注意sinα-cosα的符號.
四、sinα+cosαsinαcosα
例4.求y=（1+sinα）（1+cosα）的最大值和最小值.
分析：利用sinα±cosα與sinαcosα的關系進行換元，減少變量，變成熟悉函數求最值.
解：y=（1+sinα）（1+cosα）=1+sinα+cosα+sinαcosα
令t=sinα+cosα（-■
則y=1+t+■=■（-■
所以ymin=0，ymax=■
點評：主要考查sinα±cosα與sinαcosα關系的運用情況，關鍵注意新元的范圍和一元二次函數在指定范圍求最值.
通過上述的四個例題發現，sinα±cosα與sinαcosα關系的使用不是單獨存在的，其核心是掌握三角函數與三角恒等變換的相關公式，并能熟練進行運算，這樣一切問題才會迎刃而解。
參考文獻：
1.內容與要求
1.1 本章主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數、同角三角函數間的關系、誘導公式、兩角和與差的三角函數、二倍角的三角函數，以及三角函數的圖象和性質，已知三角函數值求角等
1.2 章頭引言安排了一個實際問題――求半圓內接矩形的最大面積.這個問題可以用二次函數來解決，但如果設角度為自變量，就會得到三角函數式，學生尚未學過求它的最大值
第一大節是“任意角的三角函數” 教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數的概念由銳角直接推廣到任意角（都用坐標定義），然后導出同角三角函數的兩個基本關系式及正弦、余弦的誘導公式教科書在本大節的各小節中，都安排了許多實例以及知識的應用
第二大節是“兩角和與差的三角函數” 教科書先引入平面內兩點間距離公式（只通過畫圖說明公式的正確性，不予嚴格證明），用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出（盡量用啟發式）其他公式，同時安排了這些公式的簡單應用和實際應用，包括解決引言中的實際問題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學生有所了解
第三大節是“三角函數的圖象和性質” 教科書先利用正弦線畫出函數 ，x∈[0， ]的圖象，并根據“終邊相同的角有相同的三角函數值”，把這一圖象向左、右平行移動，得到正弦曲線；在此基礎上，利用誘導公式，把正弦曲線向左平行移動個單位長度，得到余弦曲線接著根據這兩種曲線的形狀和特點，研究了正弦、余弦函數的性質，然后又研究了正弦函數的簡圖的畫法，簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數的圖象以及正切函數的性質最后講述了如何由已知三角函數值求角，并引進了arcsinx、arccosx、arctanx等記號，以供在后續章節中遇到求角問題時用來表示答案
1.3 本章的教學要求是：
1.3.1 使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算
1.3.2 使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式
1.3.3 使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過公式的推導，了解它們的內在聯系，從而培養邏輯推理能力
1.3.4 使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）
1.3.5 使學生會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象；理解周期函數與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數、余弦函數、正切函數的性質；會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數的簡圖，理解A、、φ的物理意義
1.3.6 使學生會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示
2.考點要求
2.1 理解弧度的定義，并能正確地進行弧度和角度的換算。
2.2 掌握任意角的三角函數的定義、三角函數的符號、同角三角函數的關系式與誘導公式，了解周期函數和最小正周期的意義，會求的周期，或者經過簡單的恒等變形可以化為上述函數的三角函數的周期能運用上述三角公式化簡三角函數式，求任意角的三角函數值與證明較簡單的三角恒等式
2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數和函數的簡圖，并能解決正弦、曲線有關的實際問題
2.4 能推導并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式
2.5 了解三角函數的積化和差與和差化積公式
2.6 能正確地運用上述公式簡化三角函數式、求某些角的三角函數值 證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題
2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推導過程、并能運用它們解斜三角形
3.考點分析
三角函數是一種重要的初等函數，由于其特殊的性質以及與其他代數、幾何知識的密切聯系，它既是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考查雙基的重要內容之一
本章分兩部分，第一部分是三角函數部分的基礎，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過強的題目，重點應放在結知識理解的準確性、熟練性和靈活性上
試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識結合考查
復習時應把握好以下幾點：
3.1 理解弧度制表示角的優點在于把角的集合與實數集一一對應起來，二是就可把三角函數看成以實數為自變量的函數
3.2 要區別正角、負角、零角、銳角、鈍角、區間角、象限角、終邊相同角的概念
3.3 在已知一個角的三角函數值，求這個角的其他三角函數值時，要注意題設中角的范圍，并對不同的象限分別求出相應的值在應用誘導公式進行三角式的化簡、求值時，應注意公式中符號的選取
3.4 單位圓中的三角函數線，是三角函數的一種幾何表示，用三角函數線的數值來代替三角函數值，比由三角函數定義所規定的比值所得出三角函數值優越得多，因此，三角函數是討論三角函數性質的一個強有力的工具
3.5 要善于將三角函數式盡可能化為只含一個三角函數的“標準式”，進而可求得某些復合三角函數的最值、最小正周期、單調性等對函數式作恒等變形時需特別注意保持定義域的不變性
3.6 函數的單調性是在給定的區間上考慮的，只有屬于同一單調敬意的同一函數的兩個函數值才能由它的單調性來比較大小
3.7 對于具有周期性的函數，在作圖時只要先作它在一個周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個函數的圖象
3.8 對于，，等表達式，要會進行熟練的變形，并利用等三角公式進行化簡
本章第二部分是兩角和與差的三角函數，考查的知識共7個，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識，題目多為求值題，有直接求某個三角函數值的，也有通過三角變換求函數的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質；以及少量的化簡，證明題考查的題量一般為3―4個，分值在12―22分，都是容易題和中等題，重點考查內容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式
考生丟分的原因主要有以下兩點：一是公式不熟，二是運算不過關，因此復習時要注意以下幾點：
3.8.1 熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數公式復習中注意掌握以下幾個三角恒等變形的常用方法和簡單技巧
①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等
②項的分拆與角的配湊
③降次與升次
④萬能代換
另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實質，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數，這樣可加大公式的應用范圍和力度
3.8.2 要會運用和差化積與積化和差公式對三角函數和差式，要善于轉化為積的形式，反之亦然，對于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號決定，角的值由確定對這種思想，務必強化訓練，加深認識
3.8.3 歸納總結并熟練掌握好三角函數的化簡與求值的常用方法和技巧
①三角函數化簡時，在題設的要求下，首先應合理利用有關公式，還要盡量減少角的種數，盡量減少三角函數種數，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數與特殊值互化等
②三角函數的求值問題，主要有兩種類型 一關是給角求值問題；另一類是給值求角問題它們都是通過恰當的變換，設法再與求值的三角函數式、特殊角的三角函數式、已知某值的三角函數式之間建立起聯系選用公式時應注意方向性、靈活性，以造成消項或約項的機會，簡化問題
3.8.4 關于三角函數式的簡單證明 三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規律是從化簡入手，適當變換，化繁為簡，不過這里的變換目標要由所證恒等式的特點來決定
①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數學歸納法
②附加條件的三角恒等式證明：關鍵在于恰當而適時地使用所附加的條件，也就是要仔細地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內在聯系常用的方法是代入法和消元法
三角恒等證明中要重點會用和差與積的互化公式，掌握等價轉化的思想和變量代換的方法證明的關鍵是：發現差異――觀察等式兩邊角、函數、運算間的差異；尋找聯系――選擇恰當公式，找出差異間的聯系；合理轉化促進聯系，創造性地應用基本公式
而關于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來說，要證，先證明的同名三角函數值相等，即，再證明在三角函數的同一單調區間內，而后由函數的單調性得出
3.8.5 在解有關三角形的問題中，銳角三角函數的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內角和的制約關系的作用
3.8.6 求三角函數最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數的單調性和有界性等其基本思想是將三角函數的最值轉化為代數函數的最值
4.三角函數中應注意的問題
4.1 本章內容的重點是：任意角三角函數的概念，同角三角函數間的關系式、誘導公式及其運用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數的性質難點是：弧度制的慨念，綜合運用本章公式進行簡單三角函數式的化簡及恒等式的證明，周期函數的概念，函數的圖象與正弦曲線的關系關鍵是：使學生熟練掌握任意角三角函數的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數的性質
由于課時較緊，教學中應遵循大綱所規定的內容和要求，不要隨意補充已被刪簡的知識點例如，三角函數基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數的基本關系式只講，三個；除（k∈Z）外，其余誘導公式中，要求學生記住并能靈活運用的，只是用正弦、余弦表示那幾個，以后求tan 可通過用科學計算器或者轉化為來求；在推導正切的和角公式以及畫正切函數的圖象時，出現了正切的誘導公式，但這只作為推導的中間步驟，不要求學生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和（差）角公式的應用出現一下，結果不要求記憶，更不要求運用；此外，也不要補充“把化成一個角的三角函數的形式”這樣的例習題
4.2 在講述弧度制的優點、角度制的不足時，要注意科學性事實上，角的概念推廣后，無論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實數集R及之間建立起一種一一對應的關系說“每個角都有唯一的實數與它對應”時，這個實數可以取這個角的弧度數，或度數，或角度制下的分數，或角度制下的秒數，所以對應法則不是唯一的，但每一種對應法則下對應的實數是唯一的所以不要認為只有弧度制才能將角與實數一一對應有的教師認為角度制的計量單位太小，而弧度制的計量單位大，而且可以省略不寫，這種說法雖有一定道理，但在科學上并不具有充足的理由，因為小有小的好處，何況坐標系中兩條數軸上的單位長度可以不一致關鍵在于用角度制表示角的時候，我們總是十進制、六十進制并用的，例如角其中61、21、12都是十進數，而度、分、秒之間的關系是六十進（退）位的，這樣，為了找出與角對應的實數（我們學的實數都是十進數），要經過一番計算，這就不太方便了
4.3 定義了任意角的三角函數以后，嚴格地說，例如，只有，才可以說是正弦函數；六種函數統稱三角函數，說明不是這六種函數的函數，都不能說是三角函數，例如可以說是2x的正弦函數（這時可說它是三角函數），也可以說是正弦函數與正比例函數的復合函數，但不能說是x的正弦函數另一點是函數的定義域，三角函數或與其相關的函數總是附帶定義域的，所以教學中不宜隨便說（或寫）“正弦函數y=sinx”，需知“函數，”只是正弦函數的一個周期，不要把部分當作整體
4.4 關于已知三角函數值求角，在講解相關例題時，可以利用設輔助角（即通過設輔助元素把未知轉化為已知，這是化歸思想的運用）來求解，把求解過程調整為：
4.4.1 如果函數值為正數，則先求出對應的銳角，如果函數值為負數，則先求出與其絕對值相應的銳角
4.4.2 決定角x可能是第幾象限角
4.4.3 如果函數值為負數，則根據角x可能是第幾象限角，得出 內對應的角――如果它是第二象限角，那么可表示為 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或
也可以把上述輔助角看作參變量（x為自變量），那么所提供的方法就可以看作參數的應用新大綱把參數的知識分散在有關的教學內容中，教學時適時提醒學生注意使用，這是有好處的
4.5 本章所使用的符號及其用法，全部與國家標準所規定的取得一致，在板書中逐漸達到規范化 物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業時，對于本章中的幾道與物理（力學、電學）有關的習題，解答時使用的符號及其用法，應與教科書上的相同，以免與物理教師講課時的要求發生矛盾，弄得學生無所適從
學習三角恒等變換過程中，最難的是對公式的理解及靈活運用上.要想得心應手的應用三角公式，關鍵在于構建公式網絡，理解其內在聯系及相互轉化關系.
本部分內容里，考生需要理解任意角三角函數的定義，以及同角三角函數的基本關系.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.在此基礎上，能運用上圖所述公式進行簡單的恒等變換.
一、活用定義，巧妙解題
定義是對數學對象本質特征的刻畫，因此定義是研究問題的基礎和出發點，是揭示概念內涵的邏輯方法. 我們已經通過單位圓定義法得出了任意角三角函數的定義，從定義也導出了同角三角函數的基本關系式和誘導公式，為我們進一步研究三角函數性質奠定了基礎.從這個意義上說，牢固掌握三角函數的定義是學好三角函數的根本保證.
考題1. 已知角？琢的終邊經過點（-4，3），則cos？琢=（ ）
A. B. C. - D. -
【解析】根據余弦函數定義，cos？琢=y，其中y是角？琢的終邊與單位圓交點的縱坐標，根據三角形相似可知y==-.答案選D.
【點評】本題是課本例題的一個改編，課本原題為“已知角？琢的終邊經過點（-3，-4），求角？琢的正弦、余弦和正切值.”主要考查考生對單位圓定義法、三角形相似的判定定理的理解.從而進一步體會三角函數“終邊定義法”與“單位圓定義法”一致性.
相關鏈接1. 已知tan？琢=2，那么cos2？琢= .
【解析】cos2？琢====-.
【點評】本題為“知切求弦”題型，基本的解決思路是根據同角三角函數的基本關系式，列出方程tan？琢==2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢，cos？琢的值，從而根據二倍角公式cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得結論.但是按這種方法解題時，需要注意tan？琢=2時，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分類討論，但是結果是一致的.此外，本題也是標準的二次奇次式問題，也可以直接化弦為切，從而求值，也就是上面的解析.與此類似，2014豐臺一模理第9題：“已知tan？琢=2，則的值為_____.”也是類似的解法.
二、化切為弦，關注通法
根據同角三角函數的基本關系式，我們知道tan？琢=，由于正弦和余弦的性質是我們熟悉的，所以在這樣轉化之后問題通常可以獲得解決.其實通過“化切為弦”“正余互化”等途徑來減少或統一所需變換的式子中函數的種類，這就是變換函數名法.它實質上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發現解題途徑.
考題2. 設？琢∈（0，），？茁∈（0，），且tan？琢=，
則（ ）
A. 3？琢-？茁= B. 3？琢+？茁= C. 2？琢-？茁= D. 2？琢+？茁=
【解析】tan？琢=？圳=？圳sin？琢cos？茁=cos？琢（1+sin？茁）？圳sin？琢cos？茁-cos？琢sin？茁=cos？琢？圳sin（？琢-？茁）=cos？琢;
？琢∈（0，），？茁∈（0，），-
又cos？琢>0，0
所以？琢-？茁=-？琢，即2？琢-？茁=.答案選C.
【點評】本題是一道標準的化切為弦問題，全面考查了考生對“化切為弦”思想的了解，以及兩角差的正弦公式.此外，考生也必須明白“對于銳角？琢，？茁，如果sin？琢=cos？茁，那么？琢，？茁互余”.本題另外一種解法如下：
tan？琢=======tan（+）.
？琢∈（0，），？茁∈（0，），
所以+=？琢，即2？琢-？茁=.
除本題外，考生嘗試用不同方法解決課本練習“求證：=”.
相關鏈接2. 4cos50°-tan40°=（ ）
A. B. C. D. 2-1
【解析】
4cos50°-tan40°=
==
=
==.答案選C.
【點評】解決本題，考生不僅需要注意“化切為弦”，同時還得注意sin？琢=sin（？仔-？琢），同時注意到系數2倍的關系，整理即可.
三、正難則反，公式逆用
按常規的思路，大家習慣公式的正用，而不習慣“倒著想，反著用”.如果說公式的正用是拆分的過程，那么公式的逆用則是合并的過程.從思維上來講，公式的逆用，體現了逆向思維，是一個配湊的過程，更體現了構造的思想，因此要求更高.
公式逆用中，考題最常涉及的當屬輔助角公式了.在用輔助角公式時經常會涉及到三角函數中的二倍角公式，兩角和與差的正、余弦公式.由于內容豐富，所以本部分內容命題形式不拘一格，對考生有比較高的要求.
考題3. 已知函數f（x）=cosx?sin（x+）-cos2x+，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;
（Ⅱ）求f（x）在閉區間[-，]上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx?（sinx+cosx）-cos2x+
=sinxcosx-cos2x+
=sin2x-（1+cos2x）+
=sin2x-cos2x
=sin（2x-）.
所以，f（x）的最小正周期為T==？仔.
（Ⅱ）因為x∈[-，]，所以2x-∈[-，].
于是，當2x-=，即x=時，f（x）取得最大值;
當2x-=-，即x=-時，f（x）取得最小值-.
所以，函數f（x）在閉區間[-，]上的最大值為，最小值為-.
【點評】本題不難，屬常規問題.第（Ⅰ）問需要考生注意公式化簡.而第（Ⅱ）問則需要注意三角函數定區間的最值問題.請各位考生注意，三角函數一章的公式必須熟練掌握.而在第（Ⅰ）問化簡時考查知識點主要包括：正用兩角和的正弦公式、逆用二倍角公式、逆用兩角差的正弦公式.這種類型問題非常常見，大多數省市高考題均有涉及.
相關鏈接3 化簡cos20°?cos40°?cos80°.
【解析】=cos20°?cos40°?cos80°=
=
=
=
=.
【點評】觀察本式特征，20°與40°之間為二倍角關系，40°與80°之間也為二倍角關系. 所以我們嘗試應用二倍角公式，添加分母，并同乘sin20°，則能很好利用正弦的二倍角公式.最終約分可得結果.
四、抓住整體，重點突破
前面我們已經構建了三角恒等變換的公式網絡，這些公式意圖通過已知的形如單角？琢，？茁的三角函數值來求出形如復合角“？琢±？茁，2？琢”等的三角函數值.出于公式的簡潔性要求，更是出于角之間相互明了關系的表示，這里的已知角？琢，？茁寫成了單角的形式，但這并不意味著具體問題中的角一定就是這樣的簡潔形式，我們還是要從整體著眼，關注整體間的關系.
考題4. 設？琢為銳角，若cos（？琢+）=，則sin（2？琢+）的值為 .
【解析】 0< ？琢 <， < ？琢 +<+=.
cos（？琢+）=， sin（？琢+）=.
sin（2？琢+）=2sin（？琢+）cos（？琢+）=2??=.
cos（2？琢+）=.
sin（2？琢+）=sin（2？琢+-）=sin（2？琢+）cos-cos（2？琢+）sin=?-?=.
【點評】本題中有？琢與2？琢的兩倍關系，但是2？琢+與？琢+之間不是兩倍關系，所以我們需要對其進行進一步整理.，2（？琢+）=2？琢+-到這一步，命題者的思路就清楚了：先用關于角？琢+的二倍角公式求出角？琢+的正弦值和余弦值，再用兩角差的正弦公式即可求出結果.與本題類似，有很多問題都可以類似解決，如“設tan（？琢+？茁）=tan（？茁-）=，則tan（？琢+）= .”只需要知道？琢+=（？琢+？茁）-（？茁-）即可.
相關鏈接4. 已知函數f（x）=sin（3x+）.
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間;
（Ⅱ）若？琢是第二象限角，f（）=cos（？琢+）cos2？琢，求cos？琢-sin？琢的值.
【解析】
（Ⅰ）因為函數y=sinx的單調遞增區間為[-+2k？仔，+2k？仔]，k∈Z，
由-+2k？仔≤3x+≤+2k？仔，k∈Z，得-+≤x≤+，k∈Z.
所以，函數f（x）的單調遞增區間為[-+， +]，k∈Z.
（Ⅱ）由已知， 有sin（？琢+）=cos（？琢+）（cos2？琢+sin2？琢），
所以sin？琢cos+cos？琢sin=（cos？琢cos-sin？琢sin）
（cos2？琢-sin2？琢），
即sin？琢+cos？琢=（cos？琢-sin？琢）2（sin？琢+cos？琢）.
當sin？琢+cos？琢=0時，由？琢是第二象限角，知？琢=+2k？仔，k∈Z.
此時，cos？琢-sin？琢=-.
當sin？琢+cos？琢≠0時，有（cos？琢-sin？琢）2=.
由？琢是第二象限角，知cos？琢-sin？琢< 0，此時cos？琢-sin？琢=-.
綜上所述，cos？琢-sin？琢=-或-.
【點評】本題第（Ⅰ）問考查正弦函數的單調性，第（Ⅱ）問考查三角函數的恒等變換.在第（Ⅱ）問中，考生需要注意我們要求的是cos？琢-sin？琢這個整體的值，所以我們不需要單獨求得sin？琢與cos？琢的值.此外，在整理的過程中，要注意轉化的等價性，換句話說，不能直接認為cos？琢+sin？琢≠0從而直接約分.
五、樹立目標，提高效率
三角恒等變換是有一些基本的模式，但是如果以為掌握了這些所謂的方法和技巧，就能夠通過套用“公式或套路”就能夠順利解決問題，那就大錯特錯了.要想順利的解決三角恒等變換問題，出來熟悉公式網絡以外，還要有強烈的目標意識，在目標的引領下，將已知條件進行轉化，逐步推進，直至導出結論.
考題5. 對于任意的？茲，求32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲的值.
【解析】因為32cos6？茲=32（）3=4cos3 2？茲+12cos2 2？茲+12cos2？茲+4，
-cos6？茲=-4cos3 2？茲+3cos2？茲，
-6cos4？茲=-12cos2 2？茲+6，
-15cos2？茲=-15cos2？茲，
所以，各式相加，得32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲=10.
【點評】初次接觸本題，大多數考生都會感覺無從下手，因為這里的函數雖然都是余弦，但是角包括了？茲，2？茲，4？茲，6？茲，如果想把角都化簡到？茲，明顯工作量太大，畢竟涉及到了6倍角.所以我們把目標定位2？茲，這樣4？茲是2？茲的二倍角，6？茲是2？茲的三倍角，？茲是2？茲的半角，操作起來必然事半功倍.
六、適當推廣，提高能力
現在很多的考生都要參加各個學校組織的自主招生考試，自主招生試題與普通高考試題比起來，出題形式更加靈活，知識面更廣、更深，對考生的能力要求更高.
考題6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= .
【解析】因為cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，
sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;
所以sin（x+y）=.
【點評】本題需要考生了解和差化積公式.其實，補充上和差化積與積化和差公式，以及萬能公式的知識網絡如下：
相關鏈接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.
【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①
由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②
兩式相加，得2-2cos（x+y）=+=，
所以cos（x+y）=1-=.
又由sinx+siny=，得2sincos=…………③
由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④
兩式相除，得tan=-，
所以sin（x-y）==
-=-.
【點評】本題要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知條件只需要平方處理，也會包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的時候，則需要考生對和差化積公式有相當的了解.
例1 在RtABC中,各邊的長度都擴大3倍,那么銳角A的三角函數值( ).
A.都擴大3倍B.都擴大4倍
C.不能確定D.沒有變化
錯解:A.
錯因分析:三角函數的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值,三角形三邊都擴大3倍后的三角形與原三角形相似,所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變.錯解沒有真正理解三角函數的意義.
正解:D.
點撥:三角函數的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值,大小只與角的度數有關,與邊的大小無關.
二、未能理解符號意義
例2 下列命題:①sinα表示角α與符號sin的乘積;②在ABC中,若∠C=90°,則c=αsinA成立;③任何銳角的正弦和余弦值都是介于0和1之間實數.其正確的為().
A.②③B.①②③ C.② D.③
錯解:B.
錯因分析:sinα是一個數學符號,不能理解為是α與符號sin的乘積的關系.因此①錯;在ABC中,若∠C=90°,則sinA=,c=,所以②不正確;所以只有③正確.
正解:D.
點撥:銳角三角函數符號是一種表示方法,不要認為是運算符號.
三、忽視分類討論
例3 RtABC的兩條邊分別是6和8,求其最小角的正弦值.
錯解:因為6和8是直角三角形的兩邊,所以斜邊是10,所以最小角的正弦值是即.
錯因分析:已知條件中并沒有告訴6和8是兩條直角邊,所以本題應分兩種情況:
(1)6和8是兩條直角邊;(2)6是直角邊,8是斜邊.錯在忽視了第2種情況.
正解:當6和8是直角邊時,斜邊是10,所以最小角的正弦值;
當6是直角邊,8是斜邊時,則另一直角邊是=2,最短邊是2,所以最小角的正弦值為=.
綜上可知,最小角的正弦值或.
點撥:在直角三角形中,給出兩邊,在沒有說明是直角邊或斜邊的情況下,要分這兩邊是直角邊與所給的長邊是斜邊兩種情況來討論.
四、主觀臆斷
例4在RtABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,則sin=_______.
錯解: 因為sinA===,所以sin=.
錯因分析:本題錯在將∠A一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.實際上, 它們是不相等的.如sin90°=1,而sin45°=.本題正確的解法是先求出∠A的度數,然后再求其正弦值.
正解:因為sinA===,所以∠A=60°,所以=30°,所以sin= .
點撥: 求一個角一半的三角函數值,應先求出這個角的度數,然后再求其三角函數值,一定不能用三角函數值的一半作為角一半的三角函數值.
五、特殊角的三角函數值變換不清
例5 銳角α滿足
A.30°
C.45°
錯解:A.
錯因分析:正弦值與正切值都隨度數的增大而增大,而余弦值是隨度數的增大而減小(在銳角范圍內).本題錯在沒有準確掌握特殊角的三角函數,將特殊角的三角函數值張冠李戴,混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規律.
正解: cos60°=,cos45°=,
又cos60°
45°
點撥:在銳角范圍內,正弦與正切可以看成是單調遞增函數,即度數大三角函數值就大;而余弦正好相反.
六、忽視銳角三角函數值的范圍
例6 已知α為銳角4tan2α-3=0,求tanα.
錯解:因為4tan2α-3=0,所以tan2α=,兩邊同時開方得tanα=± .
所以tanα=± .
錯因分析:銳角三角函數等于相應直角三角形邊的比,所以tanα>0.
正解:因為4tan2α-3=0,所以tan2α=,兩邊同時開方得tanα=± ,因為tanα>0,所以tanα= .
點撥:銳角三角函數值的都是正數,在求解時不要忘記.
七、仰角、俯角概念不清
例7 如圖1,直升機在長江大橋AB上方P點處,此時飛機離地面高度為am,且A、B、O三點在一條直線上,測得點A俯角為α,點B的俯角為β,求長江大橋AB的長度.
錯解:在RtAOP中 ,tan∠APO=,
∠APO=α,
OA=OP•tanα.
在RtBPO中,∠BPO= β .
tan∠BPO= ,
OB=OP•tan∠BPO .
AB=OA-OB=OP(tanα-tan β)
=a(tanα-tan β).
錯因分析:俯角與仰角都是指水平線與視線所成的角,一個指向下看,一個往上看.本題錯在把從P點觀測A點的俯角誤認為∠APO,從P點觀測B點的俯角誤認為∠BPO,只有弄清俯角才能避免該錯誤.
正解:根據題意得∠CPA=α,∠BPC= β,
∠PAO=α,∠PBO= β .
在RtPOA中,
cot∠PAO=,OA=OP•cotα .
在RtPOB中,
cot∠PAO=,OB=OP•cot β .
AB=OA-OB=OP•cotα-OP•cot β
=OP(cotα-cot β )
=a(cotα-cot β ).
點撥:弄清俯角與仰角是解決觀測問題的關鍵.
八、忽視三角函數是應用在直角三角形中
例8 已知等腰ABC中,AB=AC=10, BC=12.求sin∠ACB的值.
錯解:因為AC=10,BC=12,所以sin∠ACB==
=.
錯因分析:本題錯在沒有理解銳角三角形函數所使用的范圍.只有在直角三角形中,才能根據銳角的三角函數定義求值.解決本題可作高,構成直角三角形來求解.
正解:如圖2,作ADBC于D,因為AB=AC=10,BC=12,所以BD=CD=6.
在RtABD中,AD===8 ,所以sin∠ACB===.
點撥: 當已知條件為非直角三角形時,不能用對邊比鄰邊直接求三角函數值,而應構造直角三角形后根據定義求值.
例9 已知ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別a、b、c,且a=17,b=15,c=8,求sin∠B.
錯解:根據銳角三角函數的定義知sin∠B== .
錯因分析:要求∠B的正弦值,需要先確定ABC是否是直角三角形,如果是,要先確定出直角和∠B的對邊,然后再利用定義求解.
三角函數是高考常考不衰的熱點，統計表明，各地高考試卷中都保持著一大一小的格局，分值在17分左右，通常設置在靠前位置上，一般為基礎過關題.從考查內容上看，三角函數的圖象以及單調性、最值、函數[y=Asin（ωx+φ）]的圖象的平移和伸縮變換以及根據圖象確定[A，ω，φ]的值等問題，一直是高考的熱點內容.特別是與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數性質的同時，又考查三角恒等變換的方法和技巧，注重考查函數與方程、轉化與化歸等思想方法.
命題特點
密切聯系教材，試題通常是通過對課本原題的改編，通過對基礎知識的重新組合、拓廣，從學科整體意義的高度去考慮問題，從而成為立意高、情境新、設問巧、并富含時代氣息、貼近學生的問題.
考查基礎知識的掌握程度，考查既注意全面，更注意突出重點，對支撐數學科知識體系的主干知識，保持必要的深度.試題在考查知識的同時更注重數學方法的考查，倡導通性通法，淡化特殊技巧，較好地體現了以知識為載體，以方法為依托，以能力為考查目的的命題指向.在知識網絡的交匯處設計試題已成為命題方向，試題綜合程度、整合力度不斷加大已是必然態勢.注重內容的聯系性和知識的綜合性，既能從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，又能使基礎知識的考查達到必要的深度.
試題注重了對正弦形函數的考查，近三年來出現的核心題型是：先用三角函數各類公式將題目給出的函數轉化為的標準形式，然后再考查正弦型函數的八個考點：單調性，奇偶性，周期性，對稱性，值域，解析式，圖象的變換，圖象的應用.
[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質
圖象變換是三角函數的考查的重要內容，解決此類問題的關鍵是理解[A，ω，φ]的意義，特別是[ω]的判定，以及伸縮變換對[φ]的影響.
例1 設函數[f（x）=cosωx（ω>0）]，將[y=f（x）]的圖象向右平移[π3]個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則[ω]的最小值等于 （ ）
A. [13] B. 3 C. 6 D. 9
答案 C
點撥 本題主要考查三角函數的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數[y=Asin（ωx+φ）]中的[ω]對函數圖象變化的影響，應引起重視.
例2 已知函數[f（x）=sin（2x+φ）]，其中[φ]為實數，若[f（x）≤f（π6）]對[x∈R]恒成立，且[f（π2）>f（π）]，則[f（x）]的單調遞增區間是 （ ）
A. [kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）]
B. [kπ，kπ+π2（k∈Z）]
C. [kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）]
D. [kπ-π2，kπ（k∈Z）]
解析 若[f（x）≤f（π6）]對[x∈R]恒成立，
則[f（π6）=sin（π3+φ）=1]，
所以[π3+φ=kπ+π2，k∈Z]，即[φ=kπ+π6，k∈Z].
由[f（π2）>f（π）]，[（k∈Z）]可知，
[sin（π+φ）>sin（2π+φ）]，即[sinφ
所以[φ=2kπ+π6，k∈Z]，代入[f（x）=sin（2x+φ）]得，
[f（x）=sin（2x+π6），]由[2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2]得，
[kπ-π3≤x≤kπ+π6].
答案 A
點撥 考查正弦函數的有界性，正弦函數的單調性.屬中等偏難題.
備考指南
1. 要立足于教材，弄清公式的來龍去脈及適用條件；
2. 要歸納解題思路及解題規律.
3. 近年高考命題強調以能力立意，加強對知識綜合性和應用性的考查，跨學科應用是三角函數的一個鮮明特點，應注意知識點交匯處的題型.
限時訓練
1.函數圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為 （ ）
A. [π8] B. [π4] C. [π2] D. [π]
2. 函數[y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）]是 （ ）
A. 奇函數且在[0，π2]上單調遞增
B. 奇函數且在[π2，π]上單調遞增
C. 偶函數且在[0，π2]上單調遞增
D. 偶函數且在[π2，π]上單調遞增
3. 函數[y=tan（-x+π4）]的單調遞減區間是 （ ）
A. [（kπ-π4，kπ+3π4）（k∈Z）]
B. [（kπ-3π4，kπ+π4）（k∈Z）]
C. [（2kπ-π4，2kπ+3π4）（k∈Z）]
D. [（2kπ-3π4，2kπ+π4）（k∈Z）]
4. 函數[f（x）=sinx-cos（x+π6）]的值域為 （ ）
A. [-2，2] B. [-3，3]
C. [-1，1] D. [-32，32]
5. 為了得到函數[y=sin2x]的圖象，可將函數[y=sin（2x+π6）]的圖象 （ ）
A. 向左平移[π12]個長度單位
B. 向左平移[π6]個長度單位
C. 向右平移[π6]個長度單位
D. 向右平移[π12]個長度單位
6. 將函數[f（x）=22sin2x+62cos2x]的圖象向右平移[π4]個單位后得到函數[g（x）]的圖象，則[g（x4）=] （ ）
A. [62] B. -1 C. [2] D. 2
7.函數[y=cosx?tanx-π2
[A] [B] [C] [D]
8. 函數[f（x）=Asin（ωx+φ）， （ω>0，|φ|
A. [f（x）=-4sin（π8x-π4）]
B. [f（x）=-4sin（π8x+π4）]
C. [f（x）=4sin（π8x-π4）]
D. [f（x）=4sin（π8x+π4）]
9. 已知函數[y=2sinx]的定義域為[[a，b]]，值域為[[-2，1]]，則[b-a]的值不可能是 （ ）
A.[5π6] B.[π] C.[7π6] D.[2π]
10. 定義運算：[a1a2a3a4=a1a4-a2a3]，將函數[f（x）=3cosx21sinx2]的圖象向左平移[m]（[m>0]）個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則[m]的最小值是 （ ）
A. [π3] B. [2π3] C. [4π3] D. [7π3]
11. 函數[y=sin（-x+π3）（x∈0，2π]的單調減區間是____________.
12. 函數[f（x）=3cos2x+sinxcosx-32][（x∈0，π4）]的取值范圍是__________.
13. 方程[sinπx=14x]的解的個數是__________.
14. 關于下列命題：
①函數[y=tanx]在第一象限是增函數；
②函數[y=cos2（π4-x）]是奇函數；
③函數[y=4sin（2x-π3）]的一個對稱中心是[（π6，0）]；
④函數[y=sin（x+π4）]在閉區間[[-π2，π2]]上是增函數.
寫出所有正確的命題的題號：___________.
15. 已知函數[f（x）=Asin（ωx-π4）（A>0，ω>0）]，[x∈R]的最大值是1且其最小正周期為[π].
（1）求[f（x）]的解析式；
（2）已知[α，β∈（0，π2）]，且[f（α2+38π）=35，f（β2+π8）=513]，求[cos（α-β）]的值.
16. 已知向量[a=（2sinx，3cosx），][b=（sinx，2sinx）]，函數[f（x）=a?b].
（1）求[f（x）]的單調遞增區間；
（2）若不等式[f（x）≥m對x∈0，π2]都成立，求實數[m]的最大值.
17. 已知函數[f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω>0）]的最小正周期為[π].
（1）求函數[f（x）]圖象的對稱軸方程和單調遞減區間；
（2）若函數[g（x）=f（x）-f（π4-x）]，求函數[g（x）]在區間[[π8，3π4]]上的最小值和最大值.
18. 在公比為2的等比數列[an]中，[a2]與[a4]的等差中項是[53].
[⇩] 知識梳理
1． 三角函數為正的規律：一全正，二正弦，三是切，四余弦.
2． 誘導公式規律：奇變偶不變，符號看象限.
3． （1）正（余）弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的交點（振幅關于x軸對稱）；
（2）正（余）切型函數的對稱中心是圖象與x軸的交點或漸近線與x軸的交點,但沒有對稱軸（y軸方向無平移時）．
4． 兩種三角變換（A>0，ω>0）
（1）先平移后伸縮：y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
（2）先伸縮后平移：y＝sinxy＝sin（ωx）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
5． 兩個非零向量平行的充要條件（a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ為實數）
（1）向量式：a∥b⇔存在λ使得a=λb；
（2）坐標式：a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
6． 兩個非零向量垂直的充要條件（a=（x1，y1），b=（x2，y2））
（1）向量式：ab⇔a?b=0；
（2）坐標式：ab⇔x1x2+y1y2=0.
7． 設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a?b =|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，其幾何意義是a?b等于a的長度與b在a上投影的長度的乘積.
8． 數量積的坐標表示
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a?b=x1x2+y1y2；
（2）若a=（x，y），則a2=a?a=x2+y2， |a|=；
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），則
=（兩點距離公式）.
[⇩] 模擬調研
1． 向量及三角函數平移
模擬題1（2008重慶，中）將f（x）=cos
x－的圖象按向量c平移，得到函數f（x）=cosx+1，則c可以是（）
A．
，1 B．
－,1
C．
,－1 D．
－，－1
簡析 將f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到f（x）=cosx+1的圖象． 故選B．
高考題1（2008福建，中）函數 f（x）=cosx，x∈R的圖象按向量（m，0） 平移后，得到函數y=－f ′（x）的圖象，則m的值可以為（）
A．B． πC． －π D．－
點評 該模擬題主要考查了向量、三角函數平移問題，而高考題把向量、三角、導數融于一體，知識點較多，立意新穎，能夠考查同學們對基礎知識的理解程度以及分析問題和解決問題的能力．在知識交匯點命題是高考的一個亮點，估計2009年高考對三角函數圖象平移的考查除了傳統題型外，還可能與三角函數的單調性、對稱性、最值等交匯命題． 試題類型主要是選擇題．
2． 向量的基本運算及分解
模擬題2（2008北京西城區，易）已知P，A，B，C是平面內四點，且++=，那么一定有（）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
簡析由=+代入已知得=2． 故選D．
高考題2（2008遼寧，易）已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2+=0，則等于（）
A． 2－
B． －+2
C． －
D． －+
點評該模擬題考查了向量的基本運算及分解方法，此高考題和模擬題的考查點相同．估計2009年高考對向量基本運算的考查形式：①以類似的形式出現；②在三角形或四邊形中結合考查平面向量的基本定理的形式出現． 試題類型主要是選擇題．
3． 和（差）向量的長度
模擬題3（2008北京東城區，易）已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，則向量a，b的夾角為（）
A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°
簡析 求向量a，b夾角的關鍵是求出數量積，將|2a+b|=平方可求得a?b=3，所以cosθ==． 故選C．
高考題3（2008江蘇，易）已知向量a和b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a－b|=_______．
點評該模擬題考查了向量夾角公式及和向量的長度，高考題是知道夾角求差向量的長度，兩題的關鍵都是對和、差向量的長度作平方處理，這是平面向量的主要考點之一．2009年高考中對向量的夾角、和或差，向量的模的考查，估計還會以這種形式出現． 試題類型主要是選擇題、填空題．
4． 以不等式為背景找范圍
模擬題4（2008河北衡水，中）在（0，2π）內，使sinx≥cosx成立的x的取值范圍是（）
簡析 由x∈（0，2π）且sinx≥cosx，得0
sin2x≥cos2x，解得≤x≤. 故選D．
高考題4（2008四川，中）若0≤α≤2π，sinα>cosα，則α的取值范圍是（）
A．
點評該模擬題和高考題均以不等式為背景，考查同學們對三角函數基礎知識、同角三角函數之間的關系等的掌握情況及恒等變形的能力，考查利用數形結合的思想解題的技巧． 估計2009年高考對三角不等式、利用數形結合的思想解題依然是熱點，試題類型主要是選擇題和填空題．
5． 周期性及對稱性
模擬題5（2008河北石家莊，中）已知函數f（x）=2sinω
x+，ω>0的最小正周期為4π，則該函數的圖象（）
A． 關于點
，0對稱
B． 關于直線x=對稱
C． 關于點
，0對稱
D． 關于直線x=對稱
簡析 T=4π，ω=，所以f（x）=sin
+，令+=kπ，解得x=2kπ－，k∈Z． 當k=1時，x=． 故選A．
高考題5（2008湖北，中）將函數y=sin（x－θ）的圖象F向右平移個單位長度得到圖象F ′，若F ′的一條對稱軸是直線x=，則θ的一個可能取值是（）
A． B． －
C． D． －
點評 該模擬題直接考查三角函數的周期性及對稱性，而高考題打破常規，把三角函數圖象平移與對稱性相結合，求參量的值，形式新穎別致，更能考查同學們分析問題、解決問題的能力． 估計2009年高考除了會直接考查三角函數的對稱性外，極有可能與其他的性質交匯命題． 試題類型主要是選擇題或填空題．
6． 平面向量坐標運算
模擬題6（2008山東，中）已知向量a=sinx，
，b=（cosx，－1）．
（Ⅰ）當a∥b，求2cos2x－sin2x；
（Ⅱ）求f（x）=（a+b）?b在
－，0的值域．
簡析（Ⅰ）由a∥b可得tanx=－，所以原式===．
高考題6（2008福建，中）已知向量m=（sinA，cosA），n=（，－1），m?n=1，且A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大小；
1 關于“三垂線定理及其逆定理”
很多教師都說，整個高中立體幾何就是“三垂線定理”。 立體幾何中的“三垂線定理”不見了，這是讓很多教師都無法想象的.盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用。確實，“三垂線定理”是整個立體幾何內容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置，綜合了很多知識內容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行。在數學2“點、直線、平面之間的位置關系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，很多老師都補充進去了，要求學生掌握運用，但是我認為這恰好是新課程減輕學生的課業負擔的一個體現，其實不知道這個定理，直接做也不復雜，就多了一個線面、線線的垂直關系，這也能夠讓學生加強對線面垂直關系的理解，而且有些學生還會糾結在“三垂線定理”，還是“三垂線定理的逆定理”上面。
隨著選修教材把空間向量及其運算引入“立體幾何”內容中，用空間向量及其運算的向量方法（或坐標方法）處理有關垂直和平行問題成為一種普適的方法，用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法退居其次。高中數學新課程中強調用空間向量及其運算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理問題。
2 線段定比分點的坐標公式
在大綱教材中，這一公式是重要的學習內容，而課標教材中，只是把它作為平面向量的一個應用，因而降低了要求，我們只需利用向量工具推導出定比分點的坐標公式，不必要求記住公式并用來解決問題.因此在教學中完全可以不用補充讓學生記憶了。
3 平行線的距離公式
教材中有一個例題是計算平行線的距離，處理的辦法是在直線上任取一點，轉化到點到直線的距離，把平行線的距離公式放到了習題里面，我覺得這個處理也很好，減輕了學生記憶公式的負擔。
4 《新課標》指出“數學是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具”
數學是自然科學和其他科學的工具，是科研的工具，是日常生活的工具，作為重要的工具，它應用廣泛，功能強大。在人教社高中數學教材中，新增了算法、定積分，加強了統計與概率等內容，更加直接、鮮明地體現了數學的工具性特點。在平面向量中單獨增加一節內容《平面向量在物理學中的應用》，導數與定積分在物理學中有廣泛的應用，可以改變中學物理教學的思路和方法；邏輯聯結詞與物理學中的邏輯電路可以聯系在一起；概率與統計可以和生物學的有關內容整合。
5 大綱教材和課標教材