時間：2023-03-15 14:53:35
導語：在數學研究論文的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
關鍵詞數學課程標準數學之花數學思想數學方法
新課程下的教育，是關愛學生生命發展，弘揚學生靈性的教育。新課程理念下的數學教學是以思維能力培養為核心，促進學生對數學思想、數學方法的理解與把握。讓學生從看似枯燥的數字、圖形和抽象的邏輯思維中，體會到數學的魅力，讓數學之花在小學數學課堂上盡情綻放，這是我多年來在課堂教學中一直努力追求的境界。下面結合自己多年的教學實踐和探索，談一談自己的一些做法和體會。
一、良好的學習情境------數學之花生長的土壤
“讓學生在生動具體的情境中學習數學”，“讓學生在現實情境中體驗和理解數學”是《數學課程標準》給我們廣大數學教師提出的教學建議。良好的學習情境是讓數學之花生長的土壤。妙地創設各種情境，最大限度地激發孩子的求知欲，像磁鐵把每一個孩子的心緊緊地吸在一起，把有限的課堂時空變為人人參與、個個思考的無限空間。
在教學《誰先走》一課時，我一開始就創設一個“下棋比賽誰先走”的游戲情境，大大激發了學生的學習興趣，將學生帶入游戲規則是否公平的討論之中；然后通過“擲骰子”和“擲硬幣”兩個游戲活動讓學生驗證、體會游戲規則的公平性，修改不公平的游戲規則；再通過玩轉盤游戲，給轉盤游戲制定公平的游戲規則；最后組織學生自己設計一些對雙方都公平的游戲等，給全體學生再次參加游戲活動的機會，并引導學生聯系生活實際，關注身邊的不確定現象，應用所學去解釋、解決一些簡單問題。本節課自始至終都是在各種游戲活動的情境中發現問題，探究知識，解決問題，學生在玩中學，學中悟，課堂成了歡樂的海洋，原來數學學習也可以這樣的生動活潑、快樂有趣。
再如北師版第四冊《整理與復習（一）》是學生在學習了“除法”、“混合運算”、“方向與路線”“、生活中的大數”幾個單元之后的一節綜合復習課。在教學此課時，我針對春天來了，學生都特別喜歡外出游玩的心理特點，結合生活實際為學生設計了一個“淮南草莓節一日游”的教學情境，把枯燥的數學知識變得生動、有趣、貼近生活。在讓學生說行車路線和各個景點相互位置關系時復習了方向與路線這一知識點；接著在不同時間景區游玩人數的比較中，有效地復習了萬以內數的讀寫法；然后在購買旅游食品這一環節巧妙的復習了四則混合運算的運算順序和計算方法，以及運用混合運算的有關知識來解決實際問題。整節課學生興趣盎然，在精心創設的一日游情境中進行綜合的復習和運用。良好的學習情境是數學之花生長的肥沃土壤。
二、積極的探究活動------數學之花孕育中綻放
《新課標》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”“學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”探究式學習為每一層次的學生提供了選擇的空間，人人都能參與，人人都有收獲。在課堂上我根據教學內容的實際情況，給學生提供充分的探究活動空間，讓學生在活動中探究，探究中體驗，體驗中發現，發現中提高。數學之花就在實踐和創新的過程中盡情綻放。
在教學《三角形內角和》時，我先請學生測量并標出各種不同三角形三個內角的度數，然后報出其中任意兩個內角的度數，請老師猜一猜第三個角是多少度，老師對答如流，準確無誤。學生帶著驚奇和疑問，走進了數學知識的發現和探索中，有的用測量后再計算的方法，有的用折紙的方法，有的把三個角撕下來，重新拼在一起，還有的用長方形對折成兩個三角形推導等不同的方法探究得出了三角形內角和是180°。學生們很快揭穿了“老師總能猜對”的秘密。接下來又是一次具有挑戰性的探究——“根據三角形內角和是180°，你能推導出五邊形、六邊形……一百邊形的內角和是多少度嗎？”在積極的探究活動中，孩子們通過自己的努力，終于發現了多邊形內角和等于180°×(邊數－2)的規律。課上有疑問、有猜想、有驚訝、有爭議、有沉思、有聯想……學生在探究、交流、發現規律的過程中處處閃現著智慧之花，數學之花在攀登數學高峰的征程中盡情綻放。
三、適時的激勵賞識------數學之花盛開的催化劑
德國教育家第斯多惠曾說:“教學的藝術不在于傳授的本領,而在于激勵、喚醒、鼓舞。”可見,激勵學生,充分發揮學生的積極性、主動性和創造性,營造出一種“海闊憑魚躍,天高任鳥飛”的育人氛圍是非常重要的。一句充滿期待的話語能激活一個人潛在的巨大的自信。一次成功的體驗能激發學生濃厚地學習興趣。我始終堅持用激勵和賞識去評價學生，我努力地尋找契機，挖掘他們內在的潛能，真誠地贊許他們，激發他們向上的動力。“你的思維很獨特，你能具體說說自己的想法嗎？”“你發現了這么重要的方法，老師為你感到驕傲！”“試一試，相信自己，老師知道你能行！”“你是個求上進的孩子，你能夠學得更好！”……一句真誠的鼓勵，一個關注的眼神，一次溫柔地撫摸，讓課堂變得溫情四溢，充滿生機和活力。我精心創設使他們都能獲得成功的機會，營造一個享受成功的氛圍，使不同學生都能品嘗到成功的喜悅和勝利的自豪。不斷的激勵，不斷的賞識，不斷地享受成功帶來的快樂和自信，培養了孩子們熱愛數學、鉆研數學的濃厚興趣，而孩子們的不斷投入，使得一朵朵數學之花在不斷的賞識和激勵中含苞欲放。
四、生活中實際應用------數學之花絢麗多彩
論文關鍵詞：數學；教學；知識；教師教育
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。
由于受學校的，一般人認為數學僅僅是對家、工程師，或許還有家才有用的一系列技巧。這樣的教育導致了對這門學科的厭惡和對它的忽視。當有人對這種狀況提出異議時，某些飽學之士可以得到權威們的支持。圣?奧古斯丁(St．Augustine)不是說過嗎：“好的基督徒應該提防數學家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已經存在，數學家們已經與魔鬼簽定了協約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對于作惡者、數學家諸如此類的人”應禁止他們“幾何技藝和參加當眾運算像數學這樣可惡的學問。”叔本華(Schopenhauer)，一位在現代史上占有重要地位的哲學家，也把算術說成是最低級的精神活動，他之所以持這種態度，是基于算術能通過機器來運算這一事實。
由于學校數學教學的影響，這些權威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數學的觀點仍然是錯誤的。數學學科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方標題是本文譯者加的，副標題為原標題面：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。
技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。
因此，讓我們看一看20世紀人們對這門學科的態度。首先，數學主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準確地表述出作為推理基礎的公設。具有極其嚴密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設出發，推導出結論。數學的這一特征由17世紀一位著名的作家在論及數學和科學時，以某種不同的方式表述過：“數學家們像戀人。……承認一位數學家的最初的原理，那么他由此將會推導出你也必須承認的另一結論，從這一結論又推導出其他的結論。”
僅僅把數學看作一種探求的方法，就如同把達?芬奇“最后的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數學也是一門需要創造性的學科。在預測能被證明的時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。例如，牛頓和開普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統，而且建立了新的、革命性的概念。在數學中，人的創造能力運用的范圍，只有通過檢驗這些創造本身才能決定。有些創造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現在這門學科已有八十多個廣泛的分支就夠了。
如果數學的確是一種創造性活動，那么驅使人們去追求它的動力是什么呢?數學最明顯的、盡管不一定是最重要的動力是為了解決因需要而直接提出的。商業和金融事務、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰武器和工事的設計，以及許多其他的人類需要，數學能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程，數學被當作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。數學的另外一個基本作用(的確，這一點在現代特別突出)，那就是提供現象的合理結構。數學的概念、方法和結論是物的基礎。這些學科的成就大小取決于它們與數學結合的程度。數學已經給互不關聯的事實的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯系的有機體，并且還將一系列彼此脫節的觀察研究納入科學的實體之中。
智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數學家研究數的性質和幾何圖形，并且取得了富有創造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個問題——一場賭博在結束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學沒有什么聯系的最突出的成就，就是由古代希臘人創造出來的，他們把數學轉變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統。事實上，數學學科中一些最偉大的成就——射影幾何、數論、超窮數和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內容——都是為了解決純智力的挑戰。
進行數學創造的最主要的趨策力是對美的追求。羅素，這位抽象數學思想的大師曾直言不諱地說：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。
除了完善的結構美以外，在證明和得出結論的過程中，運用必不可少的想象和直覺也給創造者提供了高度的美學上的滿足。如果美的組成和藝術作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應達到目的的手段，那么數學就是一門具有其特有完美性的藝術。
盡管已清楚地表明，上述所有因素推動了數學的產生和，但是依然存在許多錯誤的觀點。有這樣的指責(經常是用來為對這門學科的忽視作辯解的)，認為數學家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測;或者認為數學家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的，更不用說由于和工程的需要而進行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發現二干多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在天文學、仿射運動和萬有引力定律中發揮了作用。
另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數學完全或者主要是由于實際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達和飛機而產生或發展的。這種斷言也是錯誤的。數學已經使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數學家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際漠不關心，這可能是因為他們成果的應用在幾百年后才實現。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數學玄想，比起貨棧職員采用“+”號和“一”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數學史上的一個轉折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個的，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會成為一位出色的神學家。偉大的思想家追求時代智力風尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數學作為純粹業余愛好的富有創造性的天才，也會去研究令專業數學家和科學家感到十分激動的問題。但是，那些“業余愛好者”和數學家們一般并不十分關心他們工作的實用價值。
實用的、科學的、美學的和的因素，共同促進了數學的形成。把這些做出貢獻、產生的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學和哲學因素作出反應的純粹思維，決定性地塑造了數學的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數學家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會力量的推動。如果這些力量不能為數學家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門學科處于孤立的境地。雖然在短時期內還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現。
數學的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數學也用符號表示數量關系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習俗的產物，也是社會和運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的、憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，數學家們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數符號，在下面一段描寫中，盡管與數學無關，卻清楚地表現了數學的實用性和明了性：
當一個12世紀的青年墮入情網時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。
簡潔的符號能夠使數學家們進行復雜的思考時應付自如，但也會使門外漢聽數學討論如墜五里云霧。
數學語言中使用的符號十分重要，它們能區別日常語言中經常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關的屬性。在“那個人正在跑”(manisrunning)這個句子中，這個詞"is”表示的是動詞時態。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個句子中，is的形式被用于表示數字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為盡管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產生什么誤會。但是，數學的精確性——它與和的精確性一樣，要求數學領域的者們更加謹慎。
數學語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數學家說：“今天我沒看見一個人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數學的這種精確性，在一個還沒有認識到它對于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數學風格以簡潔和形式的完美作為其目標，但有時由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術語表述圖1所示的，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個正方形的面積就等于前面兩個正方形面積之和。”但是沒有一個數學家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數學表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數學的讀者有時會發現自己的耐心受到了極大的考驗。
數學不僅是一種、一門或一種語言。數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對科學家、科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時著家和神學家的學說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙的冥想;甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著的進程。
數學是一門知識體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點卻認為數學是無可辯駁的真理的匯集，認為數學就像是信仰《圣經》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數學家們也贊同這種謬論。幸運的是，19世紀發生的一些數學事件(這些我們隨后將進行討論)向這些數學家表明，這種看法是錯誤的。在這門學科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個世紀創立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒有真理，數學卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個最大的悖論將是我們所關注的課題之一。
由于20世紀必須將數學知識與真理區分開，因此也必須將數學與區分開，因為科學確在尋求關于物質世界的真理。然而數學卻無疑地是科學的燈塔，而且還繼續幫助科學獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數學，現代科學才取得了輝煌的成就。但是我們將會看到，這兩個領域有著明顯的區別。
在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質、道德和生活;試圖回答有關人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。在本書中，我們最為關心的將是這種精神的作用。
數學還有一個更加典型的特征與我們的論述密切相關。數學是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而斗爭，這場斗爭經歷了史前的幾個世紀和隨后有文字記載的幾個世紀，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩了生存的根基，并且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花——歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數學的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。
這就是數學那時的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時期曾有過的旺盛的生命力，而且準備開創史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀以前所了解的數學稱為初等數學，那么我們能說，初等數學與從那以后創造出的數學相比是徽不足道的。事實上，一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數學家。因為與普通的觀點相反，現在應該說數學是從微積分開始，而不是以之為結束。在我們這個世紀，這門學科已具有非常廣泛的，以致沒有任何數學家能夠宣稱他已精通全部數學。
數學的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數學的生命力正是根植于養育她的文明的社會生活之中。事實上，數學一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續到公元前300年。由于古希臘數學家強調嚴密的推理以及由此得出的結論，因此他們所關心的并不是這些成果的實用性，而是人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。因此，看到這個具有很難為后世超越的優美文學，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。
數學創造力的缺乏也表現在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的。看看羅馬的情況吧。在數學史上，羅馬人在一定時期內曾作出過貢獻，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數學家和科學家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當時他正在畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死于一個羅馬士兵之手，是一個世界發生頭等重要變化的標志;愛好抽象科學、善長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重復其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由于只重實用而導致了創造性的缺乏。他們沒有發展其祖先的知識，他們所有的進步都局限于工程技術的細枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎于數學圖形而喪命。
事實上，西塞羅(Cicero)夸耀自己的同胞——感謝上帝——不是像希臘人一樣的夢想家，而是把他們的數學研究派上實際用場的人。
一、表述教學法的結構
運用表述教學進行教學，教師先向學生提供豐富的經過精心加工編排的感性材料，讓學生對所學知識的重點、難點進行充分的感知。然后把這些感性知識，運用語言、操作、畫圖等方式，進行比較集中的有序的表述。接下來，教師指導學生自學新教材。在此基礎上，組織學生進行初步練習。最后由教師進行講解。概括地說，表述教學法的基本結構，可以劃分為五個階段，即感知階段表述階段自學階段練習階段講解階段。
下面，我們結合具體的教學實例，對表述教學法五個教學階段，做一些簡要的介紹。
教材內容：菜店運來豆角140千克，運來黃瓜的重量是豆角的3倍。運來豆角和黃瓜一共多少千克？（六年制小學數學第五冊第44頁例3）
第一，感知階段。向學生出示圖（1）
（附圖{圖}）
啟發學生觀察思考：蘿卜的重量是白菜的幾倍？你能把蘿卜的重量計算出來嗎？怎樣計算？
出示圖（2）：
（附圖{圖}）
啟發學生繼續觀察思考：圖中提出了一個什么問題？這個問題怎么解答呢？
出示圖（3）
（附圖{圖}）
提問：把這幅圖與前面兩幅圖進行比較，哪些內容相同？哪些內容發生了變化？誰能根據這幅圖編出一道應用題呢？出示所編的題目：
食堂買來30千克白菜，買來蘿卜的重量是白菜的4倍。買來白菜和蘿卜一共多少千克？
接著指導學生以題為主，題圖對照，進行深入分析。
（1）這道題的問題是什么？
（2）最基本的算法是什么呢？（或者問，只用一步把問題算出來，該怎么算呢？或者問，知道了哪兩個條件，就可以把問題直接算出來呢？）
（3）根據題中所給的條件，能用一步計算把問題直接算出來嗎？
（4）需要先算出哪個數量？
（5）下一步該怎么算呢？
在老師的啟發下，學生依靠表象，對題目的數量關系以及計算方法有了正確的理解，感知階段基本結束，開始轉入第二個階段。
第二，表述階段。這是整個表述教學法的關鍵階段，要求學生把所感知的內容，用自己的語言，進行比較集中而又有系統的表述，以此為手段，促進對新知識的理解。在前面的感知階段，教師一邊引導學生觀察分析，一邊將感知的重點內容寫成如下板書：
（1）求什么？
（2）怎么算？（＝）
（3）能用一步計算直接算出來嗎？為什么？
（4）先算什么？
（5）再算什么？
我們把上面這種編排有序的題目，叫做表述題目，也叫表述提綱。利用表述提綱的導向作用，能使表述的難度大為降低，所以，就連中差生也能講得比較清楚和系統。
第三、自學階段。進入自學階段，一般的做法是，利用小黑板或投影等手段，先由教師出示例題，盡量避免讓學生直接閱讀書上的例題，其用意在于將例題與題后的算理分析、算式解答等教材的內容分開，以便收集和了解學生真實的反饋信息。教學中，教師要鼓勵學生獨立地進行分析講解，因為這是對新知識能否理解的重要標志，也是學生參與學習的重要過程。在講解之后，大家都想列出算式進行具體的計算解答，都急于想獲得自學的“勞動果實”，所以，教師應及時組織學生解答題目。把題目算完以后，再讓學生打開課本閱讀教材，進行自我對照和校正。要使學生明確，他們在自學階段的主要任務是，看一看自己理解的思路，與書上所解釋的是不是一致。自己表述的語句，有書上分析的那么準確簡煉嗎？再看一看列式計算有什么差錯沒有。如果有錯誤，要求學生盡量做到自己去分析比較，找出原因并加以改正。
整個自學階段，可分四步進行：（1）出示例題；（2）分析講解；（3）列式解答；（4）看書對照。通過自學，當學生看到自己能夠“獨立”地解答問題時，成功的喜悅便會油然而生。這時，他們非常希望再做一些題目，證明他們真正把新知識學到手了。于是，轉入第四個階段的時機成熟了。
第四，練習階段。教師選擇書上的練習題（第44頁練習十六第1題），組織學生進行書面練習。與此同時，也可以挑選上、中、差三類學生上講臺去板演，教師加強巡回觀察，了解學生對新知識掌握的情況。練習之后要組織學生進行講解、討論和訂正，主要講解題目的數量關系和解題思路。對不同的解題方法，要啟發學生展開討論，或品評優劣，或分辨正誤，使學生對新知識的理解與掌握，得到進一步的鞏固和提高。
總的來說，整個練習階段，是讓學生運用剛學到的新知識，獨立地解答應用題的過程，通過練習以及練習后的討論，教師能比較準確地了解到哪些學生已經真正理解并掌握了新知識，哪些學生還有“夾生飯”，這就給教師在下一步教學中，怎樣調查與補救提供了可靠的依據。
第五，教師講解。這是表述教學法的結尾階段。首先，要對學生們在練習中獲得的學習成效，給予充分的肯定。其次，要對新授知識的重點、難點進行歸納與整理。第三，對學生在練習階段出現的錯誤，給予輔導和糾正，對易錯、易混、易忘的問題，給以指點或強調，使已出現的錯誤，消滅于萌芽之中，而對尚未出現又極易發生的差錯，引起警覺，防患于未然。總之，教師的講解，既應對本堂課的新知識進行小結，又應為學生進一步學習鋪平道路。
表述教學法的五個階段，是一個有機的整體，它構成了表述教學法的基本框架。教學有法而又無定法，表述教學法的五個階段，根據不同的教學目標與不同的教學內容和條件，是可以靈活調整或適當增刪的。
二、表述教學法的特點
1、符合小學生的認識規律。小學生的思維正處在以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式逐步過渡的階段。對小學生來說，在這個過渡階段中，最好的媒價是什么呢？那就是客觀事物的具體形象；最主要的過渡渠道是什么呢？那就是引導學生利用多種感官對這些具體形象進行綜合性的感知。我們以小學生特有的這種認識規律和表述教學法的結構設計原理相對照比較，就會很容易地了解到，表述教學法是符合小學生的認識規律的。例如，教學這樣的應用題：草地上有8只羊，又來了3只，一共有多少只羊？（義務教育六年制小學數學第一冊第65頁第4題）教學中，先向學生出示模仿題的圖片：一塊草地上，有8只黑兔子在吃草。提問：草地上有幾只兔子？教師在圖片上又貼出3只白兔。提問：又跑來了幾只兔子？哪個小朋友能把看到的情況說一說？誰能按這幅圖的內容提出一個問題來？我們從學生多種回答中，選出“一共有多少只兔子？”繼續進行討論：“誰能把圖上的內容和這個問題，連在一起說一說？”教師向學生強調指出：同學說的“草地上有8只黑兔，又跑來了3只白兔，一共有幾只兔子？”這幾句話，寫下來就是一道應用題。提問：要算出一共有幾只兔子，應該把哪兩個數合起來呢？（做“合”的手勢）用什么方法計算是“合”呢？（重復“合”的手勢）怎樣列式呢？接著引導學生由模仿題向書上的例題過渡：如果圖上畫的都是羊，你會列式計算嗎？然后讓學生看書上的例題，再進行討論。
從上面簡單的敘述中，我們可以清楚地看出，表述教學法的主要教學程序，體現了一條這樣的線索：感知表象抽象。對于傳統的教學程序，可以說這是一種新的突破。正是由于它符合兒童的認識規律，所以我們運用表述教學法，能取得比較滿意的教學效果。
2、符合小學生的學習心理。小學生學習心理的特征是好奇、好勝、好動、好問，運用表述教學法，往往能比較好地滿足小學生這種心理趨向和要求，因此也就自然會收到良好的教學效果。例如，教學這樣一道題目：二年級一班有男生22人，女生18人，平均分成4組，每組有幾人？（六年制小學數學第五冊第46頁例4）教師先組織學生進行學具操作：每人擺兩堆小方木塊，一堆擺5塊，另一堆擺7塊。提問：要把這兩堆木塊分成4小堆，而且要使每小堆的塊數都一樣多，你們會分嗎？怎么分？動手試試看。學生們對這類操作活動很感興趣，當學生把這兩堆木塊合在一起再進行均分時，教師及時提問：這些木塊是怎么得到的？為什么要把原來的兩堆木塊并在一起呢？一共有多少塊？怎樣才能算出每小堆的塊數呢？具體的學具操作，能把求平均數的算理簡單明了地反映出來，給學生留下深刻的印象。
再比如講解長方體棱的概念，教師做切蘿卜的演示，學生們看得分外專注。先橫切一刀，問：被切開的地方出現了什么？（一個平面）再縱切一刀，問：又出現了什么？（又出現了一個平面）追問：仔細看一看，還出現了什么？（還出現了一條邊）這條邊是哪個面上的邊？（屬于兩個面共有的）它在什么地方？（兩個面相交的地方）教師告訴學生：在長方體上，像這樣的邊，它有個漂亮的名字－－棱。問：你們能把棱的含義說出來嗎？這時，學生對棱的概念將會有確切的理解。
在感知階段，我們可以利用圖片、線段圖、實物、學具、音像材料等多種直觀手段進行啟發引導，這些方式富有兒童情趣，深受學生的喜愛。由此可見，表述教學法的成效，與兒童學習心理有著密切的聯系。
3、能充分發揮學生的主體作用。用現代教學論思想來分析，在教與學這一對矛盾中，學生是處于主導地位的。所以在教學中，教師應當充分調動學生學習的主動性和積極性，充分發揮學生的主體作用。只有這樣，才能讓學生變消極被動地接受知識為積極主動地獲取知識。
運用表述教學法，從開始的感知階段，學生就會被生動形象的教學內容所吸引，產生濃厚的學習興趣。在表述階段，他們需要開動腦筋，積極主動地把諸多感性材料“內化”為“自己的知識”，進而組織數學語言進行表述。表述促使學生對新知識的理解，發生了“質”的變化，為自學課本奠定了基礎。通過自學課本，學生對知識的掌握，心中覺得更有“底數”了。所以會引起他們獨自解答問題的興趣，他們躍躍欲試，并充滿了信心。練習之后，他們又迫切希望得到教師的肯定和鼓勵。總之，運用表述教學法，有利于調動學生學習的積極性，使學生紿終處于主動獲取知識的狀態，這正是讓學生參加到知識形成過程中的具體體現。
4、能有效地培養學生的自學能力。有人說，未來的文盲不是沒有知識的人，而是不會學習的人。這話講得很好。我們的教學，不僅要讓學生“學會”，而且更重要的是要讓學生“會學”，這已是我們廣大教師的共識。可見，培養學生的自學能力是整個教學改革的主要目的之一。
運用表述教學法培養學生的自學能力，效果十分明顯。感知階段，要善于培養學生敏銳的觀察能力要連貫有序，盡量為學生進行表述創造良好的輔助和分析推理能力。語言是思維的載體。常有這樣的情形，理解了的知識，不一定能講清楚，而能講清楚的知識，則一定是理解了的。這正如愛因斯坦所說：“一個人的智力發展和他形成概念的方法，在很大程度上是取決于語言的。”可見，表述訓練是促進學生思維發展尤其是邏輯思維發展，培養學生能力和智力的重要途徑，也正是表述教學法的“強項”。
表述教學法還體現了讓學生先自學，先試練，教師后輔導，后講解的教學思想。就表述教學法的整體設計原理來講，就是一個自學體系。因此，長期運用表述教學法，對培養學生的自學能力是十分有利的。
5、能有效地提高中差生的學習質量。在中差生中，尤其是差生，他們學生上感到吃力，成績低下。究其原因，一是基礎差，即原有的認識結構往往“殘缺不全”，形不成一個“健全”的網絡，所以在學習新知識時，他們的“同化”與“順應”能力很差。另一個原因是他們不知道怎樣去思考問題，不知道怎樣去自學課本。再看表述教學法，它能向學生提供大量的感性材料，不僅引起了他們的興趣與注意，還能有效地為他們設計出“低坡度”的學習途徑。比如在表述階段，講什么內容，按怎樣的順序講，都有比較具體明確的要求，加之教師的啟發輔導，使差生感到“知道往哪兒去想”，“心理明白應當說些什么？表述教學法強調自學課本和當堂獨立練習，改變了傳統的教學程序，作業大多是在課堂上完成，消除了差生在課下抄襲別人作業的條件，這對培養差生的自學習慣，也是一種促進。
三、運用表述教學法應注意的一些問題
首先，在感知階段，主要應處理好以下幾點：（1）向學生提供的感性材料，一定要突出教材的重點和難點。例如教學這樣的題目：一個林場用噴霧器給樹噴藥，2臺噴霧器4小時噴100棵。照這樣計算，5臺噴霧器6小時可以噴多少棵？（六年制小學數學第九冊第45頁例5）重點是要理解“照這樣計算”的具體含義是什么？究竟應當照什么樣的標準來計算呢？知道這個標準后，又應當怎樣計算呢？針對這個重點和難點，可以利用圖解示意的辦法，啟發學生觀察分析，這樣能夠收到較好的教學效果。（2）向學生出示的感性材料，要力求簡單、形象、生動，目的是讓學生觀察后容易理解題中的數量關系；容易弄清題的算理與方法。（3）出示的例題，要和書上的例題基本相仿，為的是便于學生在自學課本時，能順利地進行知識的正向遷移，獲得良好的自學效果。
在表述階段應注意的問題是：（1）要向學生提供表述提綱，使學生明確需要對哪些內容或哪幾個知識點進行表述，提綱要少而精，語句要簡而明，排列條件。（2）指導學生進行表述，可根據不同的教學要求，按以下幾個層次，有選擇地進行：①每個學生按照表述提綱，以自問自答的方式進行練習。②分成小組或同桌之間，互問互答。③教師提問，學生回答。④由一個學生按照表述提綱，從頭到尾進行講解。⑤不用看表述提綱就能系統而又流暢地進行分析講解。教師要鼓勵學生力爭達到最后兩種要求。（3）對學生的表述，要及時給予評價（初練時，要求不可太高，要逐步培養和鍛煉，要多加鼓勵與表揚），要使學生意識到，這是一項必不可少的基本功。既要鼓勵學生用自己的話來進行分析講解，更要鼓勵學生用規范的數學語言，表述出自己的見解來，在傳統的教學方法中，也有讓學生分析講解的要求，但是，從教學結構設計的角度來看，從內容到質量，從形式到時間，都缺乏明確的要求和具體的落實措施。我們在課堂經常見到的是少數優等生為“主角”，進行“表演式”的講解，中等生成了無足輕重的“配角”，差生幾乎是“聽眾”。現在，從教學結構上專門設計安排了表述這個階段，突出了表述的地位與作用，這對于克服上述缺陷，培養學生運用數學語言的能力、抽象概括能力、邏輯思維能力等，都具有明顯的促進作用。
在自學階段中，要引導學生獨立地讀書學習。學生學習知識猶如渡河，應鍛煉他們自己學會鋪路、搭橋的本領，直達未知的彼岸。因此，在自學過程中，關鍵的問題是落實“真正的獨立”，要把這部分時間“完全”交給學生使用，力戒因不必要的擔心而向學生瑣碎地補充指導，要突出地強調個人看書鉆研，讓學生有充分的機會，憑借自己的能力去消化新的知識，自我建構新的認識結構。
在練習階段中，先讓學生做基本練習，從書上的練習中，選擇與例題的結構基本相同的題目進行初步練習，練習的數量要少，重點放在學懂學會方面。教師要注意收集分析學生在練習中反饋出來的各種信息，對于具有普遍性的問題，要及時給以點拔、輔導或糾正，對于少數差生，應加強個別指導。
全日制義務教育新《數學課程標準》明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”這實際上從一個角度要求數學教師，要重視學生的認知學習。但在實際教學中，還未重視認知結構的研究運用。尤其到了復習階段，連續不斷的向學生發放復習試卷和機械地向學生布置復習題給予強化，以達到反應結果。或者在平時教學中，讓學生死記一些結論，不注重“有意義的學習”。學生的學習似乎還停留在“S—R”階段。這種簡單的操作方法在短時間內能使考試成績上去，但代價是學生沉重的學習負擔，并造成學生思維僵化，不利于培養“發展型”人才，與素質教育背道而馳。如學生對于絕對值概念，只知道│a│是a絕對值，而不明白它的真正內涵。沒有通過學生生活中已建立起來的認知概念與數學內容的新認知結構進行聯結。結果是造成對絕對值概念理解的是似而非。本文就數學學習的聯結問題及導向策略上作一些探索。
二、關于聯結理論
數學學習是什么過程？“人類的學是以一定的經驗和知識為前提，是在聯想的基礎上，更好地理解和掌握新知的。”①數學學習也不例外，這里的聯想即為知識的聯結過程。
關于聯結，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學家桑代克為代表的聯結主義的行為學習理論。二是以美國心理學家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認知學派學習理論。桑代克的主要觀點是，學習就是作嘗試錯誤。如果把當今的學習刺激設為S，學習反應設為R，學習就是S—R的聯結過程。它是在動物實驗的基礎上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現錯誤，不斷矯正，從中學會知識和技能。
而認知學派認為，學習就是知覺的重新組合，這種知覺經驗變化過程不是簡單的“S—R”過程，而是突然的“頓悟”，強調“情景的整體關系”。而以美國心理學家托而曼為代表的觀點進一步認為，在S與R之間應該有一個“中間變量”，即認知和目的，學習是期待，就是對環境的認知。因而，學習過程是一個S—O—R的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進行了發展為現代認知理論，認為“學習就是類目即及其編碼系統的形成。”②它不僅批評S—R直接、機械的聯結，而且提出學習存在一個認識過程，是認知結構的重新組合。強調原有的認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在聯系。把內在聯系的材料和學生原有的認知結構聯結起來，新舊知識發生作用，新材料在學生的頭腦中達成“內化”，學會了對“S—O—R”中的“O”的捕捉，成為真正的意義的聯結，或者說學生對新材料有了深刻地理解和超越。
顯然，在不同的時代，上述理論對數學教育都有積極的貢獻。但時至今日，在數學教育中，我們不能不重視，數學學習重要的應該是認知學習，它是一個建立學生心理內部學習機制的過程。這里要明白三點：學生學習數學，一要利用學生原有的認知結構，二要重視學生一定年齡階段的心理發展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。
三、數學學習的兩種聯結思想剖析
下面結合教學實踐，說明“S—R”與認知結構連結之間的各自意義。
例：如圖，已知在O內接ABC中，D是AB上一點，AD=AC，E是AC的延長線上一點，AE=AB，連結DE交O于P，延長ED交O于Q.求證：AP=AQ.
按“S—R”的行為主義聯結理論，可以讓學生直接操作。這時，學生可能不去仔細審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然后再回頭去審題。在點、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產生錯誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之后，再不去認識、總結。下次在碰上此題，又重新錯誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費，所學知識也難以鞏固。平時，我們老師經常說：“此題我讓學生解過，還做不出！”原因在于“S—R”聯結不是“有意義的學習”，沒有找出新舊知識之間的內在聯結，沒有建立學生的新的認知結構。
而利用認知結構理論思考，首先是認真審題，進入“上位學習”③，對自己提問：
1、見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎知識？（圖類似？還是條件類似？還是結論類似？）
2、見過與之有關的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結論嗎？引進什么輔助條件，以便利用？）
以此，把原建立的認知結構中的全等三角形、圓周角性質、等腰三角形的判定等舊知加以調運。在此基礎上，使學生進入“下位學習”④
然后，盯住目標——始終盯住要證的結論AP=AQ。就是要明確方向，哪怕中間狀態不斷變化，但始終與目標比較，及時調整自己的思路，建立“認知地圖”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什么方法能夠達到目標？（1、達到的目標的前提是什么？2、能實現其中的某個前提嗎？3、實現這個前提還應該怎么辦？）
如上題，我們不妨采用逆向分析進行探索。這是認知策略的其中一條有效途徑：
AP=AQ（目標）
∠AQP=∠APQ（前提）
以下為實現前提需找中間量，
即∠AQP=中間量=∠APQ.這時,逆向分析無法進行,此時一般就是添輔助線的時候,轉化圓周角∠AQP,連結BP,即有
∠AQP=∠ABP.
因此,只要證明∠ABP=∠APQ.
由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,
而∠PBC=∠PAC,所以,只要證∠ABC=∠E,即證ABC≌AED.
(以下略)
這樣，學生在原有的認知結構思維水平基礎上發展他的聯想思維，使新舊知識加以聯結，找到證題方法，達到解決問題，建立起新的認知結構。
因此，我們在教學中，一定要把精力化在建立學生認知結構的工夫上，善始善終加以引導。少用或不用“S—R”這種“嘗試錯誤”的機械方法，多用科學成功的嘗試，引導學生認真尋求“中間變量”，努力使學生的新舊知識加以聯結，促進學生的數學素養不斷提高。
四、數學學習聯結的教學策略
事實上就學習者對數學問題的解決，無論是數學概念的形成、數學技能的掌握，還是數學能力的培養，都是學習者由未知到已知的聯結過程，即“S—R”的聯結過程，重要的是尋求“中間變量O”，從而構建數學認知結構。所謂數學認知結構，就是學生通過自己主動的認識而在頭腦里建立起來的數學知識結構。可以這樣說，數學學習的聯結過程，就是數學認知建構的過程，學會自覺主動的尋求“中間變量”。最終達到解決問題的目的的過程。那么，在這一過程中數學學習究竟有那些規律可循？說具體一點有那些主要途徑，這里談一些粗淺的認識。
策略之一：以數學知識結構為基礎，構建學生的數學認知結構
學習過程就其本質而言是一種認識活動。因此，數學教學的根本任務是發展學生的數學認知結構，首先應明確：數學認知結構是由數學知識結構轉化而來的；要建立學生的數學認知結構，首先必須以數學知識結構為基礎，進行開發、利用，從而轉化為學生的數學的認知結構。著重把握以下三個方面：
（1）加強數學知識的整體聯系。數學是一個有機整體，各知識相互聯系，教學中教師對數學知識的組織應能促進學生從前后聯系上下照應的角度對數學知識進行整體性構建從而在頭腦中形成經緯交織的知識網絡，這是一種“情景的整體關系”。對于一個具體的數學問題，應該感知有效的信息。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個問題，就是尋求有效信息，找其聯結點；對于“準類”的一塊知識，要注意縱向聯結。如函數，初一年級學習一次式、一元一次方程、二元一次方程組時，就要向學生滲透函數思想，初二學習正比例函數、反比例函數、一次函數，要回首前面知識與函數的聯系，并在學習一元二次方程時，自然與二次函數聯結作準備。到了初三，初中數學的“四個二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函數）有機地綜合聯結；對于一章知識，要讓學生逐步自己小結，構成知識網絡，輸入大腦，形成數學認知結構。
（2）注意揭示數學思維過程。數學被稱為“思維的體操”，但是數學的思維價值和智力價值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達指令能創造出來的，課堂教學中，教師應精心創設問題情景，引導啟發學生積極思維，其間應注意兩個環節：①制造認知沖突——充分揭示學生的思維過程，即使新的需要與學生原有的數學水平之間產生認知沖突。傳統的教學在教師分析討論解題時，往往思路理想化、技巧化、脫離學生的認知規律，忽視了學生的思維活動，導致學生一聽就懂，一做即錯。學生無法達到真正的連結。為此，在引導學生學習中，為了使學生聯結中，必須充分估計知識方面的缺陷和學的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側面引起學生的注意和思考，使他們在跌到處爬起來，在認知沖突中加強聯結。②稚化自身思維——充分揭示教師的思維過程。即教師啟發引導要與學生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學中，對于各類問題，均能“一想即出，一做就對”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學生，使學生產生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發，稚化自身，象學生學習新知識的過程一樣展開教學，把自己認識問題的思維過程充分展示，接近學生的認知勢態，學生才能真正體會、感受到數學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧。③開發解題內涵——充分揭示數學發展的思維過程。在引導學生學習中，除了學生、教師的思維活動外，還存在著數學家的思維活動，即數學的發展思維過程。這種過程與經過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內容照搬到課堂上學生就無法領略到數學家精湛的思維過程。學生要吸取更多的營養，必須經自身的探索去重新發現。這就需要教師幫助學生開發數學問題的內涵，努力使學生的整理性思維方式變為探索性思維方式，有效地使學生從數學知識結構出發，構建新的認知結構。
（3）有機滲透數學思想方法。所謂數學思想方法就是數學活動的基本觀點，它包括數學思想和數學方法。數學思想是教學思維的“軟件”，是數學知識發生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對數學規律更一般的認識，它蘊藏在數學知識之中，需要教師引導學生去挖掘。而挖掘的過程就是數學認知結構形成的過程，也就是數學學習的最佳連結過程。數學方法是數學思維的“硬件”，它們是數學知識不可分割的兩部分。如字母代數思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、參數思想、變換思想、分類思想等。數學方法包括一般的科學方法——觀察與實驗、類比與聯想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數學學科特點的具體方法——配方法、換元法、屬性結合法、待定系數法等等Æ。這就要求在數學知識教學的同時，必須注重數學思想，數學方法的有機滲透，讓學生學會對問題或現象進行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助于學生一個活的數學知識結構的形成。現舉一例：
例：如圖，在線段AB上有三個點C1，C2，C3，問圖中有多少條線段？若線段AB上有99個點，則有多少條線段？AC1C2C3B
探索分析：①如果一條一條數，這是一種思想方法；②如果AB上有99個點就得另辟溪徑；③假如一開始要你對后一種比較復雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到復雜的數學方法，也就是“以退求進”的變換思想；
當有1個點C1時，有線段AC1，AB，C1A，共有2+1=3條；
當有2個點C1C2時，有線段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6條；
當有3個點C1C2C3時，有線段AC1，AC2，AC3，AB，C1C2，C1C3，C1B，C2C3，C2B，C3B共有4+3+2+1=10條；
當有99個點時，共有線段100+99+98+……+3+2+1=5050條.
這里用到了重要的歸納思想。
策略之二：以學生的層次性出發，引導學生構建新的數學認知結構
一方面，認知結構總是在學生頭腦中進行建構的。學生學習活動的主動性，自覺性是建構認知結構的精神力量；另一方面，認知結構總是不斷發生變化的，原有認知結構是構建新認知結構的基礎，新認知結構是原認知結構的發展與完善。因此教師應積極探索在課堂教學中根據學生實際按層次引導他們去構建數學認知結構。
（1）對整體水平較高的班級集體，由于學生有較豐富的知識積累，具有較強的形成“思維鏈”的能力，因而可采用快（教學節奏）、多（問題系列）、變（習題豐富多變）等思路進行教學，啟發學生的思維向縱深發展，培養學生思維的敏捷性和獨創性。促進以高效快速建構。
（2）對學生基礎和發展水平中等的班級集體，教師應以課本為本，按教材本身的內在邏輯有序地組織教學，理清知識體系，形成知識網絡，注意方法指導，培養學生自學能力和應用知識解決實際問題的能力。
（3）對整體水平較低的班級集體，重在考慮以下策略：①采用“小步子”方式循序漸進，經常“回頭觀望”，調整教學進度和內容的難易度以符合學生認知結構；②盡可能多地利用多種手段（例如：形象生動的語言或多種教學媒體的輔助）激發學生學習興趣，啟發學生思維；③對學生因新舊知識銜接不良難以遷移時，及時制定有針對性的復習對策，通過提問、書面作業、補充輔導等幫助學生過渡，以取得整體水平的提高。現舉一例課堂實錄片段，特別適用數學整體水平較低的的學生：
例：課題——無理數。學生學了有理數后，不能有效地容納無理數概念，即學生用“同化”的過程形成新概念，只能通過“順應”的過程達到無理數概念的形成。對于基礎較差的班級學生，若直接用“無盡不循環小數叫無理數”死灌，感到抽象，學生難以理解。我們不妨用形象生動的教學情景，從感知著手：教師上課進教室，手拿一個骰子。上課開始，教師問學生：“這是一件什么東西？”學生感到詫異：“老師怎么把賭具拿到教師里來，這不是搓麻將用的嗎！”引起學生一片好奇心。接著教師把一位同學請到講臺前進行拋骰子，教師作好記錄，黑板上跳出一串數：2.25361554261……，這時，教師問學生：“無盡的投下去，結果出現的數能循環出現嗎？”由于這是學生直接感知到的，又貼近實際，學生很自然地得出了無理數的概念。這是一種巧妙的聯結，是行之有效的策略。
總之，從數學知識結構本身不同層次學生來說，創設聯結的“最近發展區”，引導他們樂于構建新的認知結構這一導向策略，體現了因材施教，因人施教的原則。
策略之三：以學生發展為目標，使學生自主地構建新的數學認知結構
根據數學認知結構來構思教學策略較好地解決了知識與能力的關系，但是，教學的根本問題乃是人的問題。面向二十一世紀的中學數學教師應該看到：學生的學習主要不只是為適應當前的環境，而是為適應今后發展的需要。從當前看，學生的學習容易成為一個被動的接受過程；從未來看，他們的學習又有待于發展到完全獨立而主動的自學階段，因些，數學課堂教學的重點是要培養起獨立積極學習的態度和自我教育，自我發展的自主的、能動的、創造性的能力。數學認知結構的建立，最后歸根到底，不是依賴教師去建構，更不是簡單的聯結，而是要求學生離開教師后，能自己主動地建構。因此以“人的發展”為主題，進行中學數學課堂教學策略的探討和構思是一種趨勢。
“人的發展”是課堂教學的出發點和歸宿，而課堂教學如何促進人的發展呢？必須以培養學生獨立學習的能力為突破口，獨立學習的實質是強調學生的獨立思考。傳統的教學模式是先教后學，即課堂教學在先，學生復習作業在后。然而獨立學習將這種天經地義的教學關系（或順序）顛倒過來，先學后教，即學生首先必須獨立學習，然后再進行課堂教學。在課堂教學中應著重解決學生在獨立學習中遇到的問題。中央教科所盧仲衡先生倡導的數學自學法、北京師范大學裴娣娜教授的自主發展性教學、上海華東師范大學葉瀾教授的“自主教學”、江蘇特級教師邱學華先生的嘗試教學法、江蘇洋思中學的“先練后學”教學模式等等，不失為使學生自覺構建新的認知結構的有效連結途徑。因此，此時的課堂教學是在獨立學習的基礎上進行，其教學策略則應側重在以下幾個方面：①通過檢查閱讀筆記和作業本以及課堂小測驗或提問來了解學生獨立學習的情況；②反映和解決學生獨立學習中存在的主要問題。關鍵在于教師在引導學生對存在的問題進行分析歸類，將大部分問題在分析過程中得以解決，小部分問題則通過質疑，討論來解決；③教師應充分尋找學生思維的閃光點，讓學生充分表現，鼓勵學生大膽發表自己的獨立見解。同時教師留心尋找學生的創見，作為深化課堂教學的契機，使全班同學共同受益。④小結引導學生對本節內容進行小結，要求學生按照自己的思路的方法把小結內容記入閱讀筆記。
小學數學教師應具備怎樣的教學語言素質呢？
小學數學教師的教學語言素質包括以下兩方面的內容：一是具備較高的文化知識素質，它包括對數學知識掌握的深度，要想給學生一碗水，教師就要有一桶水。沒有廣博的知識，就不可能有科學的教學語言，就不可能吸引學生的學習注意力。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中，在談教師的教育素養時寫道：“只有當教師的知識視野比學校教學大綱寬廣得無可比擬的時候，教師才能成為教育過程真正的能手、藝術家和詩人。”
二是教師本身的素質，一名教師只有文化知識還遠遠不夠，教師是一個綜合能力比較強的職業。教師本身的素質包括：1.表達能力；2.教態；3.說好普通話的能力；還有最為重要的就是：必須熱愛教師這個職業，必須熱愛學生。
一、小學數學教學語言應科學、嚴密
數學是科學性和邏輯性很強的一門學科。小學數學是學好中學數、理、化的基礎，也是今后學好科學文化知識的基礎；因此，小學數學的教學語言應該是科學和嚴密的。
有的教師教學語言不夠科學，也不夠嚴密。例如：在教學“三角形的初步認識”這節課時，當教師對三角形下定義時，說：“由三條邊組成的圖形是三角形。”這是不嚴密的，因為三條邊組成的圖形可能是三條不相交的直線。這樣說才是正確的：“由三條邊圍成的圖形是三角形。”
有的教師在教學“長方形、正方形和平行四邊形的認識”這節課中，在比較長方形和正方形的異同點時，學生說，“相同點是長方形和正方形的四個角也都是直角；不同點是長方形的對邊相等，而正方形的四條邊都相等。”比較異同點的目的是什么呢？教師不清楚，學生也就不清楚了。接下來教師一定要問：“長方形和正方形有什么關系呢？”可是教師沒有問，學生也不知道。正方形是特殊的長方形，也就是正方形包含在長方形中。接下來學平行四邊形，比較平行四邊形和長方形的異同點，相同點是對邊相等，不同點是平行四邊形的四個角不是直角，而長方形的四個角都是直角。最重要的是平行四邊形和長方形有什么關系？長方形、正方形和平行四邊形有什么關系？教師沒有問。為什么把長方形、正方形和平行四邊形放在一起認識，而不把長方形、三角形和圓放在一起認識呢？因為長方形、正方形和平行四邊形有包含關系，正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形，它們又都是特殊的四邊形，還可以畫一個示意圖。而這節課教師只講了這三種圖形都是四邊形，它們各自的特點，它們之間的異同點，它們之間的關系也是最重要的，教師沒有問，也沒有講。教師只有把舊知識和新知識聯系起來，教給學生一個完整的知識體系，這樣才能使學生頭腦中的知識形成一個完善的知識結構，這樣的知識才是完整的、科學的和嚴密的。
二、小學數學教學語言應準確、精煉
有些教師不注意自己的教學語言，隨意性很大，例如，在教學“長方形、正方形和平行四邊形的認識”這節課中，復習一道判斷四個角是不是直角的題，教師出示的題目是“判斷出直角”，這話很不規范、很不準確。應該說，“判斷下面每個角，哪個是直角？”
有些教師就比較注意自己的教學語言，在課堂上語言比較精煉，沒有多余的話。在教學“三角形的認識”這節課中，教師問完好以后，接著說：“先拿三根小棒，圍一個圖形，誰愿意到前面來做？”單刀直入，開門見山，直入課題，沒有浪費學生寶貴的時間。有的教師話就比較多，語言不夠精煉。問完好以后，她說：“今天，我們要在這里上一節數學課。大家看一下，教室里來了很多領導和老師，還有校長，希望同學們就象在自己班級上課一樣不要害怕，積極思考，主動發言，讓領導和老師們看一看，好不好？”沒用的話，與這堂課的知識內容沒有關系的話，請不要說，不要浪費大家的時間，上課的時間多么寶貴，就40分鐘啊！
三、小學數學教學語言應形象生動、有啟發性
教師形象生動的語言，帶有啟發性的語言，能激發學生的學習興趣，進而能調動學生學習數學的積極性，讓學生主動學習。例如：長春市第二實驗小學鞠孟賢老師，在講“兩步計算應用題”時，她把兩步計算應用題中的間接條件，用一個非常形象的字“藏”來代替，她說：“這里還有一個條件，藏起來了，誰能把它找出來？”學生的學習興趣被這一生動的字調動起來了，他們都想自己找出來。
再如教師在講“小數的性質”這節課中，教師上課的第一句話就說：“你們去過商店買過學習用品嗎？”一句話就把學生的學習興趣調動起來了，因為買學習用品和他們的生活太貼近了。教師接著說：“文具盒5元，圓珠筆1元6角，你們會不會寫？”讓學生動筆寫，這樣有兩種不同的寫法：5元，5.00元；1.6元，1.60元。教師又接著說：“同樣的錢為什么用不同的形式表示？你們想不想知道？”這誘人的加之親切的語言，激發了學生的求知欲，全班學生都盯著教師想知道為什么。
我們聽過不少這樣的課，課堂氣氛沉悶，教師說的話很多，而且重復的話很多，多數學生沒有發言的機會，只有個別幾個“好”學生才有發言的機會，全班學生沒有動起來，所以課堂氣氛沉悶。我們要求教師在課堂上，要充分發揮教師的主導地位，讓學生主動的學習，主動的獲得知識。教師在課堂上，應提出一些啟發性的問題，尤其是在新舊知識的連接點上，讓學生積極思考，如果大多數學生沒有想出來，那么可以讓學生前后桌討論一下，讓全體學生都有發表自己意見的機會，這樣課堂氣氛絕不會沉悶了。
四、小學數學教學語言應鼓勵學生學習的積極性
教師在課堂上，應該經常用一些鼓勵性的語言，使學生能夠自覺主動的學習。例如，在講“一位數除三位數”的教學中，教師出示題：428÷2，教師說：“根據這道題的特點和一位數除兩位數的計算方法，你有勇氣獨立完成這道題嗎？”當全班學生都做對時，教師又說：“你們真聰明！”這樣的語言對學生的學習積極性是很大的鼓舞和推動，而且師生的情感得到發展。“老師對我們真好，我可喜歡學數學了。”“我非常愿意學數學。”
有很多教師愿意把學生分為好學生、中等學生和差學生，這是從學習成績來分的。但是，我們最好不要這樣分，這樣會傷他們自尊心的。我們不妨這樣分：對學習有興趣的，積極主動學習的學生；對學習興趣不大，但比較聽話，老師讓我學，我就學，被動學習的學生；再就是對學習一點興趣也沒有，或學習有困難的學生。學習有困難的學生，對學習不感興趣的學生和被動學習的學生，有時會對學習采取冷漠的態度，教師就要以滿腔的熱情去溫暖這些冷漠的心，讓他們逐漸解凍，恢復活力。
在課堂上，經常會看到這樣的情景：當一名學生正確的回答了教師提出的問題或一名平時不愛發言的學生把問題回答正確，教師會說：“同學們，鼓勵他！”全班同學會熱烈的、帶有節奏的鼓掌；有的老師還會用親切的語調說：“回答得非常好！”“李聰，今天表現得真好！”我想：就這樣一句話，會使這名同學全天都能愉快地學習，甚至，從此以后，他就非常喜歡數學了。
教育家赫洛克作了一個有名的實驗，他把學生分成四個組，學習同一難度的內容，第一組為受表揚組，經常受到表揚，成績扶搖直上。第二組為受譴責組，責備經常不斷，這些責備，開始起點作用，后來就“疲”了，成績就持續下降。第三組為被忽視組，只是在一旁靜聽前兩組所受到的表揚與譴責，自己既得不到直接的表揚，也不遭受直接的譴責，學習成績比前兩組都差。第四組為控制組，既不給予任何表揚與譴責，也不讓他們聽到對前兩組的表揚與譴責，學習成績最差。由此赫洛克得出結論說：“獎懲都是必要的，不給予獎懲會引起學習下降，而獎勵比懲罰對學習的促進作用更大。
教師要善于表揚學生，尤其是對學習沒有興趣的學生和學習有困難的學生。有的老師會說，這樣的學生沒有優點，怎么表揚他呢？做一個細心的教師，只要發現學生有一點點進步，那怕是微不足道的，你也應該及時的表揚他，鼓勵他，使他感到我也有優點，我也能進步。如上課時，當你提出比較簡單的問題時，讓他回答，及時表揚他、鼓勵他，“他回答得非常正確，進步很大。”還有的學生上課舉手發言，即使他回答錯了，你也要鼓勵他，“看他能大膽發言了，雖然問題回答得不完全正確，但是他已有了很大的進步，我相信下一次他一定能把問題回答正確。”對于學習有困難的學生或不愛發言的學生來說，老師能表揚他、鼓勵他，他當然非常高興，甚至非常自豪，由此他會對學習產生興趣，會認真的聽課，積極的發言，這樣他的學習成績會很快地提高。
五、教學語言要用標準的普通話，克服方言
有的教師一定要問：又不是語文課，數學課為什么還要用標準的普通話呢？我省有的地區普遍有地方口語，就是平翹舌分不清。如：14，他們發“十市”。我國很早以前就提倡說普通話，這里說的普通話是標準的普通話。我們到南方一些省市聽課，老師和學生們說的都是普通話，而且都很標準。我省有幾個地區有地方口語，要改變家鄉的面貌，首先從教師做起。教師說的不是標準的普通話，這樣會影響學生的學習質量。
教師發音是否準確，也標志著教師的業務水平。發音不夠準確的教師，可以查字典，請教發音準確的教師，師生之間可以及時糾正；學生發言時，如果發音不準，老師和學生都可以及時糾正。
六、教師自然得體的教態是無聲的教學語言
教師的教態一般是指，教師的外表、說話的表情以及說話的語調等等。
教師的教態非常重要，我們一般要求教師表情親切，語調適中。教師笑盈盈地面龐，親切的目光，使學生感到老師可敬可親。這樣老師和學生之間的距離拉近了，學生就會主動、自覺地學習。遼源第一實驗小學吳敏老師的教態就是非常自然的，她的聲音也非常美，聽她講課就是一種享受。而且她和學生的感情也很好，課堂氣氛很活躍，學生敢想敢說，他們不害怕老師，說錯了，老師也不會批評他們，經常這樣訓練，學生的語言表達能力和思維能力都能得到提高。
還有吉林市第一實驗小學陳曉梅老師，她的教態也非常自然得體。
我們也聽過一些這樣的課，教師板著面孔，說什么話，都是一種語調。語言沒有錯誤，復習、新課、練習，一步是一步，課堂氣氛死氣沉沉，好象學生都在聽講，其實學生的思維已不知飛向何方了。
（一）
中學是大學的基礎，大學教育要想有一個好的開端，就必須提高中學教育的質量和水平。就中學教師來說，人人都希望自己的教育與教學活動能高效率，但這并非易事，它涉及到方方面面的諸多因素，如自己的工作能力、教育的大環境與小環境等主客觀原因，無論如何，學習、掌握、借鑒各種優秀的教育、教學方法則是非常必要的。作為一名數學教師，應該了解國內外先進的數學教學方法，找出各種方法的優缺點，然后根據中學的實際情況，吸收他人教學方法的長處，使自己的教學更上一個新的臺階，從而促進中學教學方法的不斷完善和發展。
國內外中學數學施教的對象都是中學生，年齡段在13-18歲，心理發展階段屬于青少年期，他們具有相似的心理和認知水平，教學內容大同小異，所要達到的目標和遵循的原則基本一致；正是由于在施教對象、教學內容、教學目標等方面具有共同性，因此中學數學教學存在著可比性。比較中西方中學數學教學方法，發現有如下的相似之處：
(1)教學程序基本一致。各國中學數學講授新課基本上采用這樣的程序：老師提出問題，學生自學預習：學生在老師的指導下理解所學的內容；鞏固所學的內容；檢測所學的知識。
(2)講授法是各國中學數學教學普遍采用的基本方法。不論中國還是美國，或者西方其他發達國家，數學知識的傳授基本上是以講授法為主，其他方法為輔助。
(3)普遍重視啟發式教學。第二次世界大戰后各國都進行了程度不同的教學方法改革，中學教學也不例外。通過教育改革各國都重視如何提高學生素質、培養能力的教學，尤其重視啟發式教學思想在學科教學中的應用。①
從中學數學教學實際來看，我國的教學方法與西方發達國家的相比，存在著差別，主要表現在：
(1)教師與學生在教學過程中關系和作用不同。中國大部分的教學方法都是以老師為中心，有“重教輕學”的傾向，在教學過程中大都是采取灌輸式的教學方法。這主要是我國長期的應試教育導致的。盡管我國的教育改革努力向素質教育的方向發展，但由于中考、高考對學生的影響仍然很大，使得大多數學校教育自覺或不自覺地滑向了題海戰術、應試教育。這樣的教學方法雖然有利于學生記住數學概念、數學公式，在一定程度上掌握了較深、較難的數學知識。但弊端是很明顯的，它不能很好地調動學生的興趣，束縛了學生學習的主動性。而國外特別是發達國家的教學方法重視學生自學能力的培養，注意探索學生的好奇心；多采用啟發式教學方法，注重應用教育，鼓勵學生發展。在教學過程中講究自愿，學生享受學習的充分自由，學習比較輕松愉快。
數學教學中學生與老師的關系不同也造成教學氣氛有明顯的差異。發達國家中，老師和學生基本上是朋友關系，可以互相自由地交往、交流，教師在教學過程中起輔導提示的作用。課堂上老師有目的地讓學生討論，學生可以自由出入，有時老師甚至可以別出心裁地把課本搬到野外與學生們一起在明媚的陽光下、柔和的清風中愉悅地學習。這種教學方法能促進學生積極開動腦筋，增加對學習數學的快樂，減輕學生壓力，造成歡快的教學氣氛，但中國學生長期以來處于嚴格的課堂管理中，強調教室、強調自己的座位，老師也不敢放開，擔心過分放松，會造成課堂上活潑有余、嚴肅不足和自由散漫的混亂場面，因為學習到底不是娛樂。同時由于中國傳統思想習慣不同，在嚴重“尊師”思想的影響下造成了老師與學生之間存在不可逾越的“鴻溝”，在教學過程中教師往往過分嚴肅，學生過分緊張，再加上數學不同于文科，故事性的內容少，更加使學生失去學習的興趣，學生很容易感到疲憊懈怠，致使一部分學生特別是差生把學習數學當成是服“若役”。
(2)對培養能力與個性發展的重視程度不同。在發達國家中強調個性的培養，鼓勵學生自由發展，因而分層次個體教學方法使用得比較多。比如他們在教改中提出的非學校論的教學方法，及計算機程序教學法（把所要學的知識編成程序，讓學生面對計算機自學）。這些方法強調自學，注重因材施教，能較好地培養學生自學能力，滿足不同學生學習的需要。但這樣的教學方法也存在一定的弊端，如使學生很少聽到老師主動的講解，難以與同學進行互相幫助，互相影響；此外使學生很少接觸到課本以外的數學知識，影響學生的社會化。我國一般采用的教學方法大多是集中型吃“大鍋飯”的統一的教學。這樣的教學方法雖然有利于學生系統地掌握知識，有利于教師全面考慮、統籌安排，教師易于把握節奏。但是容易造成優差生的嚴重分化，教學沒有針對性，不利于因材施教，實際上忽視了個性的差異。
在國外的數學教學中，注重對學生的了解和溝通。如美國一些學校使用的教學日記法，學生以日記的形式記錄教學中的思維過程、心理狀況，使學生與教師能經常通過日記進行交談，教師易于了解學生的認知水平、知識經驗、興趣及個人思維風格等非智力因素的個體差異，教師能從學生的這些資料中綜合出各種學生的成就抱負水平、焦慮水平、意志水平，從而設計出教學方案，提高教學水平。而我國教師過分注重智力因素，相對忽視了非智力因素，教師和學生的交流少，自然而然在他們之間形成隔膜，老師對學生的心理、情感、動機、興趣難以了解，無法得到反饋，學生的焦慮、交際需要等得不到及時的滿足。導致學生學習積極性不高。教師的教學具有很大盲目性。②
(3)培養學生的數學意識與應用數學教育的思想存在差異。國外的教學方法一般注意培養學生的數學意識。重視應用數學教育，具體反映在注重數學與日常生活的聯系，數學中采用的例子盡量來源于現實生活。如日本的CRM教學法（復合的現實數學教學法），在教學過程中選取一些學生熟悉的事物，針對其中所包含的數學知識進行討論和探索，最后得出結論。這種教學方法深化了學生對數學知識的理解，有利于培養他們利用數學眼光看問題和建構數學模型的意識，培養了用數學方法解決實際問題的能力，學生畢業后能較好地適應社會的需要。當然如果過分地聯系難免有牽強附會之嫌。我國的教育目標雖然說重視應用教育，但至今未有與之協調的教學方法，事實上成了紙上談兵，仍然只是從數學本身的結構出發培養學生的數學素質，造成曲高和寡的情形。另一方面，中國當前的教育方法對培養學生的解題能力非常有效，善解題是中國教學方法中比較突出的特點，這從數學奧林匹克競賽中取得的突出成績可以看出。
(4)教學中使用的工具和教學媒體也存在著差異。國外由于經濟和科技發達，直觀教學手段有了極大提高，計算機輔助教學及各類教學媒體普遍被使用。隨著我國教育的改革，中國也力爭改善教學手段，如多媒體教學，但由于經濟、科技等方面的原因，多媒體的普及遠遠不是近期可以實現的。③
（二）
當前我國的教育改革在極力推進由應試教育向素質教育的轉軌，因而以后教學的關鍵是如何提高學生的素質。所謂的全面素質可以概括為“四素質三能力”，即：文化科學素質、思想道德素質、身體心理發展素質、勞動技術素質等四素質和邏輯思維能力、應用能力、創造能力等三能力。故通過中外數學教學方法的比較，結合我國的實際情況，按照素質教育的要求，我認為改進教學方法應從以下幾個方面入手：(1)重視教師和學生的交流，改善教師與學生的關系，加強對學生的全面了解，調動學生的積極性；(2)重視能力的培養，真正做到使學生的素質全面發展；(3)改進教學方法必須與改革考試制度相聯系，不破除升學率的壓力，就無法使教師與學生從考試的繁重負擔中解放出來。必須改變考試凌駕于教學之上，考試是“指揮棒”的不合理狀況，使考試成為教學的檢測手段，起輔助教學的作用。
教學有法，但無定法，世界上沒有一種放之四海而皆準的教學方法，因而對任何好的教學法都不能完全照搬，而應根據實際情況，吸取合理的思想和有效的成分，創立一套合符實際的教學方法；在教學中不要固守一兩種教學方法，而要根據不同的教學內容、不同的學生采取相應的教學方法，因材、因人施教是教學方法的唯一出發點。
主要參考文獻
①王子興主編《數學教育學導論》，南寧：廣西師范大學出版社
[鍵字]件數學教學效果
人類已進入信息時代，以計算機和網絡為核心的現代信息技術正在越來越深刻地改變著我們的工作方式和學習方式。所謂多媒體課件，簡單地說就是利用數字處理技術和視聽技術，以計算機為中心，按照教師的教學設計，將文字、語音、圖像等多種媒體信息集成在一起，以實現對教學材料的存儲、傳遞、加工、轉換和檢索的一種現代教學技術手段。由于它圖、文、聲、像并茂，能夠實現人機頻繁地多種交互控制，方便輔助教學，所以越來越受到人們的重視。在中學數學教學中，適時恰當地運用多媒體課件進行輔助教學，利用其圖、文、聲、像并茂的特點，創設具體的教學情境，可以充分調動學生的學習興趣，可以使抽象的教學內容具體化、清晰化，可以開拓學生的思路、增強思維靈活性，還可以有效地發揮學生學習的主動性，使他們積極參與教學過程，從而提高教學質量，優化數學教學過程。
一、創設情境，激發學生學習興趣
一堂好課好比一本趣味盎然的好書，開篇就該引起讀者的興趣。課上，巧妙成功的開頭，能有效地激發學生的求知欲，使他們的注意力很快地集中到教學內容上去，學生在輕松愉悅的氛圍中由被動變主動，暢游課堂，學習新知識。
例如，我在上一節數學歸納法的課時，我可以讓學生先看看電腦投影機上的先后出現的幾張撲克牌紅桃2,紅桃3,紅桃4,,然后蓋住一張牌讓學生猜它是什么牌，學生馬上有很多猜是紅桃紅桃5，當我用鼠標點開這張牌時發現它是張牌確實是紅桃5，他們很開心，然后我蓋住一張牌讓學生猜它是什么牌，學生馬上有很多猜是紅桃6，而當我用鼠標點開這張牌時，同學們發現它是一張黑桃Q,這時我及時由不完全歸納法的不足引入數學歸納法的概念。學生對數學歸納法就有了極大的學習興趣，使我這堂課上的很活躍。
像這樣，在課堂伊始，讓學生欣賞一段動畫，傾聽一段音樂來引入課題，能極大地激發學生的學習興趣，喚醒他們的有意注意，在活躍的課堂上，學生的心會一直被教師引導著，使教學過程順利進行，從而提高教學效率。
二、變抽象為直觀，突出重點，突破難點
由于多媒體課件形象具體，動靜結合，聲色兼備，所以在課堂上恰當地加以運用，可以變抽象為具體，調動學生各種感官協同作用，解決教師難以講清，學生難以聽懂的內容，從而有效地實現精講，突出重點，突破難點。
比如我在講數學歸納法的概念時，我首先讓同學們看一段多米若骨牌倒下的動畫，然后讓同學們歸納出要所有的骨牌倒下，骨牌必須滿足哪幾個條件，當學生們歸納出第一、要第一張牌倒下，第二、要每張牌倒下后它后面的牌一定能倒下，這時我們就能推斷所有的牌一定會倒下，這時我就歸納出證明中的關鍵兩步，第一、當n=n0（例如n=1或n=2等）時結論正確，第二、假設n=k（k∈n*且k>n0）時結論正確,證明n=k+1時結論也正確。然后讓學生對比著兩者來理解數學歸納法的本質，及其在證明中運用兩步走的方法的原因，再通過幾個實例練習后，讓學生通過一個直觀的動畫深刻理解了數學歸納法這個較抽象的概念。
又如在上一節折疊問題專題課中一道題
下面左圖為一個簡單多面體的表面展開圖（沿圖中虛線折疊可還原），則這個多面體的頂點數為個
學生對于這個立體圖形沒有一個形象的思維，但是通過電腦動畫演示整個折疊過程，最后結果如右上圖，學生馬上就可以知道答案是七個角。
另外在的一個教三視圖課堂中，如果要求學生們通過觀察下圖左邊三個側面圖想象實物圖象，這是比較難的事，但是如果通過如圖的各個對應面閃爍動畫演示，學生就很容易理解。
動靜結合，引發了學生的思維，提高了學生的注意力，融化了知識的難點。
三、調整學生情緒，調動學生積極性
實驗心理學家Treichler做過兩個著名的實驗。一個是關于人類獲取信息的途徑。他通過大量的實驗證實，人類獲取的信息83.5%來自視覺，11%來自聽覺，3%來自嗅覺，1.5%來自觸覺，1%來自味覺，可以看出，人們通過聽覺和視覺獲得的信息占其所獲得總信息的94%；另一個實驗是關于知識保持即記憶持久性。結果是，人們一般能記住自己閱讀內容的10%，聽到內容的20%，看到內容的30%，聽到和看到內容的50%，在交流過程中自己所說內容的70%。另外，記憶率的研究結果表明相同的結論。心理學家研究記憶率發現，對同樣的學習材料，單用聽覺，三小時后能保持所獲取知識的60%，三天后則下降為15%；單用視覺，三小時后能保持70%，三天后降40%；如果視覺、聽覺并用，三小時后能保持90%，三天后可保持75%。
因此，如果在教學的過程中，能同時調動學生的視覺、聽覺、觸覺等多種感知器官參與感知活動，從而會有助于學生對知識的理解和接受。
計算機的強大媒體處理功能使我們現代課堂教學有了新的發展，用計算機制作的課件實現了文字、圖形、聲音、動畫及活動影像等多種媒體間的互相配合和協調呈現，把電視機所具有的視聽合一功能與計算機的交互功能結合在一起，產生出一種更合乎自然的交流環境和方式，直接訴諸學生的多種感官，調動學生主動運用多種感官積極參與媒體的活動，使學生由知識的被動接受者轉變為知識的主動發現、探索者。在教學過程中有效地激發了學生的學習興趣，使學生產生強烈的學習欲望，形成學習動機，更積極有效的接受知識。
在多媒體計算機交互式學習環境中，學生還可以按自己的學習基礎、興趣來選擇自己所要學習的內容，選擇適合自己水平的練習，甚至能夠選擇教學模式。這種主動參與性為使學生發揮積極性、獲得有效認知創造了很好的條件
四、運用多媒體課件教學，增加課堂的信息容量
傳統的數學授課中,由于教師可利用的教學手段少，而數學概念抽象而枯燥，學生接受的刺激單調，呆板，往往興趣不濃，課堂效率不高，容量當然就小。利用CAI的先進技術，課堂教學就可以變得生動活潑。
首先，計算機的信息存貯量大、處理迅速，具有方便的人機交互功能。我們在分析數學概念時，可設計一些與概念相關情境，從多個角度、不同層次考察，學生就可以全方位的把握概念的內涵和外延。同時在展示問題時，設置“飛入”、“百葉窗”、“螺旋”等動畫效果和“打字”、“機關槍”、“爆炸”等聲音效果，或把重點、難點的內容設成彩色文字，以刺激學生的視覺和聽覺，加深學生的印象，使學生很好地記憶和理解數學概念。
其次，利用計算機的模擬功能，可使抽象內容形象化，靜止內容動感化，枯燥內容生動化，重點內容突出化，為學生創造生動、活潑、直觀、有趣的教學條件，可極大地調動學生的學習熱情，激發學習動機，便于學生形成有意注意，消除學習的疲勞和緊張。這樣做既有助于學生良好的心理品質的形成，又使學生獲取準確、深刻的直觀感知，從而形成完整的理性認識，提高課堂教學質量。比如在進行三角函數圖象變換的教學時，通過幾何畫板生動的動畫功能演示出y=sinx變換成圖象的相位、周期、振幅的變化的全過程，變課本上死板的畫面為栩栩如生的動畫，使學生獲得充分的感性認識，從而加深對知識的理解和掌握。對學生而言，課堂教學中運用CAI手段，形成多角度、多層次的信息剌激，能夠強化學生對知識的記憶和理解，縮短學生對知識的掌握時間，提高了學生學習的積極性，擴展了學生的知識面，在提高課堂容量的同時，提高教學效益。特別是上高三數學復習課時，因為很多知識都是學習過了，所以學生主要需要的就是大量的做練習，這時如果運用多媒體課件就可以節省許多的板書時間，而且可以通過形象的圖形及動畫使得解題過程更易理解，從而節省了講解題目的時間，最終可以使得一節課的題目容量大大增加。
五、通過多媒體課件，讓學生多了一種自學途徑
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、本畢業論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。本畢業論文由整理提供比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。
通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。超級秘書網