時間：2023-11-10 11:08:23
導語：在高中數學片段教學設計的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
關鍵詞：課堂教學模式；單元教學；教學原則
《普通高中數學課程標準（實驗）》的實施建議指出：“豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念。”筆者在三十余年的高中數學教學中，經過長期探索，總結出以“自學自改”為引領的高中數學單元教學新模式。
這一教學模式以單元為學習單位，每個單元用三個課時完成。一個單元包括三種課前作業和六個課堂教學環節（見下表）。其中三種課前作業分別為自學自改、展題探究和過關檢測，三種作業要求分別在一個單元的三節課前完成。六個課堂教學環節分別為作業展評、問題討論、背景拓展、展題展示、疑難解析和歸納引申等，依次每兩個環節用一課時完成。在筆者看來，其中的“自學自改”環節是該教學模式中最關鍵的一環。
突出“自學自改”的高中數學單元教學各環節分布表
下面我結合《普通高中課程標準實驗教科書（數學）》選修4-4坐標系與參數方程中“直線的參數方程”一單元（以下簡稱本單元）中的教學設計片段，介紹單元教學的流程，并簡單分析實施這一教學模式應遵循的教學原則。
一、第一課時教學設計
1.自學自改――自主體驗增強自信
一個新的教學單元的第一課前，教師布置學生完全自主學習，包括閱讀教材、完成作業、核對答案、糾正錯誤四步，即“自學自改”。
當前，高中數學教學中普遍存在讓學生“悟”的過程太短，常常是直接介紹知識點后進行海量做題的狀況。而且課前普遍采用導學案，導致給學生預設的環節過于充分，課堂進行得過于順暢，擠壓了學生獨立思考和交流的空間。
“自學自改”不設課前導學案，完全放手讓學生自主學習，增加了學生“悟”的時間，讓學生全方位體驗閱讀、思考、理解和應用的完整過程。
2.作業展評――典型問題精準解決
第一課時的第一個環節，教師評價作業，師生探討作業照片中的問題和產生的原因。
教師在課前檢查、批改、整理學生自主學習后完成的作業，對各小組作業數量、質量進行量化統計。教師根據作業的情況了解學情，摸清本節學習容易出現的問題，挑選重點題目作為作業展評的教學內容。然后篩選最有代表性的作業，拍照準備課堂上使用。
上課后，教師首先簡短引入，然后對各小組作業完成的情況進行表揚或批評，最后與學生共同分析典型作業。主要和學生共同探討作業的質量優劣及原因。
下圖是本單元中利用參數t的幾何意義解題時的作業，教師可以依次詢問學生以下問題：“這個表達有問題嗎？”“哪一步有問題？”“前面式子中的和與積和后面結論中的和與積各指的是什么？”“中間過程缺了什么？”“請大家寫出該題的步驟！”只要學生能回答清楚這些問題，那么他們對參數的幾何意義就能正確理解。
這個教學環節類似于作業講評，之所以把它放在教學的第一個環節，是因為“自學自改”后，學生會產生很多模糊的認識，教師及時給予準確地反饋，學生理解知識的效率就會提高。
3.問題討論――合作探究領悟內涵
第二個環節針對教師出示的問題，學生進行小組討論。
要求學生在小組內圍繞老師的問題提出疑問、發表看法，形成全組統一的答案，準備參加全班交流。
討論結束后，教師組織小組代表在全班進行交流，教師總結點評。
比如，在本單元中，我們給出下列問題供小組討論：
問題一：對于直線的參數方程x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t為參數），x0，y0，？琢，cos？琢，sin？琢分別表示什么？
問題三：通過問題二中的向量等式解釋t的符號和大小分別具有什么幾何意義？
問題四：如何用直線x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t為參數）中的參數t的值t1，t2表達弦長？弦的中點？為什么？
以上問題從基本知識到基本方法層層遞進，由易到難。學生經過認真思考、小組討論和全班交流，必定會準確地理解相關知識。
實踐表明，小組討論對于增強語言表達能力、提高合作意識和合作能力，對于提升學習的自信心都有好處。因此，從學生的發展來考慮，我們沒有理由不把問題討論引入課堂。
二、第二課時教學設計
1.展題探究――獨立思考，精研細磨
第一節課后，布置學生完成指定的展題，要求盡可能一題多解。學生通過自主完成展題，加深對知識的理解，提高學生分析問題和解決問題的能力。
2.背景拓展――擴大范圍，突顯價值
運用思維導圖將思維外化為圖，幫助學生梳理解題思路，使數學概念和知識系統化，實現個性化的高效記憶．如理解不同象限角的三角函數值正負時可以借助“才”字決．思維導圖有利于迅速激活學生的空間智能，給學生予視覺沖擊，利用他們的好奇心，給充滿枯燥數字和公式的數學課多增添一些光彩，也可以讓一些空間智能稍強但數學學習困難的學生學會把知識、學習材料和概念圖像化，用另一種方式建構數學知識．我相信，如果可以經常運用這種思維導圖，即增進了學生的記憶力和圖像表征的能力，又提高了系統掌握數學知識的水平．
二、組織“做數學模型”和“數學實驗”的活動
高中生有一定的創造力和想象力，對于高中數學課程的某些模塊，教師可以結合做實驗展開教學，讓學生在做中學到真正能應用的數學．例如:《幾何概型》這一課時完全可以利用隨機摸地球儀的實驗證明海洋占地球表面的三分之二;必修二中空間點線面的關系則必須要經常借助現有的場景，如墻角、書本和紙筆等進行觀察;對于“等底等高的錐柱體積為一比三”的結論，可以讓學生制作相應的學習道具，進行試驗再得到;所有的函數圖像均可以借助幾何畫板軟件作出，那也是很好的數學實驗．組織“做數學模型”和“數學實驗”的活動可以很好地促進身體－動覺智能、自然觀察智能以及視覺－空間智能等智能的發展，是很好的教學方式．
三、鼓勵學生利用微信、博客或QQ流心得
如今，國內沿海的學生很幸福，基本上可以用手機上網，這讓他們實現網上交流學習心得成為可能．利用微信、QQ日志和QQ群可以讓學生記錄自己對某些數學問題的理解、解答，也可以對教師的教學設計提出改進的意見．網上心得交流可以包含四個方面的內容:一是對課堂上老師講授的數學定義、解答方法和推理過程的掌握程度的反饋;二是對教師的臨場發揮和教學過程進行簡單評價及褒揚，包含對交流活動、作業布置和測試等流程發表意見;三是無主題漫談，可自由表達自己的經驗、困惑或者尋求幫助等;四是建立一個屬于個人特色的錯題備忘錄，用最簡單的文字備份自己在學習過程中掌握較差的知識點．通過網上交流心得和記錄學生自己的學習日志，學生可以對自己的學習和成長不斷反思，同學之間也可以互相參考學習方法，解析自己且鞭策他人，增強自我認知智能，提升書面語言表達能力和解決各種邏輯—數學問題的能力．
四、音樂智能在教學過程中的合理運用
【關鍵詞】價值；原則；方法；意義
初中數學是一門理論性和實用性較強的學科，枯燥的理論知識容易讓學生們產生厭倦，而活潑、有趣的數學情景模式的創設正是解決這一問題的鑰匙。
我們為什么要創設初中數學教學情境呢？筆者認為主要是因為初中數學情境的創設具備以下三個方面的價值。
一、情境創設的價值
1.可以增強學生學習數學的興趣。
數學問題情境的創設，可以把枯燥的數學學習變成生動、活潑、直觀的學習，能夠激發學生學習數學知識的興趣。
講述九年級上冊《車輪為什么做成圓形》這一節課的內容時，我的教學情境設計片段如下：
（1）多媒體演示：一輛卡車在高速公路上直馳的情境。卡通人物畫外音問：“卡車的輪子為什么要做成圓的？假如卡車的輪子做成三角形，卡車行駛起來會出現什么情況？”
（2）讓學生分組討論。
（3）教師提問各小組的討論情況。
（4）多媒體演示：把上面卡車的輪子改成三角形或四邊形，卡車在高速公路上一瘸一拐、慢吞吞地行駛。
學生在我教學設計的指引下進行探究，馬上引起學生的共鳴，學生們熱烈地進行小組交流，達到了預期的教學效果。
2.可以讓學生們深刻體會數學來源于實踐又指導實踐的理論思想。
通過一個個數學情境的創設，能讓學生們充分理解數學學習是前輩們從無數生活實踐中經過艱辛的努力得出的結晶，而這些結晶又反過來指導生活實踐，促進實踐的進步。讓他們初步體會數學學習的價值和意義并能初步培養他們數學研究的思維。
3.可以提高學生們的動手能力。
教師通過操作數學情境的創設，讓學生參與數學學習的全過程。在實際操作過程中探索數學的奧秘，從而不僅可以提高學生的動手能力，還可以提高學生分析問題，解決問題的能力，還可充分調動了學生學習的積極性，學生的思維一下子得到激發，學生掌握知識快、掌握知識牢固，教學效果不言而喻。
二、情境創設的原則
1.注重形象化和直觀化。
形象化、直觀化的問題情境適合初中生思維形象具體的特點，容易被學生理解，集中學生的注意力，從而激發學生學習的主動性和積極性。例如在講解《正數和負數》的時候，教師事先準備一個學生熟知的溫度計，引導學生觀察溫度計的刻度，使學生們很容易理解正負數的概念。這種形象直觀的演示，教師易操作，學生學習的興趣濃厚，教學效果可想而知。
2.注重問題的層次性。
情境的設計必須由淺入深，由易到難，層層遞進，把學生的思維逐步引向深入。創設階梯式問題情境，把大的問題化成一個個小的問題，而且前面的小問題提示學生思考后面的小問題，化難而易，從而可以讓學生們易于接受樂于接受。
3.注重發散性。
教學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，而初中生的思維正處于以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式逐步過渡的階段，數學知識的抽象性與學生認識的具體形象之間存在著矛盾。因此，在初中數學教學活動中，應以問題為主線，通過創設問題情境來調動學生思維的參與，激發其內驅力，使學生真正進入學習狀態之中，達到掌握知識、訓練思維和提高能力的目的。
4.注重問題性。
“問題”是探究的方向與動力，是學生學習新知的源頭所在，學生要在解決問題的過程中學會學習，建構新知，根據學習內容，創設學生熟悉或感興趣，與學習新知緊密相關的情境，利于學生提取信息，提出數學問題。
5.注重啟發性。
作為數學情境的材料或活動，必須富有啟發性，能激發學生的求知欲，引發學生廣泛的聯想和想象。
三、情境創設的方法
1.在學生生活經驗的基礎上創設問題情境。
數學來源于實踐，又去指導實踐，這是數學研究和學習的思維。同樣在數學教學過程中，我們也應當遵循這一指導思想，從初中數學學生所具備的基本生活經驗出發，創設他們能夠理解和易于接受的實際問題。當數學和現實生活密切結合時，數學次優生命力，數學教師設計貼近生活數學情境入課，學生們才會感到親切和易于理解和接受。
2.講述數學典故來創設問題情境。
歷史上的數學典故有時反映了知識形成的過程，有時反映了知識點的本質，用這樣的故事來創設問題的情境不僅能夠加深學生對知識的理解，還能加深學生對數學的興趣，提高數學的審美能力。如在學習“圓周率”的時，教師可以講述祖沖之是怎樣通過艱苦的努力得出圓周率，并講述這一研究成果的歷史地位和意義。
3.“試誤性”情境的創設。
學生在理解、應用數學知識和方法的過程中，常因各種原因犯一些似是而非的錯誤，適當創設“試誤型”教學情境，可為學生嘗試錯誤提供時間和空間，并通過反思錯誤的原因，加深對知識、方法的理解和掌握，提高學生對錯誤的認識和警戒，培養思維的批判性和嚴謹性。
四、初中數學情境創設的意義
關鍵詞：高中數學 信息技術 整合
將信息技術運用于數學教學，彌補了傳統教學的不足，不僅可以提高教學效率，同時也可以培養學生的信息技術技能和解決問題的能力。信息技術與數學教學的融合，順應時代的要求，如何實現數學教學與信息技術的整合？這是一個值得探討的問題。
一、激發學習興趣培養參與意識
如何激發學生的學習熱情是上好一堂課的關鍵。近半個世紀來，中國的教育受凱洛夫教育思想的影響極深，注重認知，忽略情感，學校成為單一傳授知識的場所。這就導致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質的全面提高，尤其是影響了情感意志及創造性的培養和發展。情境教育反映在數學教學中，就是要求教師注重數學的文化價值，創設有利于當今素質教育的問題情境。
例如，在學習函數基本性質的最大值和最小值時，可以先播放一段壯觀的煙花片段。“”盛放，制造時，一般期望它達到最高點時爆炸。那么，煙花距地面的高度h與時間t之間的關系如何確定？如果煙花距地面的高度h與時間t之間的關系就為h(t)=-4.9t2+14.7t+18。煙花沖出，什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？
通過創設問題情境，讓學生感受數學是非常有趣的，數學不只存在于課堂上、高考中，數學的價值是無處不在的。情境教學能促進教學過程變成一種不斷引起學生極大興趣的，向知識領域不斷探索的活動。借助多媒體強大的圖形處理功能，新異的教學手段，創設生動有趣的情境，激發學生的學習情緒，使學生固有的好奇心、求知欲得以滿足，同時給學生提供了自主探索與合作交流的環境。
二、拓展教與學的資源
信息時代，網絡為師生提供了新的學習資源。新的課程資源除課本外，還有網絡資源，地方課程資源，社區課程資源和校本課程資源。新課程中，學生的學習也離不開網絡，網絡課程資源是對課本的重要補充。許多研究性學習課題，探究課題，都需要學生自主查找資料。目前，查找資料最方便、快捷的方法無疑是網絡。
例如，在學完《導數》一章后，有一個研究性學習課題——“走進微積分”，讓學生自愿組成學習小組，上網查找下列資料：①我國古代有哪些微積分思想的例子；②微積分產生的時代背景；③牛頓、萊布尼茨的生平；④微積分對人類科學和社會的影響。大多數同學利用網絡資源完成了這個課題，對微積分有了更加深刻的認識。
信息技術與數學的整合也要求教師不斷學習先進的教育、教學理論和方法，學習信息技術。這些學習，除參加各級教研活動，參加各種培訓外，最適合教師的，也是最方便、快捷的，就是網絡學習。高中數學是抽象性和靈活性較強的學科。成功的數學課，不僅要看到教學素材的合理選取，教學方式的變化，更需要體現的是老師與學生的思維、語言以及情感的交流。所以，在運用信息技術時，也要注意以下幾點。
1.不宜過分追求大容量、高密度
不少教師對信息的大容量、高密度，津津樂道。教學中不給學生思考、討論的時間，甚至一節課完成過去兩節或三節課才能學完的內容，“人灌”變為更高效的“機灌”。失去了學生的思考，看似充實的內容，也失去了它的意義。
2.不應忽視師生情感交流
有些教師將預先設計好的或網上下載的課件輸入電腦，然后不加選擇地按程序將教學內容一點不漏地逐一展現；或片面追求多媒體課件的系統性和完整性，從組織教學到新課講授，從鞏固練習到課堂作業，每一個細節都有詳盡的與畫面相配套的解說和分析。至于這些內容是否適合學生，是否具有針對性，則無暇顧及。忽視教學中最為重要的師生之間的情感交流，讓學生體驗學習數學的價值就無從談起，數學的教育性就大打折扣。
3.繼承傳統教學中的合理成分
雖然信息技術與數學教學整合具有傳統教學手段所不具有的很多優勢，但傳統教學手段，無論是物質形態，還是智能形態，之所以可以延續至今，是因為它有巨大的教育功能。信息技術不可能簡單、完全地取代傳統教學手段。何況，目前很多課件的設計，也來源于一些教師在傳統環境下的教學經驗。因此，數學教學在使用信息技術的同時，要吸收傳統教學手段中合理的東西，做到優勢互補，協同發揮其教育教學功能。
三、要善于應用多媒體教學
在新課標和新教材的背景下，教師掌握現代化的多媒體教學手段顯得尤為重要和迫切。多媒體教學的顯著特點：直觀性強，容易激發起學生的學習興趣，有利于提高學生的學習主動性。在課堂教學結束時，教師引導學生總結本堂課的內容，學習的重點和難點。同時通過投影儀，同步地將內容在瞬間躍然“幕”上，使學生進一步理解和掌握本堂課的內容。在課堂教學中，對于板演量大的內容，如立體幾何中的一些幾何圖形、一些簡單但數量較多的小問答題、文字量較多應用題，復習課中章節內容的總結、選擇題的訓練等等都可以借助于投影儀來完成。此外，教學可以自編電腦課件，借助電腦來生動形象地展示所教內容。如講授正弦曲線、余弦曲線的圖形、棱錐體積公式的推導過程都可以用電腦來演示。
【關鍵詞】 問題引領；問題鏈；設計
中圖分類號：G423.04 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568 （2014） 28-0091-05
美國著名數學家哈爾斯（P.R.Halmos）曾說“問題是數學的心臟”，良好的問題不僅可以完成課程教學的任務，激發學生參與課堂活動，更為重要的是可以更有效地培養學生的思維能力，培養學生的問題意識，而問題意識是創新人才的關鍵素養之一。課改十年來，江蘇省常州市在課堂教學中始終把問題作為教學設計和教學組織的核心，提出了以問題引領課堂教學的核心理念。
所謂問題引領課堂，就是根據教學目標的要求，圍繞核心問題（思想或思維模式），設計若干個有邏輯關聯（如按認知發展順序等）、有層次梯度的子問題組成的系列問題作為教學活動的主要方式，是課堂互動的材料，該系列問題又稱為問題鏈。以問題鏈為主要形式的課堂教學，不僅可以落實數學課程的培養目標，體現數學課程獨特的育人價值，更能以問題鏈為平臺培養學生的思維能力，在連續的有邏輯關聯的問題鏈中讓學生的思維得到有效發展。
一、如何理解問題引領課堂
很多人認為滿堂提問就是以問題引領課堂，其實不然，當前的數學課堂教學中隨處可見的無思維含量的偽問題、瑣碎無關聯的零散問題等，這些“問題”既沒有提綱挈領的反映數學概念形成過程或解決問題的思維過程，也沒有體現學生在解決問題中能力發展的脈絡，反而令學生的思維碎片化。只有圍繞教學目標，精心設計體現思維價值的問題鏈，才能讓學生的思維得到有效發展。
1. 問題引領課堂的重要性。縱觀古今中外，重視問題在教學中重要性的教育家比比皆是，古有古希臘思想家蘇格拉底的“問答法”及中國孔子的啟發式，孔子在《學記》中說，“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”，“道”就是引導，“開”就是啟發，這兩者都要以問題為載體。20世紀著名的數學教育家弗賴登塔爾反復強調：學習數學的惟一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西去發現和創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行再創造的工作。學生的“創造”和教師的“引導”顯然離不開數學問題作為工具、途徑的作用，數學發現和創造僅僅依靠事實材料是不夠的，需要有反映本質屬性的問題鏈的引領，需要有適當長度的問題鏈的引導，在問題鏈中逐漸逼近對象的本質，進而提升自己的建構層次。
20世紀80年代以后，以認知主義學習理論為基礎的建構主義學習理論成為主流，建構主義認為學習并非學生對于教師所講授的知識的被動接受，而是依據已有的知識和經驗所作的主動建構。適合的問題能調動學生學習的積極性，讓學生積極反省，改善自己的認知結構，促使已有圖式的擴展和更新，而知識的不斷重構是數學思維的一個重要特點。從心理學角度分析，思維靠問題激發，靠解決問題過程中不斷出現的新問題延續、展開和深入。
問題引領是數學教學的重要理念和方法。沒有問題作引導，僅僅通過敘述的方式闡述知識，不是數學的教學方式。數學教材所呈現的一般是固態的知識形態，掩蓋了問題源頭，掩蓋了發展線索。教師要把掩蓋在背后的價值挖掘出來，通過問題鏈展示知識及問題解決背后蘊含的思維價值，引發學生領悟知識發生發展過程中的方法與思想，讓學生在螺旋上升式的問題鏈中加深理解。倘若教師能將課程標準規定的知識體系轉換成連續性的問題鏈，就能使教學過程成為循序漸進、邏輯建構的認知途徑，使教學活動成為圍繞問題解決的一種能動性主體建構活動。
問題引領也是學生學習數學的需要。亞里士多德有一句名言：“思維從疑問和驚奇開始”，由此表明數學學習中以問題為載體對提高學生學習積極性的重要性。新課程特別強調學生在數學課堂中的主體地位，通過問題引領，可以激發學生的問題意識進而彰顯學生主體思考的特征。設計問題鏈，從橫向看可以讓不同層次的學生參與到思考的世界里，讓不同層次的學生都能有思維的空間，達到面向每一個學生的教育目標，從縱向上看，螺旋上升的問題串可以讓學生的思維不斷爬坡，學生的理解層次不斷提升。學生只有在具有一定結構的問題鏈中思考，讓問題鏈成為思維發展的臺階，學生的綜合能力才在問題鏈中螺旋上升。
2. 問題鏈的特征。在教學中，問題鏈的創設是開展問題鏈教學的前提和起點。問題鏈要有效，筆者提出應具備以下特征：
第一，生成性。問題鏈設計要處理好預設與生成的關系。預設，就是強調精心設計，以數學教學重點內容及如何幫助學生的學為核心，通過設計問題鏈體現知識發展的脈搏，盡可能符合學生思維的脈搏，但課堂更要注重生成，因為人的思維有差異性，教師的經驗有局限性，教師設計問題鏈的目的不能滿足于得到教師所需要的答案，而是要盡可能激發更多的學生參與思考，讓學生在更廣闊的思維空間進行探索，充分利用學生思考的結果。
第二，開放性。正因為問題鏈之間是邏輯緊聯的，所以每一個問題的設計要體現思維的發散性，問題之間的銜接要留有學生發揮的空間。問題設計指向太死，會限制學生的思維，失去了問題引領的意義。放得太開，學生無所適從，失去了有效思維的效果。問題鏈要盡可能創設一個充滿張力的場景，讓具有不同思維特點的學生都能有自己獨特的意義建構。
第三，價值性。問題鏈的設計要符合數學課程的育人價值，體現數學最重要的思維模式和過程。問題鏈的內容要反映核心數學概念的發生發展過程，反映學生最想解決的問題，要在數學的重點知識上設計問題鏈，要在能讓學生感悟數學方法數學思想的地方設計問題鏈。問題鏈要培養學生核心思維模式，傳遞最重要的數學思想。
3. 問題鏈的類型。根據不同的教學目標和教學任務，問題鏈有不同的類型。根據問題鏈的目的，可以分為探究尋因式，追詢結果式。從問題鏈的開放程度看，可以分為開放式、收斂式、半開半收式。從問題鏈中問題之間的關系看，可以分為遞進式、并列式。遞進式問題鏈是指教師設計的系列問題在知識結構上依次加深、環環緊扣，此類問題串邏輯嚴謹，能夠激發學生強烈的求知欲，是課堂教學最為常見的形式。并列式問題鏈是指教師設計的系列問題在邏輯關系上屬于并列關系，無前后主次之分，此類問題串主要在活動探究中使用。
當然結合具體的教學內容，更多的問題鏈是上面幾種的組合。下面案例用來說明最為常見的遞進式問題鏈中各個子問題之間的關系。
案例1：“拋物線的標準方程”（蘇教版普通高中課程標準實驗教科書選修2-1 2.4.1）
學生對“拋物線”這個名詞并不陌生，因為在中學階段曾經三次出現過“拋物線”概念，第一次是二次函數的圖象是拋物線，第二次是重力作用下的平拋物體或斜拋物體的軌跡是拋物線的一部分，第三次就是此處，拋物線作為圓錐截面曲線的形狀之一，雖然學生曾經三次接觸過拋物線，但沒有深入思考這三者之間的聯系，因此如何把函數圖象的拋物線與圓錐曲線截面的拋物線有邏輯的關聯起來，使三個概念歸一，是本節課的核心問題。設計如下問題鏈：
問題1：請同學們回憶二次函數如y=x2、y=ax2等的圖象，這些曲線一定是拋物線嗎？為什么？
問題2：如果y=x2，y=ax2的圖象是拋物線，那么你能求出它的定點與定直線嗎？
問題3：如果不能求出定點與定直線，也就是不能從數到形，那么你能否換個角度研究呢？
問題4：你已經知道了拋物線的定義，那么能否從形到數，建立關于拋物線的方程？
問題5：你能否大膽預測求出的拋物線方程與二次函數解析式之間的聯系？
問題1的目的是喚醒，提取學生知識結構中已有的拋物線的知識。問題2的目的是關聯，把函數的拋物線與此處解析幾何中的拋物線聯系起來。問題3的目的是誘思，在問題2產生思維障礙的基礎上，引導學生深入思考，提升思維的層次。問題4的目的是明題，綜合問題3的思考結果，點明本節課的主題。問題5的目的是提升，從數形結合的思想方法的角度，幫助學生歸一，提升知識結構的層次。可以深刻揭示從函數角度出發的拋物線圖象與從幾何定義出發求得的拋物線的方程是一致的，只是研究的路徑不同，函數是從數到形，拋物線方程是從形到數。從本節課的最后結果看，函數解析式y=x2，y=ax2其實就是拋物線的標準方程，所以這樣的函數式（方程）特征決定了對應的圖像必然是拋物線。它們的差異在于順序的不同，函數是由數到形，曲線的方程是由形到數，但歸根到底是統一的，是拋物線的兩個側面。
二、如何實踐問題引領課堂
1. 基于改善，立足課堂。基于課堂，同題異構。課堂是教學的主陣地，采用同題異構的方式展示不同教師的問題鏈的設計理念及實施效果，根據課堂教學效果反思問題鏈設計，重點評價問題鏈對學生的適切性如何。基于反思，課例分析。采用跟蹤及錄像課研究的方法，對課例中的問題鏈的設計進行深度的分析。基于研修，課題沙龍。以常州市教科院為主體的問題引領的課題就有省重點課題《中學數學課堂有效性的設計研究》、《有效組織高中數學學生課堂活動的策略研究》、《基于理解性學習的中學數學教學設計的研究》等，課題研究堅持立足一線教學，全體教師參與，骨干教師起核心作用，使得全市高中數學在問題鏈引領課堂教學的研究活動高質量、有成效。
2. 原則指導，案例示范。經過多年的實踐，我們探索出設計問題鏈的三條原則，并以這三條原則指導全市的課例設計和展示，在多年實踐反思的基礎上，提供若干案例供教師參考。
原則一：突出核心問題。教師要思考教學問題中哪些是牽一發而動全身的，最體現教學目標或概念本質的，最能突破思維瓶頸的核心問題（如動機性問題――為什么要研究三角函數；模塊思維方式問題――為什么要求橢圓的標準方程等），問題鏈的設計首先要從教和學兩個維度把握核心問題，要圍繞核心問題設計問題鏈，核心問題是主線，子問題圍繞核心問題順勢展開、螺旋上升。
案例2：以《橢圓的標準方程》（蘇教版選修2-1 2.2.1）引入為例
本節的核心思想是數形結合，這也是解析幾何的基本思想，同時要整合三個方面的問題：
為什么要研究的橢圓的標準方程？同是研究平面圖形，義務教育階段的平面幾何知識與高中階段必修2的解析法思想如何更緊密地結合起來？怎么延續、提高必修2中《平面解析幾何初步》的相關知識？以下是筆者執教的課堂實錄的片段：
師：（展示幾何圖形：直線與圓）
問1：如何求圓心到直線的距離？
生1：用直尺測量。
問2：用的是幾何方法。還有更準確的方法嗎？
生2：剛才的方法不夠準確。可以用點到直線的距離公式。
問3：該距離公式要具備什么條件才能使用？
生2：圓心坐標和直線方程。
問4：我現在給出的條件中有這些量嗎？還需要借助于什么工具才能求出這些量？
生2：平面直角坐標系。
問5：這個過程體現了數學中的什么思想方法呢？
生：數形結合的思想，先從形到數，通過坐標系的工具求出圓心坐標及直線方程，后從數到形，利用平面解析幾何中的點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離。
問6：我現在把上述坐標系連同曲線放進某個“特殊”空間――該空間有這樣一種特殊功能，就是把坐標平面上所有點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半。設原來的圓和直線經過這個空間作用后所得曲線分別為C'，l'，你能說說它們分別是什么曲線嗎？
生：l'還是直線，但是不知道C'是什么曲線。
問7：你是怎么判斷的？
生： C'的方程是x-2y-3=0，屬于二元一次方程，由此可以判斷C'是直線。l'的方程是（x-1）2+4（y-2）2=4，它對應什么曲線，我前面沒有學過。
問8：C'可能是圓嗎？
生：不可能，因為不滿足圓的方程特征。
師：（借助于幾何畫板演示， 似乎是橢圓）
既然利用曲線和方程的對應關系，根據方程特征可以判斷曲線形狀，那么我們顯然面對的問題就是橢圓的方程特征又是什么呢？如果知道了橢圓方程的一般特征，我們就可以對C'方程對應的曲線是否是橢圓有個交代了。這就是本節課的課題橢圓的標準方程。
上面的問題鏈設計，利用問題解決的模式，從幾何中的問題出發，由形到數，從幾何的方法到代數的方法，利用變換，求出變換后的曲線對應的方程，讓學生自然而然想到要利用曲線的方程特征來判斷曲線類型，進而產生探求橢圓標準方程的迫切性。整個設計順應數學之間內在的、本質的、必然的聯系，凸顯了數形結合的思想方法。
原則二：加強邏輯分析。圍繞核心問題設置問題鏈，需要思考幾個方面的環節，一是合理選擇節點，設計的問題盡可能把握最有價值的環節，而不在非核心、非關鍵等細枝末節做文章；二是確定子問題之間的邏輯關系，是并列還是遞進，先后順序如何等，盡可能貼近學生思維區間；三是難度的梯度在學生最近發展區內，我們提出的設計指導思想是在學生最近發展區內，圍繞關鍵節點，難度上螺旋上升，采用內在有序的結構化形式。
案列3：該教師選用的課題是江蘇教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1》第31頁“探究?拓展”第7題（操作題），
教師呈現如下問題情境：
1. 在白紙上畫一個半徑r為10cm的圓C；
2. 第k組在距離圓心2kcm處取一個定點F（學生分成了4組，k=1，2，3，4。）；
3. 將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，得到一條折痕l1，畫出直線l1；
4. 用同樣的方法，畫出l2，l3，l4，…； ――觀察這些折痕，你有什么發現？
教師：好，剛才幾位同學既展示了結果，又交流了折紙的過程，值得大家借鑒。我下面用幾何畫板演示一下（下略）。
在課后研討中，很多教師反映余味未盡，覺得失去了鍛煉學生思維的很好的機會，沒有把握提升學生從具體到抽象這一更高層次思維能力的關鍵。在集體研討的基礎上，我們在剛才的基礎上設計了下面問題鏈，引導學生像“爬山”一樣的，讓問題推動學生思維能力走上更高的平臺，培養學生思維的敏捷性和深刻性。
問題1：能否將剛才的折紙問題抽象為一個數學模型？
問題2：同學們是否思考了設置參數k有什么數學含義？
問題3：怎么知道橢圓上的點恰好是圖中的點P呢？
問題4：當點F分別在圓心、圓外時，折痕圍成什么圖形？
問題5：如果把圓換成橢圓，折痕圍成什么圖形？
原則三：體現學生主體。具體表現在問題鏈的設計應該針對學生障礙點，指向學生的發展點。教育學的研究表明，每一個學生在學習過程中，都有自己的活動經驗和知識積累，都有自己的思維方式和解決問題的策略，問題引領實施過程中要激發學生更多在思維上參與，在參與中獲得意義建構。要注意挖掘有閃光點、有個性、有獨特思維價值的答案，要在學生獨立、主動思考基礎上組織有效的討論，鼓勵學生發表不同意見，通過促進學生在心理活動變化中的同化和順應，深化思維，不斷地提高思維能力。
例如，現行課程標準對橢圓標準方程的純粹性和完備性不作要求，但是從數學課程的嚴謹性和數學思維的嚴密性的要求出發，需要對橢圓標準方程中的等價性進行思考，這里的問題鏈的設計目的是引發思考，引導思考，不直接給結論。
問題1：橢圓的標準方程為
中對方程 進行了平方的變形，那么這兩個方程等價嗎？
問題2：怎么證明你的結論？如何從數形兩個方面思考？
學生在課堂對這個問題的討論及解決辦法爭論了很長時間，乃至延續到課后好幾天。筆者參與其中，一起分享爭論、想法、問題，特別是學生不斷出現的新問題讓我感慨萬分。問題鏈其實并不需要每次預設到位，有時教師的問題鏈只是個框架，起引導思路的作用，更多的是從學生的問題出發，在師生討論的過程中逐步深入，將學生的思維由膚淺引導到深入，思考的過程、新問題的生成完全以學生為主。在不斷生成新問題、解決新問題的過程中，師生都有收獲，學生的收獲不僅僅是解決了一個問題，更在于如何運用已有知識的策略，收獲了方法、思想、信心和成功。教師的收獲在于轉變了一些想當然的觀念和思維定勢，促進教師進一步認識學生思維方式，研究學生的思維特點，真正做到教學相長。
三、實施問題引領課堂的反思
回顧十年問題引領課堂的研究和實踐活動，受益匪淺，廣大教師以此課題為載體的課程實施能力得到明顯提高，常州市學生學習數學的熱情和興趣得到明顯提升，同時我們也感覺到還需要進一步思考以下四個方面的問題：科學確定問題鏈的核心（線索），統籌確立問題鏈的節點，有效控制問題鏈的難度，合理設置問題鏈的臺階。
例如問題鏈的難度控制問題，為了面向大多數學生，問題鏈難度的起點要低，但實際操作中發現，教師常常對難度太低的問題不重視，誤認為沒有思維價值，忽視了它在問題鏈中的基礎作用，忽視了基礎問題的伏筆和線索作用。在問題鏈的臺階設置上如何控制好難度也是棘手的問題，臺階太小，學生輕易得出答案，問題失去了考驗學生思維的價值，臺階太高，大多數學生沒有能力思考，問題鏈失去了存在的價值。因此，階度合理的問題鏈的組織方式是問題鏈設計的技術問題之一。
參考文獻：
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[4] [荷蘭]弗賴登塔爾.陳昌平，作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995.
（江蘇省睢寧縣菁華高級中學，221200）
下面是我校一位青年教師上的一節研討課《直線和橢圓的位置關系》的教學片段。
（課始，教師直奔主題，在黑板上出示了如下引例：當k為何值時，直線l:y=kx+1與橢圓
（1）有一個交點？（2）有兩個交點？（3）沒有交點？）
師前面我們學習了直線和圓的位置關系，那么直線和橢圓的位置關系又該用什么方法來解決呢？
生聯立方程組，用“Δ法”來處理。
師說得很好！類比直線和圓的位置關系，直線和橢圓的位置關系可以用“Δ法”來處理。
（教師板書解題過程，并總結直線和橢圓位置關系問題的常規解法。教師剛要轉入下一個環節，一位男生舉手了。）
生老師，直線和圓的位置關系還可以用幾何法來解決，那么，直線和橢圓的位置關系是否也可以用幾何法來解呢？
師這——其他同學來說說看。
生我認為不行，圓和橢圓不一樣。
（絕大多數學生認同這一觀點。）
師（稍作思考）判斷直線和圓的位置關系可以用代數法和幾何法，而判斷直線和橢圓的位置關系只能用代數法。
（此時，又有一位女生舉起了手。）
生教材上有這樣一段話：“e越接近于0，c越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0（e=0），這時兩個焦點重合，圖形變為圓。”這說明圓是特殊的橢圓。既然這樣，我認為橢圓也可以像圓一樣，用幾何法來處理。
師由于時間關系，這個問題請大家課后思考。
大概是因為心里沒底，教師打斷了這位女生的發言。那么，她的觀點有沒有道理呢？
課后，筆者和這位女生進行了如下的交流——
師你是如何用幾何法處理直線和橢圓位置關系的問題的呢？
用幾何法快速得到答案。
師你是怎么想到這樣做的呢？
生教材中關于橢圓心率的描述，使我覺得圓是特殊的橢圓。這啟發了我。
可見，學生的想法是有根據的。
實際上，人教版高中數學教材在介紹“橢圓及其標準方程”時（介紹橢圓離心率之前），就設置了這么一道例題：“如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？”
這道例題，有助于學生正確理解“圓是特殊的橢圓”——橢圓其實就是按比例均勻“壓扁”了的圓。
因此，伸壓變換不只是一種數學方法，更是一種處理問題的思想和思維方式。
生成性是當前課程改革中所倡導的重要理念之一（也許是最重要的理念）。華東師范大學葉瀾教授認為：具有生成性的教學才是豐實的課堂教學。與預成式教學的被動接受相比，生成性教學更強調學習的自主建構;與預成式教學的靜態預設相比，生成性教學更強調教學的動態生成。可以說，教學中，“生成性”是對“接受性”的一種批判和超越，是對“預設性”的一種補充和修正。其實，在平時的教學中，教師經常會遇到學生的奇思妙想。對此，有經驗的教師不會輕易地否定，而能耐心傾聽學生的思考過程，注意培養學生的創新意識和能力。實際上，課堂教學的精彩往往來自于精心預設基礎上的絕妙生成。
第一，要關注表現性目標和偶發性事件。
美國課程學家艾斯納把教學目標劃分為行為目標、解決問題目標和表現性目標。表現性目標關注學生在教學過程中的表現，強調學生在學習過程中的個性化的表達、展現和個人意義的獲得。由于生成性教學堅持以學生的發展為本，追求教學的真實自然，因而必然關注表現性目標。
在生成性教學觀下，教學過程中師生的行為都具有一定的不能還原的不確定性，即客觀上的不可預見性，因此，教學既不能完全由教師單方面決定，又不能全部在教學設計中預料到。生成性教學關注偶發性事件，倡導教師在教學過程中有靈活的教學機智，留意學生的反應與變化，及時捕捉偶發性的教育契機與智慧火花，并對教學預設進行調整，使課堂教學充滿了生機和情趣、挑戰和創新。教師可以通過學生自主提問、自主探究、自主釋疑等方式，達到教學的自然高效。
第二，要有生成性的設計。
一方面，教學過程的生成性，要求教師在教學預設時，吃透教學內容、挖掘教學價值，并理解學生的學習基礎和思維方式，做好整體謀劃，創造性地使用、整合教材，從而盡可能多地預測教學中可能的生成。這也是每一位教師必須時刻不忘加強的基本素養。例如，以上教學片段中，教師如果能事先對“直線與圓錐曲線位置關系問題”有充分的研究，并對教材有深入的挖掘，就不會對學生提出的“是否也可以用幾何法來解呢”
感到很突然，更不會對學生發現的“圓是特殊的橢圓”感覺心里沒底，反而可以巧妙引導學生重視教材、主動思考、充分挖掘、深入探究，得出伸壓變換的方法，并進行數學思想和思維層面的提升。
另一方面，教學過程的生成性，要求教師在教學預設時，以開放的心態設計靈活、動態的教學方案，不預設教學過程的全部細節，而為課堂教學的動態生成預留“彈性時空”、“廣闊舞臺”。生成性設計，不僅要考慮過程的“流”，而且要關注過程的“變”，因為生成性的核心強調發展和創造。例如，以上教學片段中，即使教師對“是否也可以用幾何法來解呢”、“圓是特殊的橢圓”缺少預設，如果教師的預設具有彈性，那么教師也不會強行打斷學生的思考、結束話題的討論。
第三，要創設民主的氛圍。
關鍵詞：高中數學；課堂教學；點撥藝術
一、新課程導向
新課標指出，人人學有價值的數學，要求學生通過動手實踐、自主探索與合作交流，真正成為學習的主人，把學習的主動權交給學生，讓學生動起來，讓課堂動起來。這種理念使得學生有更大的主動權和質疑空間，喚醒了學生的主體意識與參與意識，使課堂教學更具有活力，從而激發學生潛在的學習能力和創造力。
二、課堂上的問題
在以學生為主體的課堂中，如果一切以學生為重，一味地強調由學生自發地產生思想，就會流于拖沓，淡化教學的內容和目標，這種缺乏必要的約束和反饋調節的教學結構就會很松散。相同的問題傳統教法一節課可以完成，課改或許要用一節半，甚至更多，教學的有效性大打折扣，教學質量下降。新課程改革流于形式和作秀，這就是目前新課程改革遇到的最大難題。數學被稱之為思維的體操，課堂上的所有活動應該立足于啟迪學生的思維。其實，無論是傳統的模仿與記憶，還是新理念下的自主探索、合作交流，最終目的都是提高學生的思維能力，解決課堂有效性低的問題。
三、課堂點撥的重要性
新課改強調教師應該成為課堂節奏的控制者、課堂活動的引導者。筆者二十余年的教學實踐表明，在強調學生主體地位的同時，決不能削弱教師在課堂上的主導作用，教師的適時點撥意識需要加強。只有教師引導下的有條不紊的合作和探索，才能具有高效率。所以說，點撥，作為課堂上的無形之手，有必要大力提倡。我們接觸的嘗試教學法，或是創新學習，包括我們禮嘉中學數學組的三步導學，都是殊途同歸，強調點撥，著眼于高效課堂。
四、點撥的內涵
什么是點撥？我認為一切對學生有啟發的行為都是點撥。一句話，一個問題，甚至一個眼神，只要是能夠對學生產生有效的指導，都可以稱之為點撥。點撥控制著課堂節奏，引導著學生探討的方向。一次適時有效的點撥無異于醍醐灌頂，撥云見日，在學生苦苦思索茫然無措之際，具有峰回路轉之效，這正是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”。課堂上的點撥無處不在：開題引課，問題探索，變式訓練，課下延伸都有點撥的影子。但有一點需要注意，點撥要恰到好處，不能過早點撥，這樣會打亂學生的思考，變成一言堂；又不能過晚點撥，這樣會浪費課堂時間，降低課堂效率；點撥還不能牽引痕跡過重，那樣學生會很被動，體會不到突破的愉悅感，失去學習的快樂。
五、實例探討
下面，我通過一組例子來和大家一起探討點撥藝術。
雙曲線的幾何性質引課片段：
師：前面我們學習了雙曲線的標準方程，請大家思考一下雙曲線的標準方程什么？
生：（略）
師：它表示的雙曲線焦點在哪條軸上？
生：在x軸上。
師：當雙曲線的焦點在y軸上時，它的標準方程又是什么？
生：（略）
師：很好，今天我們將根據雙曲線的標準方程，研究它的幾何性質。
接著教師板書課題，進入新課教學。
上述教學設計，雖然開門見山，點明主題，但在類比與啟發上做得不夠。首先沒有抓住橢圓這個類比對象引入課題；其次是點明主題過早，缺乏啟發引導，把研究的方法和內容直接告訴了學生，學生沒有智力參與，思維未受到磨煉。不妨作如下設計。
師：前面我們研究了雙曲線，請同學們回憶一下，我們是從哪些方面研究雙曲線的？
生：先學習了雙曲線的定義，然后根據定義研究了雙曲線的標準方程。
師：雙曲線的標準方程是什么呢？
生：（略）
師：在學習了雙曲線的標準方程后，我們應該探究什么呢？
生：思考討論。（學生回答不出）
師：我們可以與剛學習的橢圓進行比較，不妨回憶一下是怎樣研究橢圓的？
生：我知道，學習了橢圓的標準方程后，我們研究了橢圓的幾何性質，所以應研究雙曲線的幾何性質。
師：很好，你打算怎樣去研究呢？
生：從雙曲線的標準方程入手去研究它的幾何性質。
師：運用曲線的方程研究曲線的性質，既是解析幾何的基本問題，又是常用的研究方法，有了研究方法，我們應該從哪些方面去研究它呢？
生：與橢圓一樣，研究雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率等。
師：那么，請同學們以小組合作的形式開始進行……
（杭州市蕭山區第六高級中學，浙江 杭州 311261）
【摘要】預設與生成是高效課堂的兩翼。兩者既是課堂教學的一對矛盾體，也是共同體。教學實踐中經常產生“重預設、輕生成”以及“重生成、輕引導”的現象，如何調整好兩者之間的“度”， 使其和諧共存，共同締造高效數學課堂應該是目前廣大教師更為關注的課題。本文總結了多年的教學實踐，通過“精心預設，誘導生成；依據生成，調整方案；利用生成，巧妙引導”等多種方式以實現預設與生成的和諧共存。
關鍵詞 預設；生成；和諧
1 問題的提出
預設與生成是高效課堂的兩翼。兩者既是課堂教學的一對矛盾體，也是共同體。在高中數學課堂教學中預設是動態生成的前提和基礎。而動態生成則是靜態預設的完美體現。數學學科本身具有邏輯性強、教學目標高、解題方法繁多等特點，尤其到了高中數學這些特點更加明顯，這為教師進行預設與生成開辟了更為廣闊的空間。然而當更多教師將預設與生成的教學理念融人到教學實踐中去時，我們也不難發現。“重預設、輕生成”以及“重生成、輕引導”的弊病也愈發明顯。
1.1 重預設而輕生成
在中學數學教學活動中，有些教師過分拘泥于設計好的“預設”程序。這種系統性、強制性和規格化的“預設”，既讓教師局限于數學教材的范圍，又制約教師個性化光芒的散發和學生個性的發展。在本應該豐富靈動的數學課堂上，學生的數學素養得不到提高。這種僵化的教學模式不是新課標所倡導的高效課堂，更不受學生的歡迎。為了在課堂中“應對自如”刻意地完成預設流程，拘泥于程式化的預設實施步驟，讓學生時刻在教師的掌控之中，使得學生多樣的生成資源被抑制下去。
1.2 重生成而輕引導
課堂氛圍是在現實自然的教學活動中，教師與學生以教學背景為襯托，所反映出的心理環境，表現在教師與學生的課堂狀態、情感、人際氛圍等中。為了打破傳統教學中生硬、沉悶的課堂氛圍，中學數學教師雖然做著不懈的努力，但還是存在盲目營造課堂氛圍的現象。有些中學數學教師過分地強調生成，盲目地追求動態生成，認為只要是生成就是好的，他們并沒有真正理解生成的含義。沒有預設目標的牽引，一味地進行指向不清的生成，并不能給學生真正的數學體驗，還會造成忽視預設基礎的極端狀況。
預設與生成同屬課堂教學過程中不可或缺的兩個重要環節，因此，擺正預設與生成的位置，調整好兩者之間的“度”，使其和諧共存，共同締造高效數學課堂應該是目前廣大教師更為關注的課題。
2 理論思考
2.1 概念界定
2.1.1 預設
“預設”本來是邏輯學中的一個名詞。《辭海》解釋：“預設”就是“語句中所包含的使其具有真值或有意義的先決條件。
教學活動是有計劃有目的的活動，預設是有效教學行為實施的前提。教師是預設的主體，教學預設（教學設計、教學準備）是教學中的確定性因素，主要包括：對課程標準和文本的研讀和把握，對學情的了解和對學法的選擇，情境的創設和問題的設計，總體設計與達成的預測等等。預設并非是一份對課堂每一個環節都進行了“完美”設計的詳盡的教案，而是具有彈性和留白。
充分的預設是非常必要的，它既是保證教學順利實施的必要條件，也是新的更有價值的生成的基礎。一般說來，預設越充分，引導學生思考分析也就越深刻。要讓學生完成知識的建構，就必須從學生的角度來預設我們的教學。也就是說，教師應該站在學生的角度，了解學生的經驗背景、思維方式、情感體驗，體會它們認識的局限性。
2.1.2 生成
“生成”這一概念最早出現在建構主義理論家維特羅克的《作為生成過程的學習》中，從學習者的角度闡釋了“生成學習”的概念。
《教育大詞典》第五卷中這樣描述：生成是“強調學習過程是學習者原有認知結構與從環境中接受的感受信息相互作用、主動建構信息意義生成的過程”。顯然，這已經是“教學生成”的意義了，“課堂教學生成”指的就是在課堂教學中的“生成”。有研究者把“課堂教學生成”看成是學習者的一種學習策略，并認為“生成性是有效使用學習策略最重要的原則之一，是指在學習過程中要利用學習策略對學習的材料進行重新加工，產生某種新的東西”。
葉瀾教授曾經說過：“動態生成性是對教育過程生動可變性的概括，它是對過去強調教育過程的預先設定性、計劃性的一個重要補充和修正。”在一定程度上指出了“生成”是教學過程的特性。實際上，“生成”是與“預設”相對應的，它是一種由無到有的過程。在數學教學活動中，“生成”是教師與學生共同配合，促使實現有意義、有目的的習得并完成自我構建的過程。“生成”在數學課堂中不應該是稍縱即逝的，而應該是一種常態的存在。
新課程理念認為，生成是生長和建構，是根據課堂教學本身的進行狀態而產生的動態形成的活動過程，應該具有豐富性和生成性。
2.2 把握課堂預設與生成關系的原則
2.2.1 預設數學課堂教學的原則
（1）以生為本的原則
正是因為學生的興趣愛好、課前準備等方面都不相同，教師在數學課堂教學預設時，應該了解學生，因材施教，從學生的實際情況出發，預測學生的學習方式，預設出能夠有可行性和針對性的數學教學策略，體現數學課堂教學的以生為本特點。
（2）活用教材的原則
高中數學教材容量大，教師應從教學對象的實際情況出發，對該教材進行二次開發，教學內容、教學目標和要求的預設都要符合教學主體的要求，不能追求形式，而要看學生真正能學到什么，掌握什么，怎么去學，這樣才能提高數學課堂教學的實效。在活用教材時，應該著重考慮：讓學生從新舊知識的聯系出發，找到知識的出發點；從學生的生活經驗出發，找到學習的興趣點；從學生具有的知識基礎出發，找到學習新起點。
2.2.2 構建數學課堂生成的原則
（1）靈活性原則
教師在課堂教學過程中，不要機械地按原先預定的思路教學，要根據數學課堂教學的具體情況，進行靈活調整，生成最新的數學教學流程，這樣就能使課堂教學取得最好效果。
（2）開放性原則
一是開放的時空環境。時間上不限制在一堂課和在學校學習時間，空間上注視教室環境的靈活安排，還要把課堂引伸到社會，充分利用廣泛的教育資源，讓學生得到廣泛的發展與關注。
二是開放的人文環境。作為教育工作者，就應該及時轉變教學觀念，平等對待學生，營造和諧的數學課堂氛圍，使數學教學具有靈活性、拓展性、開放性，進一步挖掘學生的潛能，發展和培養學生的個性。
2.3 正確處理預設與生成的關系
2.3.1 預設是生成的基礎
凡事預則立，不預則廢。沒有高質量的預設，就不可能有十分精彩的生成。
研究教材、教法是教學預設的重心。《數學課程標準(實驗稿)》明確指出：“數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有知識經驗基礎之上。”這就要求教師在研究教材、教法同時，加強對學生的研究，在關注內容組織與過程安排同時，關注學生的認知基礎，關注學習能力、情感、態度和價值觀的培養。越是優秀的教師，設計教案的水平與質量越高。預設一個高質量的教案，既是教師經驗的積累，也是教學機智的展現，其間蘊涵著教師的教育教學智慧。預設教案，可以更好地發揮教師主導、學生主體的作用，提高教學效益，一個不爭的事實就是現實的課堂大多還是預設成功的。
2.3.2 生成是預設的升華
生成是預設的精彩呈現，生成是預設的超越和發展。預設，僅僅是一種“假設”，因此，預設的目的不是為了約束學生的思維，更不是防止課堂發生意外，而是為了更好地引導學生標新立異，服務于學生的挑戰與創新，為了更有效地生成，實現教學相長的目的。
真實的課堂應該面對學生真實的認知起點，展現學生真實的學習過程，讓每名學生都有所發展；真實的課堂不能無視學生的學習基礎；真實的課堂不能死抱著教案進行一問一答。當然沒有預設教案，也就說不上動態生成。所謂動態生成，是指教師在課堂上以學生有價值、有創見的問題與想法等細節為契機，及時調整或改變預設計劃，遵循學生的學習問題展開教學而獲得成功。只有在實施預設教案的進程中，教師隨時捕捉學生的疑問、想法、創見等精彩瞬間，因勢利導改變原來的教學程序或內容，自然地變為動態生成，才能產生事半功倍的效果。而在動態生成中，教師還要高屋建瓴，甄別優劣，選擇恰當的問題作動態生成的“課眼”，引導教學進程。讓課堂教學在健康有效的軌道上發展。
2.3.3 預設生成對立統一
課堂教學的預設與生成是相互聯系、相互補充、相互促進的辯證關系。也就是說預設和生成是對立統一體：預設與生成具有統一的一面，課堂教學既需要預設，也需要生成，預設與生成是課堂教學的兩翼，兩者具有互補性。
但是，預設與生成也有其對立的一面，兩者體現的教學理念和價值追求不一樣，追求的教學目標不一樣。預設重視的是顯性、結果性、標準性的目標，生成則關注隱性、過程性、個性化的目標。預設過度必然導致對生成的忽視，擠占生成的時間和空間；生成過多也必然影響預設目標的實現以及教學計劃的落實。
從實踐層面上，不少有價值的生成是對預設的背離、反叛、否定，還有一些則是隨機偶發的神來之筆，生成和預設無論從內容、性質還是從時間、空間講都具有反向性。正是基于這一點，我們特別強調，無論是預設還是生成，都要服從于有效的教學和學生的發展。
數學課堂教學需要預設，但是，教師如果按照預設方案機械地加以實施，就會排斥學生的個性思考，限制學生對預設目標的超越，抹殺學生的創造智慧。所以精心預設又必須通過課堂生成才能實現其價值。因此，必須處理好預設與生成的關系，在精心預設的基礎上針對教學實際進行靈活調整，追求有效生成，從而讓數學課堂在預設與生成的融合中充滿靈動的魅力。過于強調預設與過分追求生成都是兩個要不得的“極端”!前者將課堂禁錮在死的教案上，課堂缺乏生命的活力；后者容易信馬由韁，教學目標的達成往往會大打折扣，甚至遭到嚴重阻礙，一個有效與靈動的課堂，必然是預設與生成的完美統一，預設中孕育著生成，生成中豐富著預設，實現預設與生成之間的動態平衡。
3 操作與實踐
葉瀾教授指出：“要從生命的高度、用動態生成的觀點看課堂教學，課堂教學應被看作是師生人生中一段重要的生命經歷，是他們生命的、有意義的構成部分，要把個體生命發展的主動權還給學生。”教師在教學中，一方面要不斷地捕捉、判斷、重組從學生那里涌現出來的各種各樣的信息。并把有價值的新信息和新問題納入教學過程，使之成為教學的亮點，成為學生智慧的火種；另一方面要采取靈活機智的手段，有效處理課堂教學的“生成”。
3.1 精心預設，誘導生成
預設是課堂教學的基本要求，也是生成的起點。生成往往基于預設，以預設為基礎，是對預設的豐富、拓展或調節和重建。精心預設，課前盡可能預計和考慮學生學習活動的各種可能性。在課堂上創造條件，誘導高水平的、精彩的生成，盡量減少低水平的生成。
3.1.1 預設學情
對課堂教學的預設首先要從學生人手。奧蘇伯爾曾指出：“從教育心理學最基本的原理看，影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么.”每個人的知識經驗、認知水平、課前準備的程度等皆不相同，這就要求教師在預設時了解他們，然后預測可能發生的一些課堂變化，并思考其對策.新課程強調數學在生活生產實踐中的應用，可以利用和日常生活密切相關的現象來整合教學資源。
案例1：
日常生活資源
①觀察到的生活現象，如商場的促銷活動，階梯電價等現象；
②從事生產實踐時觀察體驗到的現象，如去銀行辦理儲蓄業務時利息的計算，購房時的公積金貸款等；
③學生自身體驗的現象，如平時愛喝的易拉罐飲料為何要設計成圓柱形等。
學生比較熟悉，可以增加學生的親切感，縮短師生的距離，但同時學生對這些知識常常“知其然而不知其所以然”，教師創設情境之后，學生就有一探究竟的心理，從而成功地激發學生探究的興趣和主動性，也可以為課堂的“生成”打下扎實的基礎，彰顯學生主體。
3.1.2 預設教材
預設的前提是教師首先要對教材有一個深刻的理解和準確的把握，要對數學知識產生與發展的過程有一個充分了解，在預設中要將數學的本質內容進行體現，同時要將教材中能夠激發學生探究、思考的有效信息進行挖掘與展現，使預設更具開放性和針對性，為有效生成奠定基礎。
案例2：
推導等比數列前n項和Sn的公式。
教師引導學生講解課本上介紹的推導方法，有以下預設：
①回顧等比數列定義。
②利用合比性質推導。
③老師鼓勵學生尋找其他證明方法。
④將預設③變形為錯位相減法。
⑤舉例說明為什么采用錯位相減法而不用預設③的方法。
在上面的預設片段中，老師希望通過引導與鼓勵，調動學生參與問題討論的積極性，預設的教學目標就能夠在動態生成的過程逐步形成了。
3.1.3 預設疑難
新課標要求學生“在交流討論中，敢于提出自己的看法，做出自己的判斷”。做到不唯書，不唯師，敢就教材的“疑惑處”“模糊處”提出自己的看法，做出自己的判斷。這些意外問題的出現，使生成的教學資源更具偶然性，讓我們一時難以駕馭。所以，教師備課時應對易引起學生質疑的地方進行深入預設。
如此層層深入鏈接，分析歸納，不斷深化，有效地訓練和培養了學生思維的深刻性。如果學生在解決問題時，也能將題目進行分解、設問，相信思維的鏈接會變得越來越連貫、自然。
3.1.4 預設空間
預設空間即為生成預留空間。新課標倡導課程資源的開發和利用，重視科學探究方法的培養。認為科學學習的外延與生活的外延等同，要求我們拓展科學學習的領域，使學生在不同內容和不同方法的相互交叉、滲透與整合中開闊視野。
具體說來就是要求學生通過查閱大量資料和閱讀生活這部無字詞典來獲取信息以幫助自己更好地學習。因為學生拓展學習的方法、途徑與內容豐富多彩，極易生成新的難以預測的教學資源。這就要求我們要用學生的眼光對易于拓展的內容進行預設，了解他們可能使用的拓展方法與途徑，做到胸有成竹。
案例4：
函數課前預習
筆者在函數新課之前布置了如下預習作業：
①了解函數名稱的由來；
②與函數定義相關的中外數學家的簡歷；
③查閱歷史上函數的定義（至少兩種）；
④回顧初中函數定義（變量說），預習高中函數定義；
⑤完成導學案預習作業。
通過學生查閱相關資料，使學生對函數概念有初步了解，知道函數相關史料，減輕了學生對函數這一抽象數學概念學習的壓力。
預設空間也經常通過彈性預設來實現。彈性預設是指無論是教學目標還是教學過程都更加關注學生的個性差異，進行不同類型不同層次的預設，避免將預設重點放在學科知識上，忽略學生的情感體驗和能力培養。彈性化設計以生成為目的，對于教學過程中的細節問題，如具體的活動時間、標準的解題答案等等不必做量化規定或者是剛性處理，而是將更多時間與空間留給學生質疑、探究、嘗試與開發，同時也為教師適應教學環境、調整教學步驟，爭取更多空間。
案例5：
對于本題的證明，有的學生采用比較法、分析法、綜合法，有的還利用二次函數的求最值、三角代換、構造直角三角形等途徑證明，甚至于有的同學將a+b=1，a≥0，b≥0作為平面直角坐標系內的線段，用解析幾何知識進行求證……一節課下來，可謂精彩紛呈，學生的思考深度、思辨能力甚至超出了老師的預期。
現代心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個知識的過程，而且也是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程。因此，新課程強調生成空間，彈性預設可以為課堂教學活動展開提供多種“渠道”，為教學中的動態生成拓展廣闊的空間。
但不可否認，盡管我們進行了充分的，并且是以生為本的人性化預設，有時課堂上的許多情況我們還是無法預知的。正如布魯姆所說：人們無法預料教學所產生的成果的全部范圍。因為教學是一門藝術。所以當我們面對無法預設的課堂生成時，要樹立正確的課堂觀，靈活應對并使用課堂上的生成性資源，且做到及時記載，及時反思，為下一次的預設作好鋪墊，打好基石。所以，筆者以為預設與生成不是水火不融，而是水火交融，似一對孿生兄弟。
3.2 依據生成，調整方案
余文森教授指出：“生成性是我們新課程課堂教學的基本特性、基本的價值追求，它要從原來的‘特例’走向現在的常態。”對教師來說，課堂教學并不只是課前設計和教案的展示過程。而是不斷思考、不斷調節、不斷更新的生成過程，這個過程也就是師生富有個性的創造過程。教學活動的發展有時和預設相吻合，更多時候則和預設有差異，甚至截然不同。因此，教師應該靈活選擇、整合乃至放棄教學預設，機智生成新的教學方案，使教學更加精彩。
3.2.1 找準起點，因人施教
案例6：
一元二次不等式解法
這是我校高三文科B班的一節復習課中的一個題目：解關于x的不等式x2－2x－3≥0。
預設：因式分解、據口訣寫答案。
生成：學生板演出現了如下解法，由（x－1）2≥4得x－1≥±2……
顯然學生的基礎知識不扎實，但卻出現了另一種常見的方法：配方法，因此老師就按照此法繼續解下去，結合一元二次函數的圖像總結出口訣，殊途同歸。
在此過程中老師并沒有直接批判學生的錯誤，而是先表揚學生的配方法，較好地生成新的教學起點和因人施教的切入點。
3.2.2 由此及彼，回旋升華
課堂教學中，學生有時會有一些“奇談怪論”，如果教師能夠及時捕捉其中有意義的信息，適當地調整教學方案，由此及彼，順勢生成，就一定會讓課堂出現意料之外的閃光點。
案例7：
三角函數線
學生在課堂上用三角函數線證明：x<sinx<tanx，(0<x<π/2)，老師連續抽問了三位同學，都認為只要比較正弦線、弧長、正切線的長度即可，但始終不知與弧長怎么比較長短。老師再叫一位同學，同學答說用“直尺量一量”就好了，教室內哄堂大笑，老師對此一笑置之，然后就開始用面積法講解了。
案例8：
二面角
在《數學》必修2的“二面角”教學過程中，在講解“二面角的平面角”的概念后，筆者要求學生在二面角的模具上畫出該二面角的平面角，“請同學們來講解、展示自己的杰作！”，筆者語音一停，許多學生都高興地講解、展示自己的杰作，
但有一位學生出乎教師的預料：
生成：他在二面角的模具上畫出一個平面角，雖然滿足角的頂點在棱上、角的兩邊分別在兩個半平面內，但角的兩邊卻不與棱垂直。
調整：針對該學生的畫法，筆者并不是簡單地對其進行對與錯的評判，而是巧妙地借用這一生成性資源進行指導，向學生提出問題：“為什么角的兩邊一定要與棱垂直呢？若以棱a上任意一點O為端點，在兩個面內作與棱成等角θ（0<θ<90°）的兩條射線OA1，OB1由空間等角定理知，∠A1OB1也是存在且唯一的，為什么不用這樣的角定義二面角的平面角呢?”
升華：學生陷于沉思之中，教師進一步引導學生利用量角器及活動角通過變化活動角與二面角的棱的位置關系，測量、觀察這些角的變化規律，通過進一步的觀察、測量，學生終于認識到當我們用一個垂直于二面角α-l-β的棱l的平面去截兩個半平面，與兩個半平面的交線分別是兩條射線組成的平面角的大小是確定的，而當我們隨意用一個平面去截兩個半平面，與兩個半平面的交線組成的平面角的大小是不確定的，這樣就難于刻畫該二面角的大小,通過進一步的反思與探究，學生終于理解了“為什么角的兩邊一定要與棱垂直”。
在案例7中教師對“直尺量一量”這種方法一笑置之的處理不夠妥當，雖說弧長沒法用直尺丈量，但卻可以用弦長來近似，再進一步聯想到三角形面積就很自然了。
在案例8中教師的耐心指導，激發了學生的學習熱情,教師把疑問留給學生，促使他們反思，使他們的思維更趨向嚴謹與科學；教師把問題交還給學生，讓他們在探究中不斷修正，正確的認識在探究中逐漸生成，使他們逐步理解“二面角的平面角”定義的合理性。
在以上兩例中，教師對生成采用了完全不同的處理方式，效果自然也是天壤之別。前者藐視教學生成，強推自己的方法；后者則耐心處理，使數學概念在腦海中得到回旋升華。
3.3 利用生成，巧妙引導
《數學課程標準》在“課程資源開發與利用建議”中指出：“合理地利用生成性資源有利于提高教學的有效性。”在教學過程中，隨時都可能出現教師預料不到的情況和問題，因此教師要善于抓住課堂中的生成，把“課堂生成”轉化為“教學資源”，及時調整教學預設，形成新的教學方案，從而使課堂教學變得更加精彩、更加有效。教學中的生成性資源主要有三個來源：一是學生突然提出的問題，包括有價值的問題和偏離課堂目標的問題；二是學生回答問題或討論中突然出現的“閃光點”或錯誤見解、錯誤理解；三是教學中出現的突發事件。
葉瀾教授指出：“教學過程中教師要把學生看作教學資源的重要構成和生成者，教師是課堂教學過程中呈現信息的重組者。”教學中，學生的回答超出自己的預設，這是值得教師欣喜的事情，這個時候，教師一定要相信自己，要緊緊抓住課堂生成的契機，利用生成資源，進行巧妙引導。
3.3.1 化錯為利，促進優化
一位教育家說過：“教室就是讓學生出錯的地方。”出錯是每個學生的權利，錯誤不過是學生在數學學習過程中所作的某種嘗試，是他們最樸實的思想、最真實的暴露，是非常正常的。課堂是學生出錯的地方，錯誤是伴隨著學生一起成長的。因此對學生的差錯，教師要認真對待，耐心等待，要幫助學生改正錯誤，要把學生在課堂上出現的差錯當作一種動態生成的教學資源，化錯為利，促進優化。
在數學教學過程中，學生頭腦中難免會出現一些錯誤信息，這正暴露了學生的真實思維，反映出學生建構新知識時的障礙。優秀的教師善于從學生的錯誤中發現合理的因素，把學生從錯誤引向正確，或將錯就錯，將錯誤暴露無遺，使學生自己發現產生錯誤的原因，從而牢固構建知識體系。
新課標要求我們預設應著眼于生成，生成指導預設。預設與生成的互動才能使課堂教學在對傳統精華的繼承中實現新的超越，才能使教學中師生的智慧像生命之樹的枝葉一樣交相輝映，才能使課堂彰顯生命的活力。
3.3.2 偶發事件，合理利用
在課堂教學活動中，突然發生一些事件，如有人隨便插嘴、學生間或師生間沖突等，不但偏離了教學預設，甚至嚴重打亂了教學秩序.當突發事件發生時，我們無法回避.如果處理不當，不但打亂了正常的教學秩序，還可能傷害學生的感情，降低教師在學生心中的地位.在這種情況下，如果我們換個視角，認為這是教學生涯一次可遇不可求的經歷，是課堂動態生成的教育教學資源，坦然處之，一定能化險為夷。
案例9：
圓柱體與火腿腸的故事
筆者聽過“圓柱體的體積”這課的教學.教師上課后首先復習了長方體的體積公式、圓的面積公式，然后就提出：那么我們如何計算圓柱體的體積呢?
生成：正當大家苦思冥想的時候，一位學生突然說：“老師，吃根火腿腸就知道了！”
合理利用：老師猶豫了一下還是叫這位同學來解釋怎么回事。
“我是這樣想的，這是一個火腿腸，我想把它橫著切成一個個圓片，分給你們吃。”
霎時間，下面的同學都笑了，七嘴八舌地議論開了，我想這個回答也應該出乎老師的意料吧!
過了一會兒，一個學生提問：切火腿腸，和圓柱體的體積有什么關系啊?
“有啊，這個圓柱體的火腿腸的體積就是每一個圓片的面積乘上圓片的個數。”這樣解釋完，下面的學生有的在笑，有的在議論，還有的在思考。
這時，這位教師不慌不忙地提問這位學生：請你給大家解釋一下，圓片是什么?
圓片的個數又是什么?“圓片就是圓柱的底面積，圓片的個數就是圓柱的高。”話音剛落，掌聲響了起來……這既順應了學生的好奇心，又發揮了學生的聰明才智，收到了良好的教學效果。
我們還必須看到，課堂上生成的資源因素具有方向上的不確定性。不同的方向，教育價值的大小不同，有的還可能產生負面效應。因此，教師在課堂生成中要注意把握好方向，適時地做出反應和調整，既要讓學生充分感受心靈的自由，又要潛移默化地滲透主流社會的意識形態；既要大膽猜測，放飛想象，又要尊重事實，講究科學；既要教師的寬容和學生的自主，又要有教師的引導和學生的自律。
3.3.3 呵護創新，拓展延伸
葉瀾教授指出：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定的路線而沒有激情的行程。”在教學中，教師應鼓勵學生主動探究、大膽假設、操作驗證、質疑問難、創新生成。在探究中，學生獨特的見解、創新的解題思路和方法等都是可以利用的生成資源，教師應呵護他們的創新，并加以拓展延伸，發展創新思維。
新教材中都設立了探究性材料，為學生形成積極主動、多樣的學習方式創造了有利條件，但要將課堂真正動起來，不能只局限于教材提供的探究性材料，更應從教材的例習題、平時的練習題、課堂的生成等挖掘探究性素材，引導學生主動從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與合作交流等數學活動，使學生體驗數學知識的發現與創造的歷程，從而引領動態課堂的有效生成。
4 成效分析
4.1 共建師生和諧課堂
通過精心預設，誘導生成；依據生成，調整方案；利用生成，巧妙引導等多種手段使學生的主體意識得到真正凸現，為學生創造一個學習知識的平臺，喚起學生學習的動機，激起學生學習的欲望，從而讓學生能在課堂上不斷生成新知識。在一定程度上實現真正的互動和合作：教師與學生、學生與學生、學生與文本在教學過程中實現多種視界的溝通、匯聚、融合，從而使各自的認識偏見得以糾正，并產生新的視界。
4.2 提高教師教育智慧
教師能用心去發現學生發言的閃光點，追溯思維的起因，并用一種開放的心態，充分利用學生的問題資源，在提煉成有效資源后，帶著學生一起去分析，一起去討論，一起去分享。提高了課堂應變能力，并時刻關注并及時捕捉課堂上師生、生生互動中產生的有探究價值的新信息、新問題，重新調整教學結構，重組信息傳遞方式，把師生互動和探索引向縱深，使課堂再產生新的思維碰撞和思維交鋒，從而再有所發現，有所拓展，有所創新，促進教學的不斷生成和發展。
5 反思
5.1 摒棄無效生成
強調生成的動態性，意味著上課不是執行教案而是教案再創造的過程；不是把心思放在教材、教參和教案上，而是放在觀察學生、傾聽學生、發現學生并與學生積極互動上.它要求教師在課堂教學活動中不能拘泥于課前的預設，要根據實際情況，隨時對設計做出有把握的調整、變更。因此動態生成不是盲目地生成，它必須圍繞“課程與教學目標”來生成，必須考慮學校教育時間的有限性。
5.2 注重應變能力
蘇聯教育學家馬卡連柯說：教育技巧的特征之一就是隨機應變的能力。有了這種品質，教師才能使教學避免陷入呆板，才能正確分析現時課堂的情況，從而找到適當的方法加以正確地運用。但是這種技巧的形成絕非一蹴而就，而是一個厚積薄發的過程。這個過程要求教師必須不斷學習，增強專業修養和文化底蘊，有意識地對自己的課堂教學行為進行審視，提高對動態生成的課程資源的捕捉和利用能力。
總之，我們在課堂中要平衡課堂的兩翼預設與生成，運用多種教學策略，有效引領課堂的生成，構建和諧的課堂，讓課堂真正“動”起來，讓教學真正“真”起來，讓學生真正“活”起來，打造真正的高效課堂。
參考文獻
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［2］沈濤.探索中學數學有效教學的策略[J].現代教育科學，2007，2.
［3］熊文中.關于數學有效教學模式的構想[J].中學數學教學，2007，2.
關鍵詞：核心內容；探究性教學；有效性
新課標強調，要為學生提供開闊的探索空間. 將“二分法”這一求方程近似解的具體數學方法，放在“函數”這一大背景中來，引導學生認識其作用、操作方法與局限性，在教學過程中，學生多層次體驗數學知識的形成過程，多角度審視函數知識的地位與作用.
教材分析
二分法是高中新課程的新增內容.這節內容安排在函數、函數的性質、函數的零點之后，在內容上銜接了函數零點與方程的根的關系，體現了函數的思想以及函數與方程的聯系. 求函數零點近似解的計算方法很多，二分法是其中一種常用方法，它的特點是操作簡單，具有通性，蘊涵了數值逼近的思想、算法思想以及數形結合的思想方法，并為數學3中算法內容的學習做了鋪墊.
學情分析
學生已學習過的函數包括：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數，同時已掌握求函數零點準確值的一些方法，對函數與方程的關系有了一定認識. 用二分法求函數零點近似解是利用函數圖象的連續性，不斷逼近函數零點，從而求得對應方程近似解的一種計算方法，因此，通過學分法可進一步培養學生有意識地運用函數圖象、性質分析解決問題的能力.
由此得出本節的教學目標為：
（1）了解二分法是求函數零點近似解的一種方法，掌握用二分法求函數零點的一般步驟.
（2）通過師生、生生合作交流，共同探索、概括結論和規律的過程，使學生體會由特殊到一般的認知規律，體驗無限逼近的過程.
通過上一節的學習，學生對方程的根的存在性有一定的了解.主要的困難有兩個：
①對二分法這種算法思想的理解；②對用二分法求方程近似解的一般步驟的歸納.
所以本節的重點定位為：對二分法基本思想的理解，學習用二分法求函數零點近似解的一般步驟；難點：零點所在區間的確定，對二分法算法思想的理解.
教學設計及教學過程分析
（一）關于情境設置
案例一
問題1：從猜價格引入CCTV2“幸運52”片段：
主持人李詠說道：猜一猜這架家用型數碼相機的價格. 參賽選手：2000！李詠：高了！選手：1000！李詠：低了！選手：1500！李詠：還是低了！……
問題1：你知道這件商品的價格在什么范圍內嗎？
問題2：若接下來讓你猜的話，你會猜多少價格比較合理呢？
問題2：從A地到B地的電纜有5個接點.現在某處發生故障，需及時修理.假設故障出在接點之間的線路上，接點處是完好的. 一定要把故障縮小在兩個接點之間，至少需要檢查多少次？
圖1
每次取中點，將區間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區間的方法叫二分法，也叫對分法，常用于查找電線、水管、氣管等管道線路故障.
提出問題：如何求方程lnx+2x-6=0的根？能否利用函數的有關知識來求它的根呢？
函數f（x）=lnx+2x-6的零點轉化為方程lnx+2x-6=0的根.
設計問題1：你能找出零點落在下列哪個區間嗎？
A. （1，2） B. （2，3）
C. （3，4） D. （4，5）
追問：如何找到這個零點？你能繼續縮小零點所在的區間嗎？引導取區間的中點，由此引入課題.
點評：此案例的優點是目標直指二分法的操作，從學生熟悉的游戲出發，學生參與度高，興趣濃，課堂氣氛活躍，但不足之處是淡化二分法的數學思想實質，容易導致課堂熱熱鬧鬧，課后思想一片空白.
案例二
1. 從實際問題的解決引入
現有一邊長為10米的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各裁去一個相同的小正方形，然后焊接成一個長方體型的無蓋容器，為使容積為68立方米，裁去的小正方形邊長應為多少米？（精確到0.1）
圖2
2. 學生經過思考，討論后交流解決方法. 從三次方程的求根問題引出數學發展史中探求高次方程的根的研究，介紹解方程的數學史：秦九韶的數學貢獻；1545年意大利的卡爾達諾在論著《大法》中給出的一元三次方程的求根公式；十九世紀，阿貝爾和伽羅瓦的研究表明高于4次的代數方程不存在求根公式，即不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解，感受數學研究的價值及思想方法.
3. 學生討論對各種方法的認識和體會通過解決社會實踐中的問題，明白求方程近似根的必要性，從而引出課題.
從復習數學知識和原理入手：
1. 求方程f（x）=0的解，可轉化為求函數y=f（x）的零點，即為求函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標.
2. 零點存在的判定法則
如果函數y=f（x）在一個區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 f（a）?f（b）
歸納：像這種每次取區間中的點，將區間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區間的方法稱為二分法.給出用二分法求函數零點近似解的步驟.
點評：此案例的優點是從實際問題出發，在解決問題中滲透數學史教育，讓學生感受數學的思想方法及價值，體會求方程近似解的必要性，激發學生探尋解決問題的辦法，從而導入二分法，探究過程圍繞數學思想核心，數學味濃，不足之處是引入二分法有些突然，解決實際問題耗費大量時間，課堂的互動略顯沉悶，教學有效性不易落實.
案例三
1. 復習思考：
（1）函數的零點；（2）零點存在的判定；（3）零點個數的求法.
2. 思考問題：
請同學們觀察下面的兩個方程，說一說你會用什么方法來求解方程：
（1）x2-2x-6=0；
（2）lnx+2x-6=0.
對于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解，？搖但對于方程（2），我們卻沒有公式可用來求解.？搖？搖？搖？搖
復習引入：函數f（x）=lnx+2x-6在區間（2，3）內有零點，如何找出這個零點？
提出生活中的問題：12枚金幣中有一枚略輕，是假幣，如何找出？
（探究二分法的概念：一分為二）
（1）用天平稱3次就可以找出這個稍重的球.
（2）要找出稍重的球，盡量將稍重的球所在的范圍盡量的縮小，我們通過不斷地“平分球”、“鎖定”、“淘汰”的方法逐步縮小稍重的球所在的范圍，直到滿意為止.
（3）這種“平分球”的方法，就是“二分法”的體現.
游戲：請你模仿李詠主持一下幸運52，請同學們猜一下下面這部手機的價格.
進而提出：利用我們猜價格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0？如果能求解的話，怎么去解？從而引出課題.
點評：此案例的優點是從求方程的解受阻設置懸念，找到知識的生長點，由找假幣、猜價格游戲引出二分法，既反映了數學的思想實質，又注重了方法尋找的類比、探究過程，重視數學的思想方法在探究過程中的滲透，強化教材知識間的前后聯系，教學實施井然有序，如果加入數學史的介紹，效果會更佳.
（二）關于二分法求方程的近似解
（1）對于函數f（x）=lnx+2x-6，首先用圖象確定零點的初始區間（2，3）
用計算器或計算機作出x和f（x）的對應值表，用EXCEL軟件演示，用幾何畫板動態演示.
（2）每種方法都用到了哪些數學知識，怎樣想到用這些知識？
利用幾何畫板、圖形計算器畫圖功能的方法，依賴的技術含量多于數學思想.
利用計算機軟件Exsel、圖形計算器、計算器的列表計算功能的方法，利用了函數零點存在性的知識，運算次數較多.
計算器的加減乘除功能的二分法利用了函數與方程的轉化思想，二分過程中隨著一次次的取中點，計算中點函數值，判斷符號，取新區間……使零點所在的區間一步步縮小，區間的兩個端點一步步向函數的零點逼近.
對比分析指出
①合理利用信息技術提高工作效率，實質上是計算機軟件在進行大量函數值計算，進而描點畫圖；結果近似值的精確度取決于軟件的精確度，在解決實際問題中受到軟件的精確度的限制.
②列表計算功能的使用使得計算有了一定的方向性和規律性，只計算精確度要求的值即可.
③二分法的計算次數設計合理，當提高精確度要求時，只要繼續算下去就一定能達到，可以無限次進行端點向零點的逼近，數學思想簡單，邏輯性很強.
（三）二分法求方程的近似解的條件
如果函數y=f（x）的圖象如圖4所示，能否用二分法求出它的所有零點的近似解？
圖4
（注：二分法對不變號零點不適用，從辯證的角度看待一種方法）
本節體現的數學思想方法：
（1）數形結合的思想；
（2）函數與方程的思想；
（3）逐步逼近的思想；